प्रथम-क्रम सिद्धांतों की सूची

प्रथम-क्रम तर्क में, प्रथम-क्रम सिद्धांत कुछ सिद्धांतों के एक सेट (गणित) द्वारा दिया जाता है भाषा। यह प्रविष्टि मॉडल सिद्धांत में प्रयुक्त कुछ अधिक सामान्य उदाहरणों और उनके कुछ गुणों को सूचीबद्ध करती है।

प्रारंभिक

प्रत्येक प्राकृतिक गणितीय संरचना के लिए एक हस्ताक्षर (तर्क) होता है जो सिद्धांत के स्थिरांक, कार्यों और संबंधों को उनकी आर्यता के साथ सूचीबद्ध करता है, ताकि वस्तु स्वाभाविक रूप से एक मॉडल सिद्धांत|σ-संरचना हो। हस्ताक्षर σ को देखते हुए एक अद्वितीय प्रथम-क्रम भाषा एल है_σ जिसका उपयोग σ-संरचना के बारे में प्रथम-क्रम के अभिव्यंजक तथ्यों को पकड़ने के लिए किया जा सकता है।

सिद्धांतों को निर्दिष्ट करने के दो सामान्य तरीके हैं:

1. भाषा एल में वाक्य (गणितीय तर्क) के एक सेट की सूची बनाएं या उसका वर्णन करें_σ, सिद्धांत के अभिगृहीत कहे जाते हैं।
2. σ-संरचनाओं का एक सेट दें, और एल में वाक्यों के सेट के रूप में एक सिद्धांत को परिभाषित करें_σ इन सभी मॉडलों में पकड़. उदाहरण के लिए, परिमित क्षेत्रों के सिद्धांत में क्षेत्रों की भाषा के सभी वाक्य शामिल हैं जो सभी परिमित क्षेत्रों में सत्य हैं।

एक एल_σ सिद्धांत हो सकता है:

• सुसंगत रहें: विरोधाभास का कोई सबूत मौजूद नहीं है;
• संतुष्ट रहें: एक σ-संरचना मौजूद है जिसके लिए सिद्धांत के सभी वाक्य सत्य हैं (पूर्णता प्रमेय के अनुसार, संतुष्टि स्थिरता के बराबर है);
• पूर्ण हो: किसी भी कथन के लिए, या तो वह या उसका निषेध सिद्ध किया जा सकता है;
• क्वांटिफ़ायर उन्मूलन है;
• कल्पनाओं का उन्मूलन;
• Axiom_schema#Finite_axiomatization हो;
• निर्णायकता हो (तर्क): यह तय करने के लिए एक एल्गोरिदम है कि कौन से कथन सिद्ध करने योग्य हैं;
• पुनरावर्ती रूप से स्वयंसिद्ध होना;
• मॉडल पूर्ण या उप-मॉडल पूर्ण हो;
• मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय बनें|κ-श्रेणीबद्ध: प्रमुखता κ के सभी मॉडल समरूपी हैं;
• स्थिर सिद्धांत हो या अस्थिर;
• ω-स्थिर हो (गणनीय सेट सिद्धांतों के लिए पूरी तरह से पारलौकिक के समान);
• अतिस्थिर बनें
• एक परमाणु मॉडल (गणितीय तर्क) है;
• एक प्रमुख मॉडल है;
• एक संतृप्त मॉडल है.

शुद्ध पहचान सिद्धांत

Main article: Theory of pure equality

शुद्ध पहचान सिद्धांत का हस्ताक्षर खाली है, जिसमें कोई फ़ंक्शन, स्थिरांक या संबंध नहीं है।

शुद्ध पहचान सिद्धांत में कोई (गैर-तार्किक) सिद्धांत नहीं है। यह निर्णय लेने योग्य है.

शुद्ध पहचान सिद्धांत की भाषा में बताए जा सकने वाले कुछ दिलचस्प गुणों में से एक अनंत होना है। यह सिद्धांतों के एक अनंत सेट द्वारा दिया गया है जिसमें कहा गया है कि कम से कम 2 तत्व हैं, कम से कम 3 तत्व हैं, और इसी तरह:

• ∃x₁ ∃x₂ ¬x₁ = एक्स₂,    ∃x₁ ∃x₂ ∃x₃ ¬x₁ = एक्स₂ ∧ ¬x₁ = एक्स₃ ∧ ¬x₂ = एक्स₃,...

ये स्वयंसिद्ध अनंत समुच्चय के सिद्धांत को परिभाषित करते हैं।

परिमित होने की विपरीत संपत्ति को किसी भी सिद्धांत के लिए प्रथम-क्रम तर्क में नहीं बताया जा सकता है जिसमें मनमाने ढंग से बड़े परिमित मॉडल होते हैं: वास्तव में ऐसे किसी भी सिद्धांत में सघनता प्रमेय द्वारा अनंत मॉडल होते हैं। सामान्य तौर पर यदि किसी गुण को प्रथम-क्रम तर्क के वाक्यों की सीमित संख्या द्वारा बताया जा सकता है तो विपरीत गुण को भी प्रथम-क्रम तर्क में बताया जा सकता है, लेकिन यदि किसी गुण को अनंत संख्या में वाक्यों की आवश्यकता होती है तो उसके विपरीत गुण को प्रथम-क्रम तर्क में नहीं बताया जा सकता है।

शुद्ध पहचान सिद्धांत का कोई भी कथन गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के कुछ परिमित उपसमुच्चय एन के लिए या तो σ(एन) या ¬σ(एन) के बराबर है, जहां σ(एन) यह कथन है कि तत्वों की संख्या एन में है। इस भाषा में सभी संभावित सिद्धांतों का वर्णन इस प्रकार करना भी संभव है। कोई भी सिद्धांत या तो गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के कुछ परिमित उपसमुच्चय एन के लिए एन में कार्डिनैलिटी के सभी सबसेटों का सिद्धांत है, या गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के कुछ परिमित उपसमुच्चय एन के लिए उन सभी सेटों का सिद्धांत है जिनकी कार्डिनैलिटी एन में नहीं है। (ऐसे कोई सिद्धांत नहीं हैं जिनके मॉडल बिल्कुल कार्डिनैलिटी एन के सेट हैं यदि एन पूर्णांकों का एक अनंत उपसमुच्चय है।) संपूर्ण सिद्धांत कुछ परिमित एन के लिए कार्डिनैलिटी एन के सेट के सिद्धांत और अनंत सेट के सिद्धांत हैं।

इसका एक विशेष मामला स्वयंसिद्ध ∃x ¬x = x द्वारा परिभाषित असंगत सिद्धांत है। यह कई अच्छे गुणों के साथ एक पूरी तरह से अच्छा सिद्धांत है: यह पूर्ण है, निर्णय लेने योग्य है, अंतिम रूप से स्वयंसिद्ध है, इत्यादि। एकमात्र समस्या यह है कि इसका कोई मॉडल ही नहीं है। गोडेल की पूर्णता प्रमेय के अनुसार, यह (किसी भी भाषा के लिए) एकमात्र सिद्धांत है जिसमें कोई मॉडल नहीं है। यह खाली सेट के सिद्धांत के समान नहीं है (प्रथम-क्रम तर्क के संस्करणों में जो एक मॉडल को खाली होने की अनुमति देता है): खाली सेट के सिद्धांत में बिल्कुल एक मॉडल होता है, जिसमें कोई तत्व नहीं होता है।

एकात्मक संबंध

एकात्मक संबंधों का एक सेट पी_i i के लिए कुछ समुच्चय में I को 'स्वतंत्र' कहा जाता है यदि I के प्रत्येक दो असंयुक्त परिमित उपसमुच्चय A और B के लिए कुछ तत्व x है जैसे कि P_i(x) A में i के लिए सत्य है और B में i के लिए असत्य है। स्वतंत्रता को प्रथम-क्रम कथनों के एक सेट द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

'स्वतंत्र एकात्मक संबंधों की गणनीय संख्या का सिद्धांत' पूर्ण है, लेकिन इसका कोई परमाणु मॉडल (गणितीय तर्क) नहीं है। यह एक ऐसे सिद्धांत का उदाहरण भी है जो सुपरस्टेबल है लेकिन पूरी तरह से पारलौकिक नहीं है।

समतुल्यता संबंध

तुल्यता संबंधों के हस्ताक्षर में एक द्विआधारी इन्फ़िक्स संबंध प्रतीक ~, कोई स्थिरांक नहीं, और कोई कार्य नहीं है। तुल्यता संबंध स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं:

• प्रतिवर्ती संबंध ∀x x~x;
• सममित संबंध ∀x ∀y x~y → y~x;
• सकर्मक संबंध: ∀x ∀y ∀z (x~y ∧ y~z) → x~z.

तुल्यता संबंधों के कुछ प्रथम क्रम गुण हैं:

• ~ में अनंत संख्या में तुल्यता वर्ग हैं;
• ~ में बिल्कुल n तुल्यता वर्ग हैं (किसी भी निश्चित सकारात्मक पूर्णांक n के लिए);
• सभी समतुल्य वर्ग अनंत हैं;
• सभी समतुल्य वर्गों का आकार बिल्कुल n है (किसी भी निश्चित सकारात्मक पूर्णांक n के लिए)।

बिल्कुल 2 अनंत समतुल्य वर्गों के साथ समतुल्य संबंध का सिद्धांत एक सिद्धांत का एक आसान उदाहरण है जो ω-श्रेणीबद्ध है लेकिन किसी भी बड़ी कार्डिनल संख्या के लिए श्रेणीबद्ध नहीं है।

तुल्यता संबंध ~ को पहचान (दर्शन) प्रतीक '=' के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए: यदि x=y तो x~y, लेकिन इसका विपरीत आवश्यक नहीं है सत्य। तुल्यता संबंधों के सिद्धांत उतने कठिन या दिलचस्प नहीं हैं, लेकिन अक्सर विभिन्न कथनों के लिए आसान उदाहरण या प्रति-उदाहरण देते हैं।

किसी सिद्धांत के निश्चित स्पेक्ट्रम के साथ सिद्धांतों के उदाहरण तैयार करने के लिए कभी-कभी निम्नलिखित निर्माणों का उपयोग किया जाता है; वास्तव में उन्हें स्पष्ट सिद्धांतों टी की एक छोटी संख्या पर लागू करने से सभी संभावित बेशुमार स्पेक्ट्रा के साथ पूर्ण गणनीय सिद्धांतों के उदाहरण मिलते हैं। यदि T किसी भाषा में एक सिद्धांत है, तो हम एक नया सिद्धांत 2 परिभाषित करते हैं^टी भाषा में एक नया द्विआधारी संबंध जोड़कर, और यह कहते हुए स्वयंसिद्ध जोड़कर कि यह एक समतुल्य संबंध है, जैसे कि अनंत संख्या में समतुल्य वर्ग हैं, जिनमें से सभी टी के मॉडल सिद्धांत हैं। इस निर्माण अनंत प्रेरण को पुनरावृत्त करना संभव है: एक क्रमिक संख्या α दिया गया है, एक समतुल्य संबंध ई जोड़कर एक नया सिद्धांत परिभाषित करें_βप्रत्येक β<α के लिए, स्वयंसिद्ध कथनों के साथ कि जब भी β<γ तब प्रत्येक E_γतुल्यता वर्ग अनंत अनेक E का मिलन है_βसमतुल्य वर्ग, और प्रत्येक ई₀तुल्यता वर्ग टी का एक मॉडल है। अनौपचारिक रूप से, कोई इस सिद्धांत के मॉडल को सभी पत्तियों से जुड़े टी के मॉडल के साथ α ऊंचाई के अनंत शाखाओं वाले पेड़ों के रूप में देख सकता है।

आदेश

गणित में क्रम संरचनाओं की सूची के हस्ताक्षर में कोई स्थिरांक या कार्य नहीं है, और एक द्विआधारी संबंध प्रतीक ≤ है। (स्वयंसिद्धों में स्पष्ट मामूली परिवर्तनों के साथ, मूल संबंध के रूप में ≥, < या > का उपयोग करना निश्चित रूप से संभव है।) हम x ≥ y, x < y, x > y को y ≤ x, x ≤ y ∧¬y ≤ x, y < x के संक्षिप्त रूप के रूप में परिभाषित करते हैं।

ऑर्डर के कुछ प्रथम-क्रम गुण:

• 'सकर्मक': ∀x ∀y ∀z x ≤ y∧y ≤ z → x ≤ z
• 'रिफ्लेक्टिव': ∀x x ≤ x
• 'एंटीसिमेट्रिक संबंध': ∀x ∀y x ≤ y ∧ y ≤ x → x = y
• 'आंशिक क्रम': सकर्मक ∧ प्रतिवर्ती ∧ एंटीसिमेट्रिक;
• 'रैखिक क्रम' (या 'कुल'): आंशिक ∧ ∀x ∀y x ≤ y ∨ y ≤ x
• 'सघन क्रम': ∀x ∀z x < z → ∃y x < y ∧ y < z (किन्हीं दो अलग-अलग तत्वों के बीच एक और तत्व होता है)
• एक सबसे छोटा तत्व है: ∃x ∀y x ≤ y
• एक सबसे बड़ा तत्व है: ∃x ∀y y ≤ x
• प्रत्येक तत्व का एक तत्काल उत्तराधिकारी होता है: ∀x ∃y ∀z x < z ↔ y ≤ z

अंतिम बिंदुओं के बिना घने रैखिक आदेशों का सिद्धांत डीएलओ (यानी कोई सबसे छोटा या सबसे बड़ा तत्व नहीं) पूर्ण, ω-श्रेणीबद्ध है, लेकिन किसी भी बेशुमार कार्डिनल के लिए श्रेणीबद्ध नहीं है। तीन अन्य समान सिद्धांत हैं: घने रैखिक आदेशों का सिद्धांत:

• सबसे छोटा लेकिन कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं;
• सबसे बड़ा लेकिन कोई सबसे छोटा तत्व नहीं;
• सबसे बड़ा और सबसे छोटा तत्व.

'सुव्यवस्थित सेट' होना (किसी भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्व होता है) प्रथम-क्रम की संपत्ति नहीं है; सामान्य परिभाषा में सभी उपसमूहों की मात्रा निर्धारित करना शामिल है।

जालियाँ

जाली (ऑर्डर) को या तो विशेष प्रकार के आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के रूप में माना जा सकता है, जिसमें एक बाइनरी संबंध प्रतीक ≤ से युक्त हस्ताक्षर होता है, या दो बाइनरी ऑपरेशन ∧ और ∨ से युक्त हस्ताक्षर के साथ बीजगणितीय संरचनाओं के रूप में माना जा सकता है। दोनों दृष्टिकोणों को a ≤ b को a∧b = a के अर्थ में परिभाषित करके संबंधित किया जा सकता है।

दो द्विआधारी संक्रियाओं के लिए एक जालक के लिए अभिगृहीत हैं:

Commutative laws:		$\forall a\forall b\;a\vee b=b\vee a$		$\forall a\forall b\;a\wedge b=b\wedge a$
Associative laws:		$\forall a\forall b\forall c\;a\vee (b\vee c)=(a\vee b)\vee c$		$\forall a\forall b\forall c\;a\wedge (b\wedge c)=(a\wedge b)\wedge c$
Absorption laws:		$\forall a\forall b\;a\vee (a\wedge b)=a$		$\forall a\forall b\;a\wedge (a\vee b)=a$

एक संबंध के लिए ≤ अभिगृहीत हैं:

• ऊपर बताए अनुसार ≤ बताने वाले अभिगृहीत एक आंशिक क्रम है।
• $\forall a\forall b\exists c\;c\leq a\wedge c\leq b\wedge \forall d\;d\leq a\wedge d\leq b\rightarrow d\leq c$ (c = a∧b का अस्तित्व)
• $\forall a\forall b\exists c\;a\leq c\wedge b\leq c\wedge \forall d\;a\leq d\wedge b\leq d\rightarrow c\leq d$ (c = a∨b का अस्तित्व)

प्रथम क्रम की संपत्तियों में शामिल हैं:

• $\forall x\forall y\forall z\;x\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z)$ (वितरणात्मक जाली)
• $\forall x\forall y\forall z\;x\vee (y\wedge (x\vee z))=(x\vee y)\wedge (x\vee z)$ (मॉड्यूलर जाली)

हेटिंग बीजगणित को कुछ अतिरिक्त प्रथम-क्रम गुणों के साथ जाली के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

पूर्ण जाली जाली का प्रथम क्रम का गुण नहीं है।

ग्राफ़

Main article: Logic of graphs

ग्राफ़ (असतत गणित) के हस्ताक्षर में कोई स्थिरांक या फ़ंक्शन नहीं है, और एक द्विआधारी संबंध प्रतीक आर है, जहां आर(एक्स,वाई) को पढ़ा जाता है क्योंकि एक्स से वाई तक एक किनारा है।

'ग्राफ़ के सिद्धांत' के लिए अभिगृहीत हैं

• 'सममित': ∀x ∀y R(x,y)→ R(y,x)
• 'रिफ्लेक्सिव_रिलेशन#रिलेटेड_टर्म्स|एंटी-रिफ्लेक्सिव': ∀x ¬R(x,x) (कोई लूप नहीं (ग्राफ सिद्धांत))

यादृच्छिक ग्राफ़ के सिद्धांत में प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक n के लिए निम्नलिखित अतिरिक्त सिद्धांत हैं:

• आकार n के किन्हीं दो असंयुक्त परिमित सेटों के लिए, पहले सेट के सभी बिंदुओं से एक बिंदु जुड़ा होता है और दूसरे सेट के किसी भी बिंदु से नहीं जुड़ा होता है। (प्रत्येक निश्चित n के लिए इस कथन को ग्राफ़ की भाषा में लिखना आसान है।)

यादृच्छिक ग्राफ़ का सिद्धांत ω श्रेणीबद्ध, पूर्ण और निर्णय लेने योग्य है, और इसके गणनीय मॉडल को राडो ग्राफ़ कहा जाता है। ग्राफ़ की भाषा में एक कथन इस सिद्धांत में सत्य है यदि और केवल यदि संभावना है कि एक एन-वर्टेक्स यादृच्छिक ग्राफ़ मॉडल कथन को सीमा में 1 तक ले जाता है क्योंकि एन अनंत तक जाता है।

बूलियन बीजगणित

बूलियन बीजगणित के लिए कई अलग-अलग हस्ताक्षर और परंपराएं उपयोग की जाती हैं:

1. हस्ताक्षर में दो स्थिरांक हैं, 0 और 1, और दो बाइनरी फ़ंक्शन ∧ और ∨ (और और या), और एक यूनरी फ़ंक्शन ¬ (नहीं)। यह भ्रमित करने वाला हो सकता है क्योंकि फ़ंक्शंस प्रथम-क्रम तर्क के प्रस्तावात्मक फ़ंक्शंस के समान प्रतीकों का उपयोग करते हैं।
2. सेट सिद्धांत में, एक सामान्य परंपरा यह है कि भाषा में दो स्थिरांक होते हैं, 0 और 1, और दो बाइनरी फ़ंक्शन · और +, और एक यूनरी फ़ंक्शन -। तीनों कार्यों की व्याख्या पहले सम्मेलन के कार्यों के समान ही है। दुर्भाग्य से, यह सम्मेलन अगले सम्मेलन से बुरी तरह टकराता है:
3. बीजगणित में, सामान्य परंपरा यह है कि भाषा में दो स्थिरांक होते हैं, 0 और 1, और दो बाइनरी फ़ंक्शंस · और +। फ़ंक्शन · का अर्थ ∧ जैसा ही है, लेकिन a+b का अर्थ है a∨b∧¬(a∧b)। इसका कारण यह है कि बूलियन बीजगणित के लिए अभिगृहीत केवल 1 प्लस ∀x x वाली रिंग के लिए अभिगृहीत हैं²=x. दुर्भाग्य से यह ऊपर दिए गए सेट सिद्धांत में मानक सम्मेलन से टकराता है।

अभिगृहीत हैं:

• वितरणात्मक जाली के लिए अभिगृहीत (ऊपर देखें)
• ∀a a∧¬a = 0, ∀a a∨¬a = 1 (निषेध के गुण)
• कुछ लेखक एक तत्व के साथ तुच्छ बीजगणित को बाहर करने के लिए अतिरिक्त स्वयंसिद्ध ¬0 = 1 जोड़ते हैं।

टार्स्की ने साबित किया कि बूलियन बीजगणित का सिद्धांत निर्णायक है।

हम x yy y को x∧y = x के लिए एक संक्षिप्त नाम के रूप में लिखते हैं, और परमाणु (x) को ¬x = 0 ∧ ∧ y y y x → y = 0 ∨ y = x के लिए एक संक्षिप्त नाम के रूप में लिखते हैं, X के रूप में पढ़ें एक परमाणु है, दूसरे शब्दों में इसके बीच कुछ भी नहीं है और 0. यहाँ कुछ पहले-क्रम गुण हैं:

• 'परमाणु': ∀x x = 0 ∨ ∃y y ≤ x ∧ परमाणु(y)
• 'परमाणु रहित': ∀x ¬atom(x)

'परमाणु रहित बूलियन बीजगणित' का सिद्धांत ω-श्रेणीबद्ध और पूर्ण है।

किसी भी बूलियन बीजगणित बी के लिए, निम्नानुसार कई अपरिवर्तनीय परिभाषित हैं।

• आदर्श I(B) में ऐसे तत्व शामिल हैं जो एक परमाणु और एक परमाणु रहित तत्व (एक ऐसा तत्व जिसके नीचे कोई परमाणु नहीं है) का योग है।
• भागफल बीजगणित बी^{बी के i को बी द्वारा आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है0=बी, बीk+1 = बीक/I(बीक).}
• अपरिवर्तनीय m(B) B जैसा सबसे छोटा पूर्णांक है^m+1 तुच्छ है, या ∞ यदि ऐसा कोई पूर्णांक मौजूद नहीं है।
• यदि m(B) परिमित है, तो अपरिवर्तनीय n(B) B के परमाणुओं की संख्या है^m(B) यदि यह संख्या सीमित है, या ∞ यदि यह संख्या अनंत है।
• अपरिवर्तनीय l(B) 0 है यदि B^m(B) परमाणु है या यदि m(B) ∞ है, और 1 अन्यथा है।

तब दो बूलियन बीजगणित प्राथमिक तुल्यता हैं यदि और केवल यदि उनके अपरिवर्तनीय एल, एम, और एन समान हैं। दूसरे शब्दों में, इन अपरिवर्तनीयों के मान बूलियन बीजगणित के सिद्धांत की संभावित पूर्णता को वर्गीकृत करते हैं। तो संभावित पूर्ण सिद्धांत हैं:

• तुच्छ बीजगणित (यदि इसकी अनुमति है; कभी-कभी 0≠1 को एक स्वयंसिद्ध के रूप में शामिल किया जाता है।)
• m = ∞ वाला सिद्धांत
• m एक प्राकृतिक संख्या, n एक प्राकृतिक संख्या या ∞, और l = 0 या 1 वाले सिद्धांत (यदि n = 0 है तो l = 0 के साथ)।

समूह

समूह सिद्धांत के हस्ताक्षर में एक स्थिरांक 1 (पहचान), arity 1 का एक कार्य (उलटा) होता है जिसका t पर मान t द्वारा दर्शाया जाता है⁻¹, और arity 2 का एक कार्य, जिसे आमतौर पर शब्दों से हटा दिया जाता है। किसी पूर्णांक n, t के लिएⁿt की nवीं शक्ति के लिए स्पष्ट शब्द का संक्षिप्त रूप है।

'समूह (गणित)' को स्वयंसिद्धों द्वारा परिभाषित किया गया है

• पहचान: ∀x 1x = x ∧ x1 = x
• उलटा: ∀x x⁻¹x = 1 ∧ xx⁻¹=1
• सहयोगिता: ∀x∀y∀z (xy)z = x(yz)

समूहों के कुछ गुण जिन्हें समूहों की प्रथम-क्रम भाषा में परिभाषित किया जा सकता है:

• 'एबेलियन समूह': ∀x ∀y xy = yx.
• 'मरोड़-मुक्त समूह': ∀x x² = 1→x = 1, ∀x x³ = 1 → x = 1, ∀x x⁴ = 1 → x = 1, ...
• 'विभाज्य समूह': ∀x ∃y y² = x, ∀x ∃y y³ = x, ∀x ∃y y⁴=x,...
• 'अनंत' (पहचान सिद्धांत के अनुसार)
• 'मरोड़ समूह' n (किसी निश्चित धनात्मक पूर्णांक n के लिए): ∀x xⁿ = 1
• वर्ग n का निलपोटेंट समूह (किसी निश्चित धनात्मक पूर्णांक n के लिए)
• वर्ग n का हल करने योग्य समूह (किसी निश्चित धनात्मक पूर्णांक n के लिए)

'एबेलियन समूहों' का सिद्धांत निर्णायक है। अनंत विभाज्य मरोड़-मुक्त एबेलियन समूहों का सिद्धांत पूर्ण है, जैसा कि घातांक पी के अनंत एबेलियन समूहों का सिद्धांत है (पी अभाज्य संख्या के लिए)।

परिमित समूहों का सिद्धांत समूहों की भाषा में प्रथम-क्रम कथनों का समूह है जो सभी परिमित समूहों में सत्य हैं (इस सिद्धांत के बहुत सारे अनंत मॉडल हैं)। ऐसे किसी भी कथन को ढूंढना पूरी तरह से मामूली बात नहीं है जो सभी समूहों के लिए सत्य नहीं है: एक उदाहरण है

क्रम 2 के दो तत्व दिए गए हैं, या तो वे संयुग्मी हैं या उन दोनों के साथ कोई गैर-तुच्छ तत्व आ रहा है।

परिमित, या मुक्त समूह, या सरल समूह, या मरोड़ होने के गुण प्रथम-क्रम के नहीं हैं। अधिक सटीक रूप से, इन गुणों में से किसी एक गुण वाले सभी समूहों के प्रथम-क्रम सिद्धांत में ऐसे मॉडल होते हैं जिनमें यह गुण नहीं होता है।

रिंग्स और फ़ील्ड्स

(यूनिटल) रिंग (गणित) के हस्ताक्षर में दो स्थिरांक 0 और 1, दो बाइनरी फ़ंक्शंस + और × और, वैकल्पिक रूप से, एक यूनरी नेगेशन फ़ंक्शन है -।

रिंगों

अभिगृहीत: जोड़ वलय को एबेलियन समूह में बनाता है, गुणन साहचर्य है और इसकी पहचान 1 है, और गुणन बाएँ और दाएँ वितरणात्मक है।

क्रमविनिमेय वलय

रिंग प्लस ∀x ∀y xy = yx के लिए अभिगृहीत।

फ़ील्ड (गणित)एस

क्रमविनिमेय वलय प्लस ∀x (¬ x = 0 → ∃y xy = 1) और ¬ 1 = 0 के लिए अभिगृहीत। यहां दिए गए कई उदाहरणों में केवल सार्वभौमिक, या बीजगणितीय सिद्धांत हैं। ऐसे सिद्धांत को संतुष्ट करने वाली संरचनाओं के वर्ग (सेट सिद्धांत) में उपसंरचना के तहत बंद होने की संपत्ति होती है। उदाहरण के लिए, गुणन और व्युत्क्रम की समूह क्रियाओं के अंतर्गत बंद समूह का एक उपसमुच्चय फिर से एक समूह है। चूँकि फ़ील्ड के हस्ताक्षर में आमतौर पर गुणक और योगात्मक व्युत्क्रम शामिल नहीं होते हैं, व्युत्क्रम के लिए अभिगृहीत सार्वभौमिक नहीं होते हैं, और इसलिए जोड़ और गुणन के तहत बंद फ़ील्ड का एक उपसंरचना हमेशा एक फ़ील्ड नहीं होता है। भाषा में एकात्मक व्युत्क्रम फलन जोड़कर इसका समाधान किया जा सकता है।

किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए यह गुण कि डिग्री n के सभी समीकरणों का एक मूल होता है, एक प्रथम-क्रम वाक्य द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

• ∀ ए₁ ∀ ए₂... ∀ ए_n ∃x (...((x+a₁)एक्स +ए₂)x+...)x+a_n = 0

उत्तम क्षेत्र

फ़ील्ड के लिए स्वयंसिद्ध, साथ ही प्रत्येक अभाज्य संख्या पी के लिए स्वयंसिद्ध यह बताते हुए कि यदि पी 1 = 0 (अर्थात् फ़ील्ड में फ़ील्ड विशेषता पी है), तो प्रत्येक फ़ील्ड तत्व में एक पी है वाँ जड़.

विशेषता पी के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र

फ़ील्ड के लिए स्वयंसिद्ध, साथ ही प्रत्येक सकारात्मक एन के लिए यह सिद्धांत कि डिग्री एन के सभी बहुपदों का एक मूल होता है, साथ ही विशेषता को तय करने वाले स्वयंसिद्ध। संपूर्ण सिद्धांतों के शास्त्रीय उदाहरण. सभी बेशुमार कार्डिनल्स में श्रेणी सिद्धांत। सिद्धांत एसीएफ_p एक सार्वभौमिक डोमेन संपत्ति है, इस अर्थ में कि प्रत्येक संरचना एन एसीएफ के सार्वभौमिक सिद्धांतों को संतुष्ट करती है_p एक पर्याप्त रूप से बड़े बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र की एक उपसंरचना है $M\models ACF_{0}$, और इसके अतिरिक्त कोई भी दो ऐसे एम्बेडिंग एन → एम एम के एक स्वचालितता को प्रेरित करते हैं।

'परिमित क्षेत्र'

परिमित क्षेत्रों का सिद्धांत सभी प्रथम-क्रम कथनों का समूह है जो सभी परिमित क्षेत्रों में सत्य हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे बयानों के महत्वपूर्ण उदाहरण प्रमुख क्षेत्रों पर शेवेल्ली-चेतावनी प्रमेय को लागू करके दिए जा सकते हैं। नाम थोड़ा भ्रामक है क्योंकि सिद्धांत में बहुत सारे अनंत मॉडल हैं। एक्स ने साबित कर दिया कि सिद्धांत निर्णायक है।

'औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र'

फ़ील्ड के लिए स्वयंसिद्ध प्लस, प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक n के लिए, स्वयंसिद्ध:

• ∀ ए₁ ∀ ए₂... ∀ ए_n a₁a₁+ए₂a₂+ ...+ए_na_n=0 → ए₁=0∧a₂=0∧ ... ∧a_n=0.

अर्थात्, 0 वर्गों का एक गैर-तुच्छ योग नहीं है।

वास्तविक बंद फ़ील्ड

औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्रों के लिए स्वयंसिद्ध कथन और स्वयंसिद्ध कथन:

• ∀x ∃y (x=yy ∨ x+yy= 0);
• प्रत्येक विषम धनात्मक पूर्णांक n के लिए, यह अभिगृहीत बताता है कि घात n के प्रत्येक बहुपद का एक मूल होता है।

वास्तविक बंद क्षेत्रों का सिद्धांत प्रभावी और पूर्ण है और इसलिए निर्णय लेने योग्य है (टार्स्की-सीडेनबर्ग प्रमेय)। आगे के फ़ंक्शन प्रतीकों को जोड़ना (उदाहरण के लिए, घातीय फ़ंक्शन, साइन फ़ंक्शन) वास्तविक संख्याओं के प्रथम-क्रम सिद्धांतों की निर्णायकता।

पी-एडिक फ़ील्ड

Ax & Kochen (1965) दिखाया कि पी-एडिक फ़ील्ड का सिद्धांत निर्णायक है और इसके लिए सिद्धांतों का एक सेट दिया।

ज्यामिति

ज्यामिति की विभिन्न प्रणालियों के लिए अभिगृहीत आम तौर पर एक टाइप की गई भाषा का उपयोग करते हैं, जिसमें विभिन्न ज्यामितीय वस्तुओं जैसे बिंदु, रेखाएं, वृत्त, विमान इत्यादि के अनुरूप विभिन्न प्रकार होते हैं। हस्ताक्षर में अक्सर विभिन्न प्रकार की वस्तुओं के बीच द्विआधारी घटना संबंध शामिल होंगे; उदाहरण के लिए, यह संबंध कि एक बिंदु एक रेखा पर स्थित है। हस्ताक्षर में अधिक जटिल संबंध हो सकते हैं; उदाहरण के लिए आदेशित ज्यामिति में 3 बिंदुओं के लिए एक त्रिक मध्यता संबंध हो सकता है, जो बताता है कि क्या एक अन्य दो बिंदुओं के बीच स्थित है, या 2 जोड़े बिंदुओं के बीच एक सर्वांगसमता संबंध है।

ज्यामिति की स्वयंसिद्ध प्रणालियों के कुछ उदाहरणों में क्रमबद्ध ज्यामिति, निरपेक्ष ज्यामिति, एफ़िन ज्यामिति, यूक्लिडियन ज्यामिति, प्रक्षेप्य ज्यामिति और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति शामिल हैं। इनमें से प्रत्येक ज्यामिति के लिए विभिन्न आयामों के लिए स्वयंसिद्धों की कई अलग-अलग और असमान प्रणालियाँ हैं। इनमें से कुछ स्वयंसिद्ध प्रणालियों में पूर्णता स्वयंसिद्ध शामिल हैं जो प्रथम क्रम के नहीं हैं।

एक विशिष्ट उदाहरण के रूप में, प्रक्षेप्य ज्यामिति के लिए स्वयंसिद्ध 2 प्रकार, बिंदुओं और रेखाओं और बिंदुओं और रेखाओं के बीच एक द्विआधारी घटना संबंध का उपयोग करते हैं। यदि बिंदु और रेखा चर को छोटे और बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है, और A की घटना को aA के रूप में लिखा जाता है, तो स्वयंसिद्धों का एक सेट है

• $\forall a\forall b\;\lnot a=b\rightarrow \exists C\;aC\land bC$ (किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं a,b से होकर एक रेखा गुजरती है...)
• $\forall a\forall b\forall C\forall D\;\lnot a=b\land aC\land bC\land aD\land bD\rightarrow C=D$ (...जो अद्वितीय है)
• $\forall a\forall b\forall c\forall d\forall e\forall G\forall H\;aH\land bH\land eH\land cG\land dG\land eG\rightarrow \exists f\exists I\exists J\;aI\land cI\land fI\land bJ\land dJ\land fJ$ (वेब्लेन का अभिगृहीत: यदि एबी और सीडी प्रतिच्छेदी रेखाओं पर हैं, तो एसी और बीडी भी हैं।)
• $\forall A\exists b\exists c\exists d\;bA\land cA\land dA\land \lnot b=c\land \lnot b=d\land \lnot c=d$ (प्रत्येक पंक्ति में कम से कम 3 बिंदु होते हैं)

यूक्लिड ने यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए सभी स्वयंसिद्धों को स्पष्ट रूप से नहीं बताया, और पहली पूरी सूची हिल्बर्ट द्वारा हिल्बर्ट के स्वयंसिद्धों में दी गई थी। यह प्रथम क्रम का स्वयंसिद्धीकरण नहीं है क्योंकि हिल्बर्ट के स्वयंसिद्धों में से एक दूसरे क्रम की पूर्णता का स्वयंसिद्ध है। टार्स्की के अभिगृहीत यूक्लिडियन ज्यामिति का प्रथम क्रम का स्वयंसिद्धीकरण हैं। टार्स्की ने इसे वास्तविक बंद क्षेत्रों के पूर्ण और निर्णायक सिद्धांत से जोड़कर दिखाया कि यह स्वयंसिद्ध प्रणाली पूर्ण और निर्णायक है।

विभेदक बीजगणित

• विभेदक क्षेत्रों का सिद्धांत डीएफ।

हस्ताक्षर एक यूनिरी फ़ंक्शन ∂, व्युत्पत्ति के साथ फ़ील्ड (0, 1, +, -, ×) का है। अभिगृहीत वे हैं जो खेतों के लिए एक साथ हैं

$\forall u\forall v\,\partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u$

$\forall u\forall v\,\partial (u+v)=\partial u+\partial v\ .$

इस सिद्धांत के लिए कोई यह शर्त जोड़ सकता है कि विशेषता p, एक अभाज्य या शून्य है, सिद्धांत डीएफ प्राप्त करने के लिए_p विशेषता पी के विभेदक क्षेत्रों का (और इसी तरह नीचे दिए गए अन्य सिद्धांतों के साथ)।

यदि K एक विभेदक क्षेत्र है तो स्थिरांक का क्षेत्र $k=\{u\in K:\partial (u)=0\}.$ विभेदक रूप से परिपूर्ण क्षेत्रों का सिद्धांत इस शर्त के साथ विभेदक क्षेत्रों का सिद्धांत है कि स्थिरांक का क्षेत्र एकदम सही है; दूसरे शब्दों में, प्रत्येक अभाज्य p के लिए इसका स्वयंसिद्ध कथन है:

$\forall u\,\partial (u)=0\land p1=0\rightarrow \exists v\,v^{p}=u$

(यह मांग करने का कोई मतलब नहीं है कि पूरा क्षेत्र एक आदर्श क्षेत्र होना चाहिए, क्योंकि गैर-शून्य विशेषता में इसका मतलब है कि अंतर 0 है।) क्वांटिफायर उन्मूलन से संबंधित तकनीकी कारणों से, कभी-कभी सिद्धांतों के साथ हस्ताक्षर में एक नया प्रतीक आर जोड़कर निरंतर क्षेत्र को सही होने के लिए मजबूर करना अधिक सुविधाजनक होता है।

$\forall u\,\partial (u)=0\land p1=0\rightarrow r(u)^{p}=u$

$\forall u\,\lnot \partial (u)=0\rightarrow r(u)=0.$

• विभेदक रूप से बंद क्षेत्रों का सिद्धांत (DCF) विभेदित रूप से पूर्ण क्षेत्रों का सिद्धांत है जिसमें स्वयंसिद्ध कथन हैं कि यदि f और g विभेदक बहुपद हैं और f का विभाजक गैर-शून्य है और g≠0 है और f का क्रम g से अधिक है, तो f(x)=0 और g(x) के साथ क्षेत्र में कुछ x है ≠0.

जोड़

उत्तराधिकारी फलन के साथ प्राकृतिक संख्याओं के सिद्धांत में एक स्थिरांक 0 और एक एकल फलन S से युक्त हस्ताक्षर होते हैं (उत्तराधिकारी: S(x) की व्याख्या x+ के रूप में की जाती है 1), और इसके स्वयंसिद्ध हैं:

1. ∀x ¬ Sx = 0
2. ∀x∀y Sx = Sy → x = y
3. मान लीजिए P(x) एक सुगठित सूत्र है|एक एकल मुक्त चर x के साथ प्रथम-क्रम सूत्र। फिर निम्नलिखित सूत्र एक स्वयंसिद्ध है:

(P(0) ∧ ∀x(P(x)→P(Sx))) → ∀y पी(वाई).

अंतिम स्वयंसिद्ध (प्रेरण) को स्वयंसिद्धों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है

• प्रत्येक पूर्णांक n>0 के लिए, अभिगृहीत ∀x SSS...Sx ≠ x (S की n प्रतियों के साथ)
• ∀x ¬ x = 0 → ∃y Sy = x

उत्तराधिकारी फ़ंक्शन के साथ प्राकृतिक संख्याओं का सिद्धांत पूर्ण और निर्णायक है, और बेशुमार κ के लिए κ-श्रेणीबद्ध है, लेकिन गणनीय κ के लिए नहीं।

प्रेस्बर्गर अंकगणित जोड़ के तहत प्राकृतिक संख्याओं का सिद्धांत है, जिसमें हस्ताक्षर में एक स्थिरांक 0, एक यूनरी फ़ंक्शन एस और एक बाइनरी फ़ंक्शन + शामिल होता है। यह पूर्ण एवं निर्णययोग्य है। स्वयंसिद्ध हैं

1. ∀x ¬ Sx = 0
2. ∀x∀y Sx = Sy → x = y
3. ∀x x + 0 = x
4. ∀x∀y x + Sy = S(x + y)
5. मान लीजिए P(x) एक एकल मुक्त चर x के साथ प्रथम-क्रम सूत्र है। फिर निम्नलिखित सूत्र एक स्वयंसिद्ध है:

(P(0) ∧ ∀x(P(x)→P(Sx))) → ∀y पी(वाई).

अंकगणित

ऊपर वर्णित प्रथम क्रम के कई सिद्धांतों को पुनरावर्ती रूप से गणना योग्य सुसंगत सिद्धांतों को पूरा करने के लिए बढ़ाया जा सकता है। यह अब निम्नलिखित अधिकांश सिद्धांतों के लिए सत्य नहीं है; वे आम तौर पर प्राकृतिक संख्याओं के गुणन और जोड़ दोनों को एनकोड कर सकते हैं, और इससे उन्हें खुद को एनकोड करने के लिए पर्याप्त शक्ति मिलती है, जिसका अर्थ है कि गोडेल की अपूर्णता प्रमेय लागू होती है और सिद्धांत अब पूर्ण और पुनरावर्ती रूप से गणना योग्य नहीं हो सकते हैं (जब तक कि वे असंगत न हों)।

अंकगणित के एक सिद्धांत के हस्ताक्षर हैं:

• स्थिरांक 0;
• एकात्मक कार्य, उत्तराधिकारी फ़ंक्शन, यहां उपसर्ग एस द्वारा, या अन्यत्र उपसर्ग σ या पोस्टफिक्स ′ द्वारा दर्शाया गया है;
• दो द्विआधारी फलन, जो इनफ़िक्स + और × द्वारा निरूपित होते हैं, जोड़ और गुणा कहलाते हैं।

कुछ लेखक फ़ंक्शन S के बजाय एक स्थिरांक 1 को शामिल करने के लिए हस्ताक्षर लेते हैं, फिर S को स्पष्ट तरीके से St = 1 + t के रूप में परिभाषित करते हैं।

'रॉबिन्सन अंकगणित' (जिसे 'क्यू' भी कहा जाता है)। अभिगृहीत (1) और (2) विशिष्ट तत्व 0 को नियंत्रित करते हैं। (3) आश्वासन देता है कि एस एक इंजेक्शन का कार्य है। अभिगृहीत (4) और (5) जोड़ की मानक पुनरावर्ती परिभाषा हैं; गुणन के लिए (6) और (7) भी ऐसा ही करें। रॉबिन्सन अंकगणित को प्रेरण के बिना पीनो अंकगणित के रूप में सोचा जा सकता है। 'क्यू' एक कमजोर सिद्धांत है जिसके लिए गोडेल की अपूर्णता प्रमेय|गोडेल की अपूर्णता प्रमेय मान्य है। अभिगृहीत:

1. ∀x ¬ Sx = 0
2. ∀x ¬ x = 0 → ∃y Sy = x
3. ∀x∀y Sx = Sy → x = y
4. ∀x x + 0 = x
5. ∀x∀y x + Sy = S(x + y)
6. ∀x x × 0 = 0
7. ∀x∀y x × Sy = (x × y) + x.

'मैंΣ_nअंकगणितीय पदानुक्रम|Σ तक सीमित प्रेरण के साथ पहला क्रम पीनो अंकगणित है_n सूत्र (n = 0, 1, 2, ... के लिए)। सिद्धांत IΣ₀ इसे अक्सर IΔ द्वारा निरूपित किया जाता है₀. यह पीनो अंकगणित के अधिक से अधिक शक्तिशाली अंशों की एक श्रृंखला है। केस n = 1 में 'आदिम पुनरावर्ती अंकगणित' (पीआरए) के समान ही ताकत है। 'घातांकीय फलन अंकगणित ' (ईएफए) IΣ है₀ एक स्वयंसिद्ध कथन के साथ कि x^y सभी x और y के लिए मौजूद है (सामान्य गुणों के साथ)।

'प्रथम क्रम पीनो अंकगणित', 'पीए'। अंकगणित का मानक सिद्धांत. स्वयंसिद्ध उपरोक्त रॉबिन्सन अंकगणित के स्वयंसिद्ध हैं, प्रेरण की स्वयंसिद्ध योजना के साथ:

• $\phi (0)\wedge (\forall x\phi (x)\rightarrow \phi (Sx))\rightarrow (\forall x\phi (x))$ पीए की भाषा में किसी भी सूत्र φ के लिए। φ में x के अलावा अन्य मुक्त चर हो सकते हैं।

कर्ट गोडेल के 1931 के पेपर ने साबित कर दिया कि पीए अधूरा है, और इसमें लगातार पुनरावर्ती गणना योग्य पूर्णताएं नहीं हैं।

पूर्ण अंकगणित (जिसे वास्तविक अंकगणित के रूप में भी जाना जाता है) अंकगणित के मानक मॉडल, प्राकृतिक संख्या एन का सिद्धांत है। यह पूर्ण है लेकिन इसमें स्वयंसिद्धों का पुनरावर्ती रूप से गणना योग्य सेट नहीं है।

वास्तविक संख्याओं के लिए, स्थिति थोड़ी अलग है: वह मामला जिसमें केवल जोड़ और गुणा शामिल है, पूर्णांकों को एन्कोड नहीं कर सकता है, और इसलिए गोडेल की अपूर्णता प्रमेय टार्स्की-सीडेनबर्ग प्रमेय है। वास्तविक संख्याओं के प्रथम-क्रम सिद्धांतों की निर्णायकता आगे फ़ंक्शन प्रतीकों (जैसे, घातांक) को जोड़ने पर उत्पन्न होती है।

द्वितीय क्रम अंकगणित

Main article: Second-order arithmetic

दूसरे क्रम का अंकगणित दो प्रकार के चर के साथ पहले क्रम के सिद्धांत (नाम के बावजूद) को संदर्भित कर सकता है, जिसे पूर्णांकों और पूर्णांकों के उपसमुच्चय में भिन्न माना जाता है। (दूसरे क्रम के तर्क में अंकगणित का एक सिद्धांत भी है जिसे दूसरे क्रम के अंकगणित कहा जाता है। इसमें केवल एक मॉडल है, पहले क्रम के तर्क में संबंधित सिद्धांत के विपरीत, जो अधूरा है।) हस्ताक्षर आम तौर पर हस्ताक्षर 0 होगा, अंकगणित का S, +, ×, पूर्णांकों और उपसमुच्चयों के बीच एक सदस्यता संबंध ∈ के साथ (हालांकि कई छोटे बदलाव हैं)। स्वयंसिद्ध सिद्धांत रॉबिन्सन अंकगणित के हैं, साथ में गणितीय प्रेरण की स्वयंसिद्ध योजनाएं और विनिर्देशन की स्वयंसिद्ध स्कीमा भी हैं।

दूसरे क्रम के अंकगणित के कई अलग-अलग उप-सिद्धांत हैं जो इस बात में भिन्न हैं कि प्रेरण और समझ योजनाओं में किन सूत्रों की अनुमति है। बढ़ती ताकत के क्रम में, पांच सबसे आम प्रणालियाँ हैं

• ${\mathsf {RCA}}_{0}$, पुनरावर्ती समझ
• ${\mathsf {WKL}}_{0}$, कमजोर कोनिग की लेम्मा
• ${\mathsf {ACA}}_{0}$, अंकगणितीय समझ
• ${\mathsf {ATR}}_{0}$, अंकगणितीय ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन
• $\Pi _{1}^{1}{\mbox{-}}{\mathsf {CA}}_{0}$, $\Pi _{1}^{1}$ समझ

इन्हें दूसरे क्रम के अंकगणित और विपरीत गणित पर लेखों में विस्तार से परिभाषित किया गया है।

सिद्धांत सेट करें

सेट सिद्धांत के सामान्य हस्ताक्षर में एक द्विआधारी संबंध ∈ होता है, कोई स्थिरांक नहीं होता है, और कोई कार्य नहीं होता है। नीचे दिए गए कुछ सिद्धांत वर्ग सिद्धांत हैं जिनमें दो प्रकार की वस्तुएँ, समुच्चय और वर्ग हैं। प्रथम-क्रम तर्क में इसे संभालने के तीन सामान्य तरीके हैं:

1. दो प्रकार के साथ प्रथम-क्रम तर्क का उपयोग करें।
2. सामान्य प्रथम-क्रम तर्क का उपयोग करें, लेकिन एक नया यूनरी विधेय सेट जोड़ें, जहां सेट (टी) का अर्थ अनौपचारिक रूप से टी एक सेट है।
3. सामान्य प्रथम-क्रम तर्क का उपयोग करें, और भाषा में एक नया विधेय जोड़ने के बजाय, Set(t) को ∃y t∈y के संक्षिप्त नाम के रूप में मानें

कुछ प्रथम क्रम सेट सिद्धांतों में शामिल हैं:

• कमजोर सिद्धांतों में शक्तियों का अभाव:
  • सामान्य सेट सिद्धांत|एस' (टार्स्की, मोस्टोवस्की, और रॉबिन्सन, 1953); (अंततः स्वयंसिद्ध)
  • क्रिपके-प्लेटक सेट सिद्धांत; केपी;
  • पॉकेट सेट सिद्धांत
  • सामान्य सेट सिद्धांत, जीएसटी
  • रचनात्मक सेट सिद्धांत, सीजेडएफ
• मैक लेन सेट सिद्धांत और प्राथमिक टोपोस सिद्धांत
• ज़र्मेलो सेट सिद्धांत; जेड
• जर्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत; जेडएफ, जेडएफसी;
• वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत; एनबीजी; (अंततः स्वयंसिद्ध)
• एकरमैन सेट सिद्धांत;
• स्कॉट-पॉटर सेट सिद्धांत
• नई नींव; एनएफ (अंततः स्वयंसिद्ध)
• सकारात्मक समुच्चय सिद्धांत
• मोर्स-केली सेट सिद्धांत; एमके;
• टार्स्की-ग्रोथेंडिक सेट सिद्धांत; टीजी;

कुछ अतिरिक्त प्रथम क्रम के सिद्धांत जिन्हें इनमें से किसी एक (आमतौर पर ZF) में जोड़ा जा सकता है, उनमें शामिल हैं:

• पसंद का सिद्धांत, आश्रित विकल्प का सिद्धांत
• सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना
• मार्टिन का स्वयंसिद्ध (आमतौर पर सातत्य परिकल्पना के खंडन के साथ), मार्टिन का अधिकतम
• डायमंडसूट|◊ और क्लबसूट|♣
• रचनात्मकता का अभिगृहीत (V=L)
• उचित बल सिद्धांत
• विश्लेषणात्मक निर्धारण, प्रक्षेप्य निर्धारण, निर्धारण का सिद्धांत
• बड़ी कार्डिनल संपत्तियों की कई सूची

यह भी देखें

• Glossary of areas of mathematics
• List of mathematical theories

अग्रिम पठन

• Chang, C.C.; Keisler, H. Jerome (1989), Model Theory (3 ed.), Elsevier, ISBN 0-7204-0692-7
• Hodges, Wilfrid (1997), A shorter model theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-58713-1
• Marker, David (2002), Model Theory: An Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 217, Springer, ISBN 0-387-98760-6