हेसेनबर्ग आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, हेसेनबर्ग मैट्रिक्स एक विशेष प्रकार का वर्ग मैट्रिक्स है, जो लगभग त्रिकोणीय मैट्रिक्स है। सटीक रूप से कहें तो, ऊपरी हेसेनबर्ग मैट्रिक्स में पहले विकर्ण#मैट्रिसेस के नीचे शून्य प्रविष्टियाँ हैं, और निचले हेसेनबर्ग मैट्रिक्स में पहले विकर्ण#मैट्रिसेस के ऊपर शून्य प्रविष्टियाँ हैं। इनका नाम कार्ल हेसेनबर्ग के नाम पर रखा गया है।

परिभाषाएँ

अपर हेसेनबर्ग मैट्रिक्स

एक वर्ग $n\times n$ आव्यूह $A$ कहा जाता है कि यह ऊपरी हेसेनबर्ग रूप में है या यदि यह ऊपरी हेसेनबर्ग मैट्रिक्स है $a_{i,j}=0$ सभी के लिए $i,j$ साथ $i>j+1$.

एक ऊपरी हेसेनबर्ग मैट्रिक्स को अनरिड्यूस्ड कहा जाता है यदि सभी उपविकर्णीय प्रविष्टियाँ गैर-शून्य हैं, अर्थात यदि $a_{i+1,i}\neq 0$ सभी के लिए $i\in \{1,\ldots ,n-1\}$.

लोअर हेसेनबर्ग मैट्रिक्स

एक वर्ग $n\times n$ आव्यूह $A$ कहा जाता है कि यह निम्न हेसेनबर्ग रूप में है या यदि इसका स्थानांतरण होता है तो यह निम्न हेसेनबर्ग मैट्रिक्स है Failed to parse (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle } एक ऊपरी हेसेनबर्ग मैट्रिक्स है या समकक्ष यदि $a_{i,j}=0$ सभी के लिए $i,j$ साथ $j>i+1$.

यदि सभी सुपरडायगोनल प्रविष्टियाँ गैर-शून्य हैं, तो निचले हेसेनबर्ग मैट्रिक्स को अनरिड्यूस्ड कहा जाता है, अर्थात यदि $a_{i,i+1}\neq 0$ सभी के लिए $i\in \{1,\ldots ,n-1\}$.

उदाहरण

निम्नलिखित आव्यूहों पर विचार करें।

$$A={\begin{bmatrix}1&4&2&3\\3&4&1&7\\0&2&3&4\\0&0&1&3\\\end{bmatrix}}$$

$$B={\begin{bmatrix}1&2&0&0\\5&2&3&0\\3&4&3&7\\5&6&1&1\\\end{bmatrix}}$$

$$C={\begin{bmatrix}1&2&0&0\\5&2&0&0\\3&4&3&7\\5&6&1&1\\\end{bmatrix}}$$

गणित का सवाल $A$ एक ऊपरी अपरिष्कृत हेसेनबर्ग मैट्रिक्स है, $B$ एक निचला अप्रतिबंधित हेसेनबर्ग मैट्रिक्स है और $C$ एक निचला हेस्सेनबर्ग मैट्रिक्स है लेकिन कम नहीं किया गया है।

कंप्यूटर प्रोग्रामिंग

त्रिकोणीय मैट्रिक्स पर लागू होने पर कई रैखिक बीजगणित कलन विधि को काफी कम कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत की आवश्यकता होती है, और यह सुधार अक्सर हेसेनबर्ग मैट्रिक्स पर भी लागू होता है। यदि एक रैखिक बीजगणित समस्या की बाधाएं एक सामान्य मैट्रिक्स को आसानी से त्रिकोणीय में कम करने की अनुमति नहीं देती हैं, तो हेसेनबर्ग फॉर्म में कमी अक्सर अगली सबसे अच्छी बात होती है। वास्तव में, किसी भी मैट्रिक्स को हेसेनबर्ग फॉर्म में कम करना चरणों की एक सीमित संख्या में प्राप्त किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, हाउसहोल्डर ट्रांसफॉर्मेशन के माध्यम से | एकात्मक समानता परिवर्तनों के हाउसहोल्डर ट्रांसफॉर्मेशन)। हेसेनबर्ग मैट्रिक्स को त्रिकोणीय मैट्रिक्स में बाद में कमी को पुनरावृत्त प्रक्रियाओं के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है, जैसे स्थानांतरित क्यूआर अपघटन-कारकीकरण। eigenvalue एल्गोरिथ्म में, हेसेनबर्ग मैट्रिक्स को अपस्फीति चरणों के साथ संयुक्त शिफ्टेड क्यूआर-फैक्टराइजेशन के माध्यम से त्रिकोणीय मैट्रिक्स में कम किया जा सकता है। एक सामान्य मैट्रिक्स को हेसेनबर्ग मैट्रिक्स में कम करना और फिर एक सामान्य मैट्रिक्स को सीधे त्रिकोणीय मैट्रिक्स में कम करने के बजाय एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स में कम करना, अक्सर आइजेनवैल्यू समस्याओं के लिए क्यूआर एल्गोरिदम में शामिल अंकगणित को मितव्ययी बनाता है।

हेसेनबर्ग मैट्रिक्स में कमी

कोई $n\times n$ हाउसहोल्डर परिवर्तनों का उपयोग करके समानता परिवर्तन द्वारा मैट्रिक्स को हेसेनबर्ग मैट्रिक्स में परिवर्तित किया जा सकता है। इस तरह के परिवर्तन के लिए निम्नलिखित प्रक्रिया गार्सिया और रोजर द्वारा लिखित ए सेकेंड कोर्स इन लीनियर अलजेब्रा से अनुकूलित है। होने देना $A$ कोई भी वास्तविक या जटिल हो $n\times n$ मैट्रिक्स, फिर चलो $A^{\prime }$ हो $(n-1)\times n$ का सबमैट्रिक्स $A$ पहली पंक्ति को हटाकर इसका निर्माण किया गया $A$ और जाने $\mathbf {a} _{1}^{\prime }$ का पहला कॉलम बनें $A'$. का निर्माण करें $(n-1)\times (n-1)$ गृहस्थ मैट्रिक्स $V_{1}=I_{(n-1)}-2{\frac {ww^{*}}{\|w\|^{2}}}$ कहाँ

$$w={\begin{cases}\|\mathbf {a} _{1}^{\prime }\|_{2}\mathbf {e} _{1}-\mathbf {a} _{1}^{\prime }\;\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;a_{11}^{\prime }=0\\\|\mathbf {a} _{1}^{\prime }\|_{2}\mathbf {e} _{1}+{\frac {\overline {a_{11}^{\prime }}}{|a_{11}^{\prime }|}}\mathbf {a} _{1}^{\prime }\;\;\;,\;\;\;a_{11}^{\prime }\neq 0\\\end{cases}}$$

यह गृहस्थ मैट्रिक्स मैप करेगा $\mathbf {a} _{1}^{\prime }$ को $\|\mathbf {a} _{1}^{\prime }\|\mathbf {e} _{1}$ और इस प्रकार, ब्लॉक मैट्रिक्स $U_{1}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &V_{1}\end{bmatrix}}$ मैट्रिक्स को मैप करेगा $A$ मैट्रिक्स के लिए $U_{1}A$ जिसके पहले कॉलम की दूसरी प्रविष्टि के नीचे केवल शून्य है। अब निर्माण करें $(n-2)\times (n-2)$ गृहस्थ मैट्रिक्स $V_{2}$ उसी तरह जैसे $V_{1}$ ऐसा है कि $V_{2}$ के पहले कॉलम को मैप करता है $A^{\prime \prime }$ को $\|\mathbf {a} _{1}^{\prime \prime }\|\mathbf {e} _{1}$, कहाँ $A^{\prime \prime }$ का सबमैट्रिक्स है $A^{\prime }$ की पहली पंक्ति और पहले कॉलम को हटाकर बनाया गया है $A^{\prime }$, तो करने दें $U_{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&V_{2}\end{bmatrix}}$ जो मानचित्र $U_{1}A$ मैट्रिक्स के लिए $U_{2}U_{1}A$ जिसके उपविकर्ण की पहली और दूसरी प्रविष्टि के नीचे केवल शून्य हैं। अब निर्माण करें $V_{3}$ और तब $U_{3}$ इसी तरह, लेकिन मैट्रिक्स के लिए $A^{\prime \prime \prime }$ की पहली पंक्ति और पहले कॉलम को हटाकर बनाया गया है $A^{\prime \prime }$ और पिछले चरणों की तरह आगे बढ़ें। कुल मिलाकर इसी तरह जारी रखें $n-2$ कदम।

के निर्माण द्वारा $U_{k}$, पहला $k$ किसी की पंक्तियाँ $n\times n$ गुणा के अंतर्गत मैट्रिक्स अपरिवर्तनीय हैं $U_{k}^{*}$ दाईं ओर से. इसलिए, किसी भी मैट्रिक्स को फॉर्म के समानता परिवर्तन द्वारा ऊपरी हेसेनबर्ग मैट्रिक्स में परिवर्तित किया जा सकता है $U_{(n-2)}(\dots (U_{2}(U_{1}AU_{1}^{*})U_{2}^{*})\dots )U_{(n-2)}^{*}=U_{(n-2)}\dots U_{2}U_{1}A(U_{(n-2)}\dots U_{2}U_{1})^{*}=UAU^{*}$.

गुण

के लिए $n\in \{1,2\}$, यह निरा सत्य है कि हर $n\times n$ मैट्रिक्स ऊपरी हेसेनबर्ग और निचला हेसेनबर्ग दोनों है। त्रिकोणीय मैट्रिक्स वाले हेसेनबर्ग मैट्रिक्स का उत्पाद फिर से हेसेनबर्ग है। अधिक सटीक रूप से, यदि $A$ ऊपरी हेसेनबर्ग है और $T$ तो, ऊपरी त्रिकोणीय है $AT$ और $TA$ ऊपरी हेसेनबर्ग हैं।

एक मैट्रिक्स जो ऊपरी हेसेनबर्ग और निचला हेसेनबर्ग दोनों है, एक त्रिविकर्ण मैट्रिक्स है, जिसमें सममित या हर्मिटियन हेसेनबर्ग मैट्रिक्स महत्वपूर्ण उदाहरण हैं। एक हर्मिटियन मैट्रिक्स को त्रि-विकर्ण वास्तविक सममित मैट्रिक्स में घटाया जा सकता है।

हेसेनबर्ग ऑपरेटर

हेसेनबर्ग ऑपरेटर एक अनंत आयामी हेसेनबर्ग मैट्रिक्स है। यह आमतौर पर कुछ डोमेन पर वर्ग-अभिन्न होलोमोर्फिक कार्य के स्थान के लिए ऑर्थोगोनल बहुपद की एक प्रणाली के लिए जैकोबी संचालक के सामान्यीकरण के रूप में होता है - यानी, एक बर्गमैन स्पेस। इस मामले में, हेसेनबर्ग ऑपरेटर राइट-शिफ्ट ऑपरेटर है $S$, द्वारा दिए गए

$$[Sf](z)=zf(z).$$

हेसेनबर्ग ऑपरेटर के प्रत्येक प्रमुख सबमैट्रिक्स के eigenvalue उस सबमैट्रिक्स के लिए विशेषता बहुपद द्वारा दिए गए हैं। इन बहुपदों को बर्गमैन बहुपद कहा जाता है, और बर्गमैन अंतरिक्ष के लिए एक ऑर्थोगोनल बहुपद आधार प्रदान करते हैं।

यह भी देखें

• हेसेनबर्ग किस्म

संदर्भ

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.
• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95452-3.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 11.6.2. Reduction to Hessenberg Form", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

बाहरी संबंध

• Hessenberg matrix at MathWorld.
• Hessenberg matrix at PlanetMath.
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form