फ्रोबेनियस सहसंयोजक

मैट्रिक्स (गणित) में, एक वर्ग मैट्रिक्स के फ्रोबेनियस सहसंयोजक A इसके विशेष बहुपद हैं, अर्थात् प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) मैट्रिक्स ए_i के eigenvalue, eigenvector और eigenspace से संबद्ध A. इनका नाम गणितज्ञ फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस के नाम पर रखा गया है।

प्रत्येक सहसंयोजक eigenvalue, eigenvector और eigenvalue से जुड़े eigenspace पर एक प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) है λ_i. फ्रोबेनियस सहसंयोजक सिल्वेस्टर के सूत्र के गुणांक हैं, जो एक मैट्रिक्स फ़ंक्शन को व्यक्त करते हैं f(A) एक मैट्रिक्स बहुपद के रूप में, अर्थात् एक रैखिक संयोजन उस फ़ंक्शन के मानों के eigenvalues ​​पर A.

औपचारिक परिभाषा

होने देना A eigenvalues ​​λ के साथ एक विकर्णीय मैट्रिक्स बनें₁, ..., एल_k.

फ्रोबेनियस सहसंयोजक A_i, i = 1 के लिए,…, k, मैट्रिक्स है

$A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}(A-\lambda _{j}I)~.$

यह अनिवार्य रूप से मैट्रिक्स तर्क के साथ लैग्रेंज बहुपद है। यदि eigenvalue λ_i सरल है, फिर एक-आयामी उप-स्थान के लिए एक निष्क्रिय प्रक्षेपण मैट्रिक्स के रूप में, A_i की एक इकाई ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है।

See also: Resolvent formalism

सहसंयोजकों की गणना

फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस (1849-1917), जर्मन गणितज्ञ। उनकी मुख्य रुचि अण्डाकार कार्य विभेदक समीकरण और बाद में समूह सिद्धांत थे।

एक मैट्रिक्स के फ्रोबेनियस सहसंयोजक A किसी भी eigendecomposition से प्राप्त किया जा सकता है A = SDS⁻¹, कहाँ S गैर-एकवचन है और D के साथ विकर्ण है D_i,i = λ_i.

अगर A में कोई एकाधिक eigenvalues ​​​​नहीं है, तो मान लीजिए c_i हो iका सही eigenvector A, वह यह है कि iवाँ कॉलम S; और चलो आर_i हो iवें बाएँ eigenvector A, अर्थात् iवीं पंक्ति S⁻¹. तब A_i = c_i r_i.

अगर A का एक eigenvalue λ है_i फिर, कई बार प्रदर्शित होना A_i = Σ_j c_j r_j, जहां योग eigenvalue λ से जुड़ी सभी पंक्तियों और स्तंभों पर है_i.

उदाहरण

दो-दो-दो मैट्रिक्स पर विचार करें:

$A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}.$

इस मैट्रिक्स के दो eigenvalues, 5 और −2 हैं; इस तरह (A − 5)(A + 2) = 0.

संगत eigen अपघटन है

$A={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\\4&-3\end{bmatrix}}.$

इसलिए फ्रोबेनियस सहसंयोजक, स्पष्ट रूप से अनुमान हैं

${\begin{array}{rl}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3/7&3/7\\4/7&4/7\end{bmatrix}}=A_{1}^{2}\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}1/7\\-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4/7&-3/7\\-4/7&3/7\end{bmatrix}}=A_{2}^{2}~,\end{array}}$

साथ

$A_{1}A_{2}=0,\qquad A_{1}+A_{2}=I~.$

टिप्पणी tr A₁ = tr A₂ = 1, आवश्यकता अनुसार।