हॉज संरचना

गणित में, एक हॉज संरचना, जिसका नाम डब्ल्यू. पियरे डेलिग्ने (1970) द्वारा परिभाषित मिश्रित हॉज संरचनाओं के रूप में हॉज संरचनाओं को सभी जटिल किस्मों (भले ही वे गणितीय विलक्षणता और पूर्ण विविधता | गैर-पूर्ण) के लिए सामान्यीकृत किया गया है। हॉज संरचना का एक रूपांतर हॉज संरचनाओं का एक परिवार है जिसे मैनिफोल्ड द्वारा मानकीकृत किया गया है, जिसका अध्ययन सबसे पहले फिलिप ग्रिफिथ्स (1968) द्वारा किया गया था। इन सभी अवधारणाओं को मोरिहिको सैटो (1989) द्वारा जटिल किस्मों की तुलना में मिश्रित हॉज मॉड्यूल में सामान्यीकृत किया गया था।

हॉज संरचनाएं

हॉज संरचनाओं की परिभाषा

पूर्णांक भार n की शुद्ध हॉज संरचना में एक एबेलियन समूह होता है $H_{\mathbb {Z} }$ और इसके जटिलीकरण एच का जटिल उप-स्थानों के प्रत्यक्ष योग में अपघटन $H^{p,q}$, कहाँ $p+q=n$, उस संपत्ति के साथ जो जटिल संयुग्मित होती है $H^{p,q}$ है $H^{q,p}$:

$H:=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =\bigoplus \nolimits _{p+q=n}H^{p,q},$

${\overline {H^{p,q}}}=H^{q,p}.$

एच के प्रत्यक्ष योग अपघटन को 'हॉज निस्पंदन' द्वारा प्रतिस्थापित करके एक समतुल्य परिभाषा प्राप्त की जाती है, जटिल उप-स्थानों द्वारा एच का एक सीमित घटता निस्पंदन (गणित) $F^{p}H(p\in \mathbb {Z} ),$ शर्त के अधीन

$\forall p,q\ :\ p+q=n+1,\qquad F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}}=0\quad {\text{and}}\quad F^{p}H\oplus {\overline {F^{q}H}}=H.$

इन दोनों विवरणों के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है:

$H^{p,q}=F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}},$

$F^{p}H=\bigoplus \nolimits _{i\geq p}H^{i,n-i}.$

उदाहरण के लिए, यदि X एक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड है, $H_{\mathbb {Z} }=H^{n}(X,\mathbb {Z} )$ पूर्णांक गुणांकों के साथ X का n-वाँ कोहोमोलोजी समूह है $H=H^{n}(X,\mathbb {C} )$ जटिल गुणांकों वाला इसका n-वाँ कोहोमोलॉजी समूह है और हॉज सिद्धांत उपरोक्त के अनुसार H के प्रत्यक्ष योग में अपघटन प्रदान करता है, ताकि ये डेटा वजन n की शुद्ध हॉज संरचना को परिभाषित करें। दूसरी ओर, 'हॉज-डी रैम स्पेक्ट्रल अनुक्रम' आपूर्ति करता है $H^{n}$ घटते निस्पंदन के साथ $F^{p}H$ जैसा कि दूसरी परिभाषा में है। बीजगणितीय ज्यामिति में अनुप्रयोगों के लिए, अर्थात्, उनकी अवधि मानचित्रण द्वारा जटिल प्रक्षेप्य किस्मों का वर्गीकरण, वजन एन के सभी हॉज संरचनाओं का सेट $H_{\mathbb {Z} }$ बहुत बड़ा है। रीमैन द्विरेखीय संबंधों का उपयोग करते हुए, इस मामले में जिसे हॉज रीमैन द्विरेखीय संबंध कहा जाता है, इसे काफी हद तक सरल बनाया जा सकता है। 'वजन n की ध्रुवीकृत हॉज संरचना' में एक हॉज संरचना शामिल होती है $(H_{\mathbb {Z} },H^{p,q})$ और एक गैर-पतित पूर्णांक द्विरेखीय रूप Q पर $H_{\mathbb {Z} }$ (एबेलियन किस्म#ध्रुवीकरण और दोहरी एबेलियन किस्म), जो रैखिकता द्वारा एच तक विस्तारित है, और शर्तों को संतुष्ट करती है:

${\begin{aligned}Q(\varphi ,\psi )&=(-1)^{n}Q(\psi ,\varphi );\\Q(\varphi ,\psi )&=0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'},p\neq q';\\i^{p-q}Q\left(\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\ \varphi \neq 0.\end{aligned}}$

हॉज निस्पंदन के संदर्भ में, ये स्थितियाँ यही दर्शाती हैं

${\begin{aligned}Q\left(F^{p},F^{n-p+1}\right)&=0,\\Q\left(C\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \neq 0,\end{aligned}}$

जहां C, H पर वेइल ऑपरेटर है, द्वारा दिया गया है $C=i^{p-q}$ पर $H^{p,q}$.

हॉज संरचना की एक और परिभाषा इनके बीच समानता पर आधारित है $\mathbb {Z}$-एक जटिल सदिश स्थान और वृत्त समूह U(1) की क्रिया पर ग्रेडिंग। इस परिभाषा में, सम्मिश्र संख्याओं के गुणन समूह की एक क्रिया $\mathbb {C} ^{*}$ इसे द्वि-आयामी वास्तविक बीजगणितीय टोरस के रूप में देखा जाता है, जो एच पर दिया गया है। इस क्रिया में यह गुण होना चाहिए कि एक वास्तविक संख्या a, a द्वारा कार्य करती हैⁿ. उपस्थान $H^{p,q}$ वह उपस्थान है जिस पर $z\in \mathbb {C} ^{*}$ से गुणा करने का कार्य करता है $z^{p}{\overline {z}}^{q}.$

ए-हॉज संरचना

उद्देश्यों के सिद्धांत में, कोहोलॉजी के लिए अधिक सामान्य गुणांक की अनुमति देना महत्वपूर्ण हो जाता है। हॉज संरचना की परिभाषा को क्षेत्र के नोथेरियन अंगूठी सबरिंग 'ए' को ठीक करके संशोधित किया गया है $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं का, जिसके लिए $\mathbf {A} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$ एक मैदान है. फिर वज़न एन की एक शुद्ध हॉज ए-संरचना को प्रतिस्थापित करते हुए पहले की तरह परिभाषित किया गया है $\mathbb {Z}$ ए के साथ। बी के एक उपरिंग के लिए हॉज ए-संरचनाओं और बी-संरचनाओं से संबंधित आधार परिवर्तन और प्रतिबंध के प्राकृतिक कारक हैं।

मिश्रित हॉज संरचनाएं

Main article: Mixed Hodge structure

1960 के दशक में वेइल अनुमानों के आधार पर जीन पियरे सेरे द्वारा यह देखा गया कि एकवचन (संभवतः कम करने योग्य) और गैर-पूर्ण बीजगणितीय किस्मों को भी 'आभासी बेटी संख्या' को स्वीकार करना चाहिए। अधिक सटीक रूप से, किसी को किसी भी बीजगणितीय किस्म X को बहुपद P निर्दिष्ट करने में सक्षम होना चाहिए_X(टी), गुणों के साथ इसे 'आभासी पोंकारे बहुपद' कहा जाता है

• यदि एक्स एकवचन और प्रक्षेप्य (या पूर्ण) है
  $$P_{X}(t)=\sum \operatorname {rank} (H^{n}(X))t^{n}$$
• यदि Y, X का बंद बीजगणितीय उपसमुच्चय है और U = X \ Y है
  $$P_{X}(t)=P_{Y}(t)+P_{U}(t)$$

ऐसे बहुपदों का अस्तित्व एक सामान्य (एकवचन और गैर-पूर्ण) बीजगणितीय विविधता के सहसंयोजनों में हॉज संरचना के एक एनालॉग के अस्तित्व से होगा। नवीन विशेषता यह है कि एक सामान्य किस्म की nवीं सहसंरचना ऐसी दिखती है मानो इसमें विभिन्न वजन के टुकड़े हों। इसने अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक को मोटिव (बीजगणितीय ज्यामिति) के उनके अनुमानित सिद्धांत की ओर प्रेरित किया और हॉज सिद्धांत के विस्तार की खोज को प्रेरित किया, जिसकी परिणति पियरे डेलिग्ने के काम में हुई। उन्होंने मिश्रित हॉज संरचना की धारणा पेश की, उनके साथ काम करने के लिए तकनीक विकसित की, उनका निर्माण दिया (हेइसुके हिरोनका के विलक्षणताओं के संकल्प के आधार पर) और उन्हें एल-एडिक कोहोमोलॉजी पर भार से जोड़ा, जो वेइल अनुमानों के अंतिम भाग को साबित करता है।

वक्रों का उदाहरण

परिभाषा को प्रेरित करने के लिए, दो गैर-एकवचन घटकों से युक्त एक कम करने योग्य जटिल बीजगणितीय वक्र X के मामले पर विचार करें, $X_{1}$ और $X_{2}$, जो बिंदुओं पर अनुप्रस्थ रूप से प्रतिच्छेद करता है $Q_{1}$ और $Q_{2}$. इसके अलावा, मान लें कि घटक सघन नहीं हैं, लेकिन बिंदुओं को जोड़कर उन्हें सघन किया जा सकता है $P_{1},\dots ,P_{n}$. वक्र इस समूह में तीन प्रकार के एक-चक्र हैं। सबसे पहले, तत्व हैं $\alpha _{i}$ पंचर के चारों ओर छोटे लूप का प्रतिनिधित्व करना $P_{i}$. फिर तत्व हैं $\beta _{j}$ जो प्रत्येक घटक के कॉम्पेक्टिफिकेशन (गणित) की पहली होमोलॉजी से आ रहे हैं। एक चक्र में $X_{k}\subset X$ ($k=1,2$) इस घटक के संघनन में एक चक्र के अनुरूप, विहित नहीं है: इन तत्वों की अवधि मॉड्यूलो द्वारा निर्धारित की जाती है $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$. अंत में, मॉड्यूलो पहले दो प्रकार, समूह एक संयोजक चक्र द्वारा उत्पन्न होता है $\gamma$ जो से जाता है $Q_{1}$ को $Q_{2}$एक घटक में एक पथ के साथ $X_{1}$ और दूसरे घटक में एक पथ के साथ वापस आता है $X_{2}$. इससे पता चलता है $H_{1}(X)$ बढ़ते हुए निस्पंदन को स्वीकार करता है

$0\subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}=H^{1}(X),$

जिसके क्रमिक भागफल W_n/में_n−1 चिकनी पूर्ण किस्मों के सहसंयोजन से उत्पन्न होते हैं, इसलिए अलग-अलग वजन के बावजूद (शुद्ध) हॉज संरचनाओं को स्वीकार करते हैं। आगे के उदाहरण ए नाइव गाइड टू मिक्स्ड हॉज थ्योरी में पाए जा सकते हैं।

मिश्रित हॉज संरचना की परिभाषा

एबेलियन समूह पर एक मिश्रित हॉज संरचना $H_{\mathbb {Z} }$ इसमें एक सीमित घटती निस्पंदन F शामिल है^{जटिल सदिश समष्टि H पर p} (का जटिलीकरण)। $H_{\mathbb {Z} }$), जिसे हॉज निस्पंदन और एक सीमित बढ़ती निस्पंदन डब्ल्यू कहा जाता है_iतर्कसंगत सदिश समष्टि पर $H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ (स्केलर को तर्कसंगत संख्याओं तक विस्तारित करके प्राप्त किया जाता है), जिसे भार निस्पंदन कहा जाता है, इस आवश्यकता के अधीन कि एन-वें संबद्ध श्रेणीबद्ध भागफल $H_{\mathbb {Q} }$ वजन निस्पंदन के संबंध में, इसकी जटिलता पर एफ द्वारा प्रेरित निस्पंदन के साथ, सभी पूर्णांक एन के लिए वजन एन की एक शुद्ध हॉज संरचना है। यहां प्रेरित निस्पंदन चालू है

$\operatorname {gr} _{n}^{W}H=W_{n}\otimes \mathbb {C} /W_{n-1}\otimes \mathbb {C}$

द्वारा परिभाषित किया गया है

$F^{p}\operatorname {gr} _{n}^{W}H=\left(F^{p}\cap W_{n}\otimes \mathbb {C} +W_{n-1}\otimes \mathbb {C} \right)/W_{n-1}\otimes \mathbb {C} .$

कोई मिश्रित हॉज संरचनाओं के रूपवाद की धारणा को परिभाषित कर सकता है, जिसे निस्पंदन एफ और डब्ल्यू के साथ संगत होना होगा और निम्नलिखित साबित करना होगा:

'प्रमेय.' मिश्रित हॉज संरचनाएं एक एबेलियन श्रेणी बनाती हैं। इस श्रेणी में कर्नेल और कोकर्नेल, प्रेरित निस्पंदन के साथ वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में सामान्य कर्नेल और कोकर्नेल के साथ मेल खाते हैं।

कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड की कुल कोहोमोलॉजी में एक मिश्रित हॉज संरचना होती है, जहां वजन निस्पंदन का एनवां स्थान डब्ल्यू होता है_nn से कम या उसके बराबर डिग्री वाले कोहोलॉजी समूहों (तर्कसंगत गुणांक के साथ) का प्रत्यक्ष योग है। इसलिए, कोई कॉम्पैक्ट, जटिल मामले में शास्त्रीय हॉज सिद्धांत के बारे में सोच सकता है, जो जटिल कोहोमोलॉजी समूह पर दोहरी ग्रेडिंग प्रदान करता है, जो बढ़ते निस्पंदन एफ को परिभाषित करता है।^पीऔर घटता निस्पंदन डब्ल्यू_nजो एक निश्चित तरीके से संगत हैं। सामान्य तौर पर, कुल कोहोमोलॉजी स्पेस में अभी भी ये दो निस्पंदन हैं, लेकिन वे अब प्रत्यक्ष योग अपघटन से नहीं आते हैं। शुद्ध हॉज संरचना की तीसरी परिभाषा के संबंध में, कोई यह कह सकता है कि समूह की क्रिया का उपयोग करके मिश्रित हॉज संरचना का वर्णन नहीं किया जा सकता है $\mathbb {C} ^{*}.$ डेलिग्ने की एक महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि यह है कि मिश्रित मामले में एक अधिक जटिल गैर-अनुवांशिक प्रोएलजेब्रिक समूह होता है जिसका उपयोग टैनाकियन श्रेणी का उपयोग करके समान प्रभाव के लिए किया जा सकता है।

इसके अलावा, (मिश्रित) हॉज संरचनाओं की श्रेणी टेंसर उत्पाद की एक अच्छी धारणा को स्वीकार करती है, जो कि किस्मों के उत्पाद के साथ-साथ आंतरिक होम और दोहरी वस्तु की संबंधित अवधारणाओं के अनुरूप होती है, जो इसे तन्नाकियन श्रेणी में बनाती है। तन्नाका-क्रेइन द्वैत|तन्नाका-क्रेइन दर्शन के अनुसार, यह श्रेणी एक निश्चित समूह के परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व की श्रेणी के बराबर है, जो डेलिग्ने, मिल्ने और एट अल। स्पष्ट रूप से वर्णन किया है, देखें Deligne & Milne (1982) और Deligne (1994). इस समूह का वर्णन अधिक ज्यामितीय शब्दों में किया गया था Kapranov (2012). तर्कसंगत शुद्ध ध्रुवीकरण योग्य हॉज संरचनाओं के लिए संबंधित (बहुत अधिक शामिल) विश्लेषण किसके द्वारा किया गया था Patrikis (2016).

कोहोलॉजी में मिश्रित हॉज संरचना (डेलिग्ने का प्रमेय)

डेलिग्ने ने साबित किया है कि एक मनमाना बीजगणितीय किस्म के एनवें कोहोमोलॉजी समूह में एक विहित मिश्रित हॉज संरचना है। यह संरचना कार्यात्मक है, और किस्मों के उत्पादों (कुनेथ प्रमेय | कुनेथ आइसोमोर्फिज्म) और कोहोलॉजी में उत्पाद के साथ संगत है। पूर्ण गैर-एकवचन किस्म

प्रमाण में मोटे तौर पर दो भाग होते हैं, गैर-संक्षिप्तता और विलक्षणताओं का ध्यान रखते हुए। दोनों भाग विलक्षणताओं के संकल्प (हिरोनाका के कारण) का अनिवार्य रूप से उपयोग करते हैं। एकवचन मामले में, किस्मों को सरल योजनाओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिससे अधिक जटिल होमोलॉजिकल बीजगणित होता है, और कॉम्प्लेक्स पर हॉज संरचना की एक तकनीकी धारणा (कोहोमोलॉजी के विपरीत) का उपयोग किया जाता है।

मकसद (गणित) के सिद्धांत का उपयोग करके, अभिन्न गुणांक वाले तर्कसंगत गुणांक के साथ कोहोलॉजी पर वजन निस्पंदन को परिष्कृत करना संभव है।

उदाहरण

• टेट-हॉज संरचना $\mathbb {Z} (1)$ अंतर्निहित के साथ हॉज संरचना है $\mathbb {Z}$ द्वारा दिया गया मॉड्यूल $2\pi i\mathbb {Z}$ (का एक उपसमूह $\mathbb {C}$), साथ $\mathbb {Z} (1)\otimes \mathbb {C} =H^{-1,-1}.$ तो यह परिभाषा के अनुसार वजन -2 से शुद्ध है और यह समरूपता तक वजन -2 की अद्वितीय 1-आयामी शुद्ध हॉज संरचना है। अधिक सामान्यतः, इसकी nवीं टेंसर शक्ति को निरूपित किया जाता है $\mathbb {Z} (n);$ यह 1-आयामी है और इसका वजन −2n शुद्ध है।
• कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड की कोहोमोलॉजी में एक हॉज संरचना होती है, और nवां कोहोमोलॉजी समूह वजन n से शुद्ध होता है।
• एक जटिल किस्म (संभवतः एकवचन या गैर-उचित) की सह-समरूपता में मिश्रित हॉज संरचना होती है। यह द्वारा चिकनी किस्मों के लिए दिखाया गया था Deligne (1971), Deligne (1971a) और सामान्य तौर पर द्वारा Deligne (1974).
• प्रक्षेपी किस्म के लिए $X$ सामान्य क्रॉसिंग विलक्षणता के साथ एक पतित ई के साथ एक वर्णक्रमीय अनुक्रम होता है₂-पेज जो अपनी सभी मिश्रित हॉज संरचनाओं की गणना करता है। ई₁-पेज में एक सरल सेट से आने वाले अंतर के साथ स्पष्ट शब्द हैं।
• कोई भी चिकनी किस्म एक्स एक सामान्य क्रॉसिंग विभाजक के पूरक के साथ एक चिकनी कॉम्पैक्टिफिकेशन स्वीकार करती है। एक्स के कोहोलॉजी पर स्पष्ट रूप से मिश्रित हॉज संरचना का वर्णन करने के लिए संबंधित लघुगणकीय रूपों का उपयोग किया जा सकता है।
• एक चिकनी प्रक्षेप्य हाइपरसतह के लिए हॉज संरचना $X\subset \mathbb {P} ^{n+1}$ डिग्री का $d$ ग्रिफिथ्स द्वारा अपने पीरियड इंटीग्रल्स ऑफ अलजेब्रिक मैनिफोल्ड्स पेपर में स्पष्ट रूप से काम किया गया था। अगर $f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]$ हाइपरसतह को परिभाषित करने वाला बहुपद है $X$ फिर श्रेणीबद्ध जैकोबियन आदर्श
  $$R(f)={\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{0}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n+1}}}\right)}}$$
  के मध्य सहसंयोजन की सारी जानकारी शामिल है $X$. वह ऐसा दिखाता है
  $$H^{p,n-p}(X)_{\text{prim}}\cong R(f)_{(n+1-p)d-n-2}$$
  उदाहरण के लिए, द्वारा दी गई K3 सतह पर विचार करें $g=x_{0}^{4}+\cdots +x_{3}^{4}$, इस तरह $d=4$ और $n=2$. फिर, श्रेणीबद्ध जैकोबियन अंगूठी है
  $${\frac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{3},x_{1}^{3},x_{2}^{3},x_{3}^{3})}}$$
  फिर आदिम सह-समरूपता समूहों के लिए समरूपता पढ़ें
  $$H^{p,n-p}(X)_{prim}\cong R(g)_{(2+1-p)4-2-2}=R(g)_{4(3-p)-4}$$
  इस तरह
  $${\begin{aligned}H^{0,2}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{8}=\mathbb {C} \cdot x_{0}^{2}x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}\\H^{1,1}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{4}\\H^{2,0}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{0}=\mathbb {C} \cdot 1\end{aligned}}$$
  नोटिस जो $R(g)_{4}$ द्वारा फैलाया गया सदिश समष्टि है
  $${\begin{array}{rrrrrrrr}x_{0}^{2}x_{1}^{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{3},&x_{0}^{2}x_{2}^{2},&x_{0}^{2}x_{2}x_{3},&x_{0}^{2}x_{3}^{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{3},\\x_{0}x_{1}x_{2}^{2},&x_{0}x_{1}x_{2}x_{3},&x_{0}x_{1}x_{3}^{2},&x_{0}x_{2}^{2}x_{3},&x_{0}x_{2}x_{3}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}x_{3},&x_{1}^{2}x_{3}^{2},\\x_{1}x_{2}^{2}x_{3},&x_{1}x_{2}x_{3}^{2},&x_{2}^{2}x_{3}^{2}\end{array}}$$
  जो 19-आयामी है. इसमें एक अतिरिक्त वेक्टर है $H^{1,1}(X)$ Lefschetz_manifold#Definitions द्वारा दिया गया $[L]$. लेफ्शेट्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेय और हॉज द्वंद्व से, शेष कोहोमोलॉजी में है $H^{k,k}(X)$ जैसा है $1$-आयामी. इसलिए हॉज हीरा पढ़ता है

  		1
  	0		0
  1		20		1
  	0		0
  		1

• हम किसी डिग्री के जीनस को सत्यापित करने के लिए पिछले समरूपता का भी उपयोग कर सकते हैं $d$ समतल वक्र. तब से $x^{d}+y^{d}+z^{d}$ एक चिकना वक्र है और एह्रेसमैन फ़िब्रेशन प्रमेय गारंटी देता है कि जीनस का हर दूसरा चिकना वक्र है $g$ भिन्नरूपी है, हमारे पास वह जीनस है तो वही। तो, जैकोबियन रिंग के श्रेणीबद्ध भाग के साथ आदिम सह-समरूपता के समरूपता का उपयोग करते हुए, हम इसे देखते हैं
  $$H^{1,0}\cong R(f)_{d-3}\cong \mathbb {C} [x,y,z]_{d-3}$$
  इसका तात्पर्य यह है कि आयाम है
  $${2+d-3 \choose 2}={d-1 \choose 2}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}$$
  जैसी इच्छा थी।
• पूर्ण प्रतिच्छेदन के लिए हॉज संख्याएँ भी आसानी से गणना योग्य हैं: फ्रेडरिक हिरज़ेब्रुच द्वारा पाया गया एक संयोजन सूत्र है।

अनुप्रयोग

हॉज संरचना और मिश्रित हॉज संरचना की धारणाओं पर आधारित मशीनरी अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा परिकल्पित मकसद (बीजगणितीय ज्यामिति) के अभी भी बड़े पैमाने पर अनुमानित सिद्धांत का एक हिस्सा है। गैर-एकवचन बीजगणितीय किस्म सर्गेई गेलफैंड और यूरी मनिन ने 1988 के आसपास अपने होमोलॉजिकल बीजगणित के तरीकों में टिप्पणी की, कि अन्य सह-समरूपता समूहों पर काम करने वाली गैलोज़ समरूपता के विपरीत, हॉज समरूपता की उत्पत्ति बहुत रहस्यमय है, हालांकि औपचारिक रूप से, वे काफी सरल समूह की कार्रवाई के माध्यम से व्यक्त की जाती हैं। $R_{\mathbf {C/R} }{\mathbf {C} }^{*}$ डी राम कोहोमोलॉजी पर। तब से, दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत) | दर्पण समरूपता की खोज और गणितीय सूत्रीकरण के साथ रहस्य गहरा हो गया है।

हॉज संरचना की भिन्नता

हॉज संरचना का एक रूपांतर (Griffiths (1968), Griffiths (1968a), Griffiths (1970)) हॉज संरचनाओं का एक परिवार है एक कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड_X, निम्नलिखित दो शर्तों के अधीन:

• निस्पंदन शीफ एस के प्रत्येक डंठल पर वजन एन की एक हॉज संरचना उत्पन्न करता है
• ('ग्रिफ़िथ ट्रांसवर्सलिटी') S ⊗ O पर प्राकृतिक संबंध_Xएमएपीएस $F^{n}$ में $F^{n-1}\otimes \Omega _{X}^{1}.$

यहां S ⊗ O पर प्राकृतिक (सपाट) कनेक्शन है_Xएस पर फ्लैट कनेक्शन और ओ पर फ्लैट कनेक्शन डी द्वारा प्रेरित_X, और ओ_Xएक्स पर होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस का शीफ़ है, और $\Omega _{X}^{1}$ एक्स पर 1-फॉर्म का शीफ ​​है। यह प्राकृतिक फ्लैट कनेक्शन एक गॉस-मैनिन कनेक्शन है और इसे पिकार्ड-फुच्स समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

'मिश्रित हॉज संरचना की भिन्नता' को एस में ग्रेडिंग या निस्पंदन डब्ल्यू जोड़कर, इसी तरह से परिभाषित किया जा सकता है। विशिष्ट उदाहरण बीजगणितीय आकारिकी से पाए जा सकते हैं $f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$. उदाहरण के लिए,

${\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=y^{6}-x^{6}\end{cases}}$

फाइबर है

$X_{t}=f^{-1}(\{t\})=\left\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{6}-x^{6}=t\right\}$

जो जीनस 10 के चिकने समतल वक्र हैं $t\neq 0$ और एक विलक्षण वक्र पर पतित हो जाता है $t=0.$ फिर, कोहोमोलोजी ढेर हो जाती है

$\mathbb {R} f_{*}^{i}\left({\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {C} ^{2}}\right)$

मिश्रित हॉज संरचनाओं की विविधताएँ दें।

हॉज मॉड्यूल

Main article: Mixed Hodge module

हॉज मॉड्यूल एक जटिल मैनिफोल्ड पर हॉज संरचनाओं की भिन्नता का सामान्यीकरण है। उन्हें अनौपचारिक रूप से कई गुना पर हॉज संरचनाओं के ढेर की तरह सोचा जा सकता है; सटीक परिभाषा Saito (1989) बल्कि तकनीकी और जटिल है। मिश्रित हॉज मॉड्यूल और विलक्षणताओं के साथ कई गुना के सामान्यीकरण हैं।

प्रत्येक चिकनी जटिल विविधता के लिए, इसके साथ जुड़े मिश्रित हॉज मॉड्यूल की एक एबेलियन श्रेणी होती है। ये औपचारिक रूप से कई गुनाओं पर ढेरों की श्रेणियों की तरह व्यवहार करते हैं; उदाहरण के लिए, मैनिफोल्ड्स के बीच आकारिकी एफ फ़ैक्टर्स एफ को प्रेरित करती है_∗, च*, च_!, एफ^! शीव्स के समान मिश्रित हॉज मॉड्यूल (व्युत्पन्न श्रेणियों) के बीच।

यह भी देखें

• मिश्रित हॉज संरचना
• हॉज अनुमान
• जैकोबियन आदर्श
• हॉज-टेट संरचना, हॉज संरचनाओं का एक पी-एडिक एनालॉग।

परिचयात्मक संदर्भ

• Debarre, Olivier, Periods and Moduli
• Arapura, Donu, Complex Algebraic Varieties and their Cohomology (PDF), pp. 120–123, archived from the original (PDF) on 2020-01-04 (शीफ़ कोहोमोलॉजी का उपयोग करके हॉज संख्याओं की गणना के लिए उपकरण देता है)
• मिश्रित हॉज सिद्धांत के लिए एक सरल मार्गदर्शिका
• Dimca, Alexandru (1992). हाइपरसर्फेस की विलक्षणताएं और टोपोलॉजी. Universitext. New York: Springer-Verlag. pp. 240, 261. doi:10.1007/978-1-4612-4404-2. ISBN 0-387-97709-0. MR 1194180. S2CID 117095021. (एक भारित समरूप बहुपद के एफ़िन मिल्नोर मानचित्र के मिश्रित हॉज संख्याओं के लिए एक सूत्र और जनरेटर देता है, और एक भारित प्रक्षेप्य स्थान में भारित सजातीय बहुपदों के पूरक के लिए एक सूत्र भी देता है।)

सर्वेक्षण लेख

• Arapura, Donu (2006), Mixed Hodge Structures Associated to Geometric Variations (PDF), arXiv:math/0611837, Bibcode:2006math.....11837A

संदर्भ

• Deligne, Pierre (1971b), Travaux de Griffiths, Sem. Bourbaki Exp. 376, Lect. notes in math. Vol 180, pp. 213–235
• Deligne, Pierre (1971), "Théorie de Hodge. I" (PDF), Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), vol. 1, Gauthier-Villars, pp. 425–430, MR 0441965, archived from the original (PDF) on 2015-04-02 This constructs a mixed Hodge structure on the cohomology of a complex variety.
• Deligne, Pierre (1971a), Théorie de Hodge. II., Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 40, pp. 5–57, MR 0498551 This constructs a mixed Hodge structure on the cohomology of a complex variety.
• Deligne, Pierre (1974), Théorie de Hodge. III., Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 44, pp. 5–77, MR 0498552 This constructs a mixed Hodge structure on the cohomology of a complex variety.
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