प्राकृतिक संख्याओं के योग से जुड़े प्रमाण

बुनियादी अंकगणितीय गुण (प्रेरण प्रमाण के लिए ज़ूम इन करें)

इस लेख में प्राकृतिक संख्याओं के योग के कुछ गुणों के लिए गणितीय प्रमाण शामिल हैं: योगात्मक पहचान, क्रमविनिमेयता, और साहचर्यता। इन प्रमाणों का उपयोग प्राकृत संख्याओं का योग लेख में किया गया है।

परिभाषाएँ

यह लेख प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा के लिए पीनो अभिगृहीतों का उपयोग करेगा। इन सिद्धांतों के साथ, जोड़ को स्थिरांक 0 और उत्तराधिकारी फ़ंक्शन S(a) से दो नियमों द्वारा परिभाषित किया गया है

A1:	a + 0 = a
A2:	a + S(b) = S(a + b)

क्रमविनिमेयता के प्रमाण के लिए, 0 के उत्तराधिकारी को 1 नाम देना उपयोगी है; वह है,

1 = एस(0).

प्रत्येक प्राकृत संख्या a के लिए, one के पास होता है

	S(a)
=	S(a + 0)	[by A1]
=	a + S(0)	[by A2]
=	a + 1	[by Def. of 1]

साहचर्य का प्रमाण

हम पहले प्राकृतिक संख्या a और b को निश्चित करके और प्राकृतिक संख्या c पर गणितीय प्रेरण लागू करके साहचर्यता सिद्ध करते हैं।

आधार स्थिति के लिए c = 0,

(ए+बी)+0 = ए+बी = ए+(बी+0)

प्रत्येक समीकरण परिभाषा के अनुसार अनुसरण करता है [ए1]; पहला a + b के साथ, दूसरा b के साथ।

अब, प्रेरण के लिए. हम प्रेरण परिकल्पना को मानते हैं, अर्थात् हम मानते हैं कि कुछ प्राकृतिक संख्या c के लिए,

(ए+बी)+सी = ए+(बी+सी)

फिर यह अनुसरण करता है,

	(a + b) + S(c)
=	S((a + b) + c)	[by A2]
=	S(a + (b + c))	[by the induction hypothesis]
=	a + S(b + c)	[by A2]
=	a + (b + S(c))	[by A2]

दूसरे शब्दों में, प्रेरण परिकल्पना S(c) के लिए मान्य है। इसलिए, c पर प्रेरण पूरा हो गया है।

पहचान तत्व का प्रमाण

परिभाषा [ए1] सीधे तौर पर बताती है कि 0 एक गणितीय पहचान है। हम प्राकृतिक संख्या a पर प्रेरण द्वारा सिद्ध करते हैं कि 0 एक गणितीय पहचान है।

मूल स्थिति के लिए a = 0, परिभाषा के अनुसार 0 + 0 = 0 [ए1]। अब हम प्रेरण परिकल्पना मानते हैं, कि 0 + a = a। तब

	0 + S(a)
=	S(0 + a)	[by A2]
=	S(a)	[by the induction hypothesis]

यह ए पर इंडक्शन पूरा करता है।

क्रमविनिमेयता का प्रमाण

हम प्राकृत संख्या b पर प्रेरण लागू करके क्रमविनिमेयता (a + b = b + a) सिद्ध करते हैं। पहले हम आधार मामलों को साबित करते हैं b = 0 और b = S(0) = 1 (यानी हम साबित करते हैं कि 0 और 1 हर चीज़ के साथ चलते हैं)।

आधार मामला b = 0 पहचान तत्व गुण (0 एक गणितीय पहचान है) से तुरंत अनुसरण करता है, जो ऊपर सिद्ध किया गया है: ए + 0 = ए = 0 + ए.

आगे हम आधार स्थिति b = 1 को सिद्ध करेंगे, कि 1 हर चीज़ के साथ बदलता है, यानी सभी प्राकृतिक संख्याओं a के लिए, हमारे पास a + 1 = 1 + a है। हम इसे (एक प्रेरण प्रमाण के भीतर एक प्रेरण प्रमाण) पर प्रेरण द्वारा सिद्ध करेंगे। हमने साबित कर दिया है कि 0 हर चीज़ के साथ यात्रा करता है, इसलिए विशेष रूप से, 0 1 के साथ यात्रा करता है: a = 0 के लिए, हमारे पास 0 + 1 = 1 + 0 है। अब, मान लीजिए a + 1 = 1 + a। तब

	S(a) + 1
=	S(a) + S(0)	[by Def. of 1]
=	S(S(a) + 0)	[by A2]
=	S((a + 1) + 0)	[as shown above]
=	S(a + 1)	[by A1]
=	S(1 + a)	[by the induction hypothesis]
=	1 + S(a)	[by A2]

यह ए पर प्रेरण को पूरा करता है, और इसलिए हमने आधार मामला बी = 1 साबित कर दिया है। अब, मान लीजिए कि सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए, हमारे पास ए + बी = बी + ए है। हमें यह दिखाना होगा कि सभी प्राकृत संख्याओं a के लिए, हमारे पास a + S(b) = S(b) + a है। अपने पास

	a + S(b)
=	a + (b + 1)	[as shown above]
=	(a + b) + 1	[by associativity]
=	(b + a) + 1	[by the induction hypothesis]
=	b + (a + 1)	[by associativity]
=	b + (1 + a)	[by the base case b = 1]
=	(b + 1) + a	[by associativity]
=	S(b) + a	[as shown above]

यह बी पर इंडक्शन पूरा करता है।

यह भी देखें

• बाइनरी ऑपरेशन
• गणितीय प्रमाण
• गणितीय अंगूठी

संदर्भ

• Edmund Landau, Foundations of Analysis, Chelsea Pub Co. ISBN 0-8218-2693-X.