बायोर्थोगोनल बहुपद

गणित में, एक बायोर्थोगोनल बहुपद एक बहुपद है जो कई अलग-अलग मापों के लिए ऑर्थोगोनल है। बायोर्थोगोनल बहुपद ऑर्थोगोनल बहुपद का एक सामान्यीकरण है और उनके कई गुणों को साझा करते हैं। साहित्य में बायोर्थोगोनल बहुपद की दो अलग-अलग अवधारणाएँ हैं: Iserles & Nørsett (1988) ने उपायों के अनुक्रम के संबंध में बहुपद बायोर्थोगोनल की अवधारणा पेश की, जबकि सेजेगो ने बहुपदों के दो अनुक्रमों की अवधारणा पेश की जो एक दूसरे के संबंध में बायोर्थोगोनल हैं।

मापों के अनुक्रम के संबंध में बहुपद बायोर्थोगोनल

माप μ के अनुक्रम के संबंध में एक बहुपद पी को 'बायोर्थोगोनल' कहा जाता है₁, एम₂, ... अगर

$\int p(x)\,d\mu _{i}(x)=0$ जब भी मैं ≤ डिग्री (पी)।

अनुक्रमों के बायोर्थोगोनल जोड़े

दो क्रम ψ₀, पी₁, ... और φ₀, फ़ि₁, ...बहुपदों को बायोर्थोगोनल कहा जाता है (कुछ माप μ के लिए) यदि

$\int \phi _{m}(x)\psi _{n}(x)\,d\mu (x)=0$

जब भी एम ≠ एन.

अनुक्रमों के बायोर्थोगोनल जोड़े की परिभाषा कुछ अर्थों में उपायों के अनुक्रम के संबंध में बायोर्थोगोनैलिटी की परिभाषा का एक विशेष मामला है। अधिक सटीक रूप से दो अनुक्रम ψ₀, पी₁, ... और φ₀, फ़ि₁, ...बहुपदों के माप μ के लिए बायोर्थोगोनल हैं यदि और केवल यदि अनुक्रम ψ₀, पी₁, ... उपायों के अनुक्रम के लिए बायोर्थोगोनल है φ₀एम, एफ₁μ, ..., और अनुक्रम φ₀, फ़ि₁, ... उपायों के अनुक्रम के लिए बायोर्थोगोनल है ψ₀एमपी₁एम...

संदर्भ

• Iserles, Arieh; Nørsett, Syvert Paul (1988), "On the theory of biorthogonal polynomials", Transactions of the American Mathematical Society, 306 (2): 455–474, doi:10.2307/2000806, ISSN 0002-9947, JSTOR 2000806, MR 0933301