हिल्बर्ट मैट्रिक्स

रैखिक बीजगणित में, एक हिल्बर्ट मैट्रिक्स, द्वारा प्रस्तुत किया गया Hilbert (1894), एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें प्रविष्टियाँ इकाई भिन्न होती हैं

$H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}.$

उदाहरण के लिए, यह 5 × 5 हिल्बर्ट मैट्रिक्स है:

$H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.$

हिल्बर्ट मैट्रिक्स को इंटीग्रल से व्युत्पन्न माना जा सकता है

$H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,$

अर्थात्, x की घातों के लिए एक ग्रामियन मैट्रिक्स के रूप में। यह बहुपदों द्वारा मनमाने कार्यों के न्यूनतम वर्ग सन्निकटन में उत्पन्न होता है।

हिल्बर्ट मैट्रिसेस खराब स्थिति वाले मैट्रिसेस के विहित उदाहरण हैं, जिनका संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोग करना बेहद कठिन है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त मैट्रिक्स की 2-मानक स्थिति संख्या लगभग 4.8 है×10⁵.

ऐतिहासिक नोट

Hilbert (1894) सन्निकटन सिद्धांत में निम्नलिखित प्रश्न का अध्ययन करने के लिए हिल्बर्ट मैट्रिक्स की शुरुआत की: मान लें I = [a, b], एक वास्तविक अंतराल है. क्या तब पूर्णांक गुणांक वाले एक गैर-शून्य बहुपद P को खोजना संभव है, जैसे कि अभिन्न

$\int _{a}^{b}P(x)^{2}dx$

किसी दिए गए परिबंध ε > 0 से छोटा है, मनमाने ढंग से छोटा लिया गया है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हिल्बर्ट ने हिल्बर्ट मैट्रिक्स के निर्धारक के लिए एक सटीक सूत्र प्राप्त किया और उनके स्पर्शोन्मुखता की जांच की। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि यदि लंबाई है तो उनके प्रश्न का उत्तर सकारात्मक है b − aअंतराल 4 से छोटा है।

गुण

हिल्बर्ट मैट्रिक्स सममित मैट्रिक्स और सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है। हिल्बर्ट मैट्रिक्स भी पूरी तरह से सकारात्मक है (जिसका अर्थ है कि प्रत्येक सबमैट्रिक्स का निर्धारक सकारात्मक है)।

हिल्बर्ट मैट्रिक्स हैंकेल मैट्रिक्स का एक उदाहरण है। यह कॉची मैट्रिक्स का एक विशिष्ट उदाहरण भी है।

कॉची निर्धारक के एक विशेष मामले के रूप में, निर्धारक को बंद-रूप अभिव्यक्ति में व्यक्त किया जा सकता है। n × n हिल्बर्ट मैट्रिक्स का निर्धारक है

$\det(H)={\frac {c_{n}^{4}}{c_{2n}}},$

कहाँ

$c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.$

हिल्बर्ट ने पहले ही इस जिज्ञासु तथ्य का उल्लेख किया है कि हिल्बर्ट मैट्रिक्स का निर्धारक एक पूर्णांक का व्युत्क्रम है (अनुक्रम देखें) OEIS: A005249 OEIS में), जो पहचान से भी अनुसरण करता है

${\frac {1}{\det(H)}}={\frac {c_{2n}}{c_{n}^{4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{\binom {i}{[i/2]}}.$

स्टर्लिंग के कारख़ाने का सन्निकटन का उपयोग करके, कोई निम्नलिखित स्पर्शोन्मुख परिणाम स्थापित कर सकता है:

$\det(H)\sim a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}},$

जहाँ एक_n स्थिरांक में परिवर्तित हो जाता है $e^{1/4}\,2^{1/12}\,A^{-3}\approx 0.6450$ जैसा $n\to \infty$, जहां ए ग्लैशर-किंकेलिन स्थिरांक है।

हिल्बर्ट मैट्रिक्स के व्युत्क्रम मैट्रिक्स को द्विपद गुणांक का उपयोग करके बंद रूप में व्यक्त किया जा सकता है; इसकी प्रविष्टियाँ हैं

$(H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){\binom {n+i-1}{n-j}}{\binom {n+j-1}{n-i}}{\binom {i+j-2}{i-1}}^{2},$

जहाँ n मैट्रिक्स का क्रम है। इसका तात्पर्य यह है कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ सभी पूर्णांक हैं, और यह कि चिह्न एक चेकरबोर्ड पैटर्न बनाते हैं, जो मुख्य विकर्ण पर सकारात्मक होते हैं। उदाहरण के लिए,

${\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}^{-1}=\left[{\begin{array}{rrrrr}25&-300&1050&-1400&630\\-300&4800&-18900&26880&-12600\\1050&-18900&79380&-117600&56700\\-1400&26880&-117600&179200&-88200\\630&-12600&56700&-88200&44100\end{array}}\right].$

n×n हिल्बर्ट मैट्रिक्स की स्थिति संख्या बढ़ती है $O\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4n}/{\sqrt {n}}\right)$.

अनुप्रयोग

बहुपद वितरणों पर लागू क्षणों (सांख्यिकी) की विधि के परिणामस्वरूप हेंकेल मैट्रिक्स बनता है, जो अंतराल [0,1] पर संभाव्यता वितरण का अनुमान लगाने के विशेष मामले में हिल्बर्ट मैट्रिक्स में परिणामित होता है। बहुपद वितरण सन्निकटन के भार पैरामीटर प्राप्त करने के लिए इस मैट्रिक्स को उलटा करने की आवश्यकता है।

अग्रिम पठन

• Hilbert, David (1894), "Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms", Acta Mathematica, 18: 155–159, doi:10.1007/BF02418278, ISSN 0001-5962, JFM 25.0817.02. Reprinted in Hilbert, David. "article 21". Collected papers. Vol. II.
• Beckermann, Bernhard (2000). "The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices". Numerische Mathematik. 85 (4): 553–577. CiteSeerX 10.1.1.23.5979. doi:10.1007/PL00005392. S2CID 17777214.
• Choi, M.-D. (1983). "Tricks or Treats with the Hilbert Matrix". American Mathematical Monthly. 90 (5): 301–312. doi:10.2307/2975779. JSTOR 2975779.
• Todd, John (1954). "The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix". National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series. 39: 109–116.
• Wilf, H. S. (1970). Finite Sections of Some Classical Inequalities. Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-04809-1.