हिल्बर्ट मैट्रिक्स

रैखिक बीजगणित में, हिल्बर्ट (1894),द्वारा प्रस्तुत हिल्बर्ट आव्युह, एक वर्ग आव्युह है जिसमें इकाई अंशों की प्रविष्टियाँ होती हैं

$H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}.$

अतः इस प्रकार उदाहरण के लिए, यह 5 × 5 हिल्बर्ट आव्युह है:

$H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.$

इस प्रकार हिल्बर्ट आव्युह को इंटीग्रल से व्युत्पन्न माना जा सकता है

$H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,$

अर्थात्, x की घातों के लिए एक ग्रामियन आव्युह के रूप में उपयोग किया जाता हैं।अतः इस प्रकार यह बहुपदों द्वारा मनमाने कार्यों के न्यूनतम वर्ग सन्निकटन में उत्पन्न होता है।

हिल्बर्ट मैट्रिसेस खराब स्थिति वाले मैट्रिसेस के विहित उदाहरण हैं, इस प्रकार जिनका संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोग करना बेहद कठिन है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए आव्युह की 2-मानदंड स्थिति संख्या लगभग 4.8×10⁵ है।

ऐतिहासिक टिप्पणी

अतः Hilbert (1894) सन्निकटन सिद्धांत में निम्नलिखित प्रश्न का अध्ययन करने के लिए हिल्बर्ट आव्युह की शुरुआत की: "मान लीजिए कि I = [a, b], एक वास्तविक अंतराल है। इस प्रकार क्या तब पूर्णांक गुणांक के साथ एक गैर-शून्य बहुपद P खोजना संभव है, जैसे कि अभिन्न

$\int _{a}^{b}P(x)^{2}dx$

किसी दिए गए परिबंध ε > 0 से छोटा है, अतः इस प्रकार अनेैतिक रूप से छोटा लिया गया है?" इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हिल्बर्ट हिल्बर्ट आव्युह के निर्धारक के लिए एक सटीक सूत्र प्राप्त करता है और उनके स्पर्शोन्मुखता की जांच करता है। इस प्रकार उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि उनके प्रश्न का उत्तर धनात्मक है यदि अंतराल की लंबाई b − a 4 से छोटी है।

गुण

अतः हिल्बर्ट आव्युह सममित आव्युह और धनात्मक-निश्चित आव्युह है। हिल्बर्ट आव्युह भी पूरी तरह से धनात्मक है (जिसका अर्थ है कि प्रत्येक सबआव्युह का निर्धारक धनात्मक है)।

इस प्रकार हिल्बर्ट आव्युह हैंकेल आव्युह का एक उदाहरण है। यह कॉची आव्युह का एक विशिष्ट उदाहरण भी है।

कॉची निर्धारक के एक विशेष स्थितियों के रूप में, निर्धारक को बंद-रूप अभिव्यक्ति में व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार n × n हिल्बर्ट आव्युह का निर्धारक है

$\det(H)={\frac {c_{n}^{4}}{c_{2n}}},$

जहाँ

$c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.$

इस प्रकार हिल्बर्ट ने पहले ही इस जिज्ञासु तथ्य का उल्लेख किया है कि हिल्बर्ट आव्युह का निर्धारक एक पूर्णांक का व्युत्क्रम है(ओइआईएस में अनुक्रम OEIS: A005249देखें), जो पहचान से भी अनुसरण करता है

${\frac {1}{\det(H)}}={\frac {c_{2n}}{c_{n}^{4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{\binom {i}{[i/2]}}.$

अतः स्टर्लिंग के भाज्य संबंधी सन्निकटन का उपयोग करके, कोई निम्नलिखित स्पर्शोन्मुख परिणाम स्थापित कर सकता है:

$\det(H)\sim a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}},$

इस प्रकार जहाँ एक_n स्थिरांक में परिवर्तित हो जाता है $e^{1/4}\,2^{1/12}\,A^{-3}\approx 0.6450$ के रूप में $n\to \infty$, जहां ए ग्लैशर-किंकेलिन स्थिरांक है।

अतः हिल्बर्ट आव्युह का व्युत्क्रम द्विपद गुणांक का उपयोग करके बंद रूप में व्यक्त किया जा सकता है; इसकी प्रविष्टियाँ हैं

$(H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){\binom {n+i-1}{n-j}}{\binom {n+j-1}{n-i}}{\binom {i+j-2}{i-1}}^{2},$

अतः जहाँ n आव्युह का क्रम है। इसका तात्पर्य यह है कि व्युत्क्रम आव्युह की प्रविष्टियाँ सभी पूर्णांक हैं, और यह कि चिह्न एक चेकरबोर्ड पैटर्न बनाते हैं, जो मुख्य विकर्ण पर धनात्मक होते हैं। इस प्रकार उदाहरण के लिए,

${\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}^{-1}=\left[{\begin{array}{rrrrr}25&-300&1050&-1400&630\\-300&4800&-18900&26880&-12600\\1050&-18900&79380&-117600&56700\\-1400&26880&-117600&179200&-88200\\630&-12600&56700&-88200&44100\end{array}}\right].$

n × n हिल्बर्ट आव्युह की स्थिति संख्या बढ़ती है $O\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4n}/{\sqrt {n}}\right)$.

अनुप्रयोग

अतः बहुपद वितरणों पर क्रियान्वित क्षणों की विधि के परिणामस्वरूप हेंकेल आव्युह बनता है, इस प्रकार जो अंतराल [0, 1] पर संभाव्यता वितरण का अनुमान लगाने के विशेष स्थितियों में हिल्बर्ट आव्युह में परिणामित होता है। बहुपद वितरण सन्निकटन के भार पैरामीटर प्राप्त करने के लिए इस आव्युह को प्रतिलोमित करने की आवश्यकता है।

अग्रिम पठन

• Hilbert, David (1894), "Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms", Acta Mathematica, 18: 155–159, doi:10.1007/BF02418278, ISSN 0001-5962, JFM 25.0817.02. Reprinted in Hilbert, David. "article 21". Collected papers. Vol. II.
• Beckermann, Bernhard (2000). "The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices". Numerische Mathematik. 85 (4): 553–577. CiteSeerX 10.1.1.23.5979. doi:10.1007/PL00005392. S2CID 17777214.
• Choi, M.-D. (1983). "Tricks or Treats with the Hilbert Matrix". American Mathematical Monthly. 90 (5): 301–312. doi:10.2307/2975779. JSTOR 2975779.
• Todd, John (1954). "The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix". National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series. 39: 109–116.
• Wilf, H. S. (1970). Finite Sections of Some Classical Inequalities. Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-04809-1.