श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि

गणित में, ग्रेडेड सदिश स्थल एक वेक्टर स्पेस होता है जिसमें ग्रेडेड (गणित) या ग्रेडेशन की अतिरिक्त संरचना होती है, जो वेक्टर स्पेस का रैखिक उप-स्थान के वेक्टर स्पेस के प्रत्यक्ष योग में अपघटन होता है।

पूर्णांक उन्नयन

होने देना $\mathbb {N}$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय बनें। एक ${\textstyle \mathbb {N} }$-ग्रेडेड वेक्टर स्पेस, जिसे अक्सर उपसर्ग के बिना ग्रेडेड वेक्टर स्पेस कहा जाता है $\mathbb {N}$, एक सदिश समष्टि है V फॉर्म के प्रत्यक्ष योग में एक अपघटन के साथ

$V=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }V_{n}$

जहां प्रत्येक $V_{n}$ एक सदिश स्थान है. किसी दिए गए n के तत्वों के लिए $V_{n}$ फिर डिग्री एन के सजातीय तत्व कहलाते हैं।

श्रेणीबद्ध सदिश स्थान सामान्य हैं। उदाहरण के लिए, एक या कई चर वाले सभी बहुपदों का समुच्चय एक श्रेणीबद्ध सदिश स्थान बनाता है, जहाँ डिग्री n के सजातीय तत्व एक बहुपद n की डिग्री के एकपदी के बिल्कुल रैखिक संयोजन होते हैं।

सामान्य ग्रेडेशन

ग्रेडेड वेक्टर स्पेस के उप-स्थानों को प्राकृतिक संख्याओं के सेट द्वारा अनुक्रमित करने की आवश्यकता नहीं है, और किसी भी सेट I के तत्वों द्वारा अनुक्रमित किया जा सकता है। I-ग्रेडेड वेक्टर स्पेस V सेट I के तत्वों i द्वारा अनुक्रमित उप-स्थानों के प्रत्यक्ष योग में एक अपघटन के साथ एक वेक्टर स्पेस है:

$V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}.$

इसलिए, ए $\mathbb {N}$-ग्रेडेड वेक्टर स्पेस, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, सिर्फ एक I-ग्रेडेड वेक्टर स्पेस है जहां सेट I है $\mathbb {N}$ (प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय)।

वह स्थिति जहां I वलय है (गणित) $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ (तत्व 0 और 1) भौतिकी में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। ए $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$-ग्रेडेड वेक्टर स्पेस को सुपरवेक्टर स्थान के रूप में भी जाना जाता है।

समरूपता

सामान्य सूचकांक सेट I के लिए, दो I-वर्गीकृत वेक्टर स्थानों के बीच एक रैखिक मानचित्र f : V → W को श्रेणीबद्ध रेखीय मानचित्र कहा जाता है यदि यह सजातीय तत्वों की ग्रेडिंग को संरक्षित करता है। एक श्रेणीबद्ध रैखिक मानचित्र को श्रेणीबद्ध सदिश स्थानों का समरूपता (या रूपवाद) या सजातीय रैखिक मानचित्र भी कहा जाता है:

$f(V_{i})\subseteq W_{i}$ मैं में सभी के लिए।

एक निश्चित क्षेत्र (गणित) और एक निश्चित सूचकांक सेट के लिए, श्रेणीबद्ध वेक्टर रिक्त स्थान एक श्रेणी (गणित) बनाते हैं जिनकी आकृतियाँ श्रेणीबद्ध रैखिक मानचित्र हैं।

जब I एक क्रमविनिमेय मोनोइड मोनॉइड (जैसे कि प्राकृतिक संख्याएं) है, तो कोई आम तौर पर रैखिक मानचित्रों को परिभाषित कर सकता है जो संपत्ति द्वारा I में किसी भी डिग्री के 'सजातीय' होते हैं

$f(V_{j})\subseteq W_{i+j}$ I में सभी j के लिए,

जहां + मोनॉइड ऑपरेशन को दर्शाता है। यदि इसके अलावा मैं रद्दीकरण संपत्ति को संतुष्ट करता हूं ताकि इसे एबेलियन समूह ए में एम्बेडिंग किया जा सके जो इसे उत्पन्न करता है (उदाहरण के लिए पूर्णांक यदि मैं प्राकृतिक संख्या है), तो कोई रैखिक मानचित्र भी परिभाषित कर सकता है जो एक ही संपत्ति द्वारा ए में डिग्री आई के सजातीय हैं (लेकिन अब + ए में समूह संचालन को दर्शाता है)। विशेष रूप से, I में I के लिए एक रेखीय मानचित्र डिग्री -i का सजातीय होगा यदि

$f(V_{i+j})\subseteq W_{j}$ I में सभी j के लिए, जबकि

$f(V_{j})=0\,$ अगर j − i I में नहीं है.

जिस प्रकार एक सदिश स्थान से रैखिक मानचित्रों का सेट अपने आप में एक साहचर्य बीजगणित (वेक्टर अंतरिक्ष का एंडोमोर्फिज्म बीजगणित) बनाता है, उसी प्रकार एक स्थान से सजातीय रैखिक मानचित्रों का सेट - या तो डिग्री को I तक सीमित करता है या समूह A में किसी भी डिग्री की अनुमति देता है - उन सूचकांक सेटों पर साहचर्य श्रेणीबद्ध बीजगणित बनाता है।

ग्रेडेड वेक्टर स्पेस पर संचालन

वेक्टर स्पेस पर कुछ ऑपरेशनों को ग्रेडेड वेक्टर स्पेस के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है।

दो I-ग्रेडेड वेक्टर स्पेस V और W को देखते हुए, उनके 'प्रत्यक्ष योग' में ग्रेडेशन के साथ अंतर्निहित वेक्टर स्पेस V ⊕ W है

(V ⊕ W)_i = वी_i⊕ W_i.

यदि I एक अर्धसमूह है, तो दो I-ग्रेडेड वेक्टर स्पेस V और W का 'टेंसर उत्पाद' एक और I-ग्रेडेड वेक्टर स्पेस है, $V\otimes W$, ग्रेडेशन के साथ

$(V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\left\{\left(j,k\right)\,:\;j+k=i\right\}}V_{j}\otimes W_{k}.$

हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला

दिया गया ए $\mathbb {N}$-श्रेणीबद्ध सदिश स्थान जो प्रत्येक के लिए परिमित-आयामी है $n\in \mathbb {N} ,$ इसकी हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला औपचारिक शक्ति श्रृंखला है

$\sum _{n\in \mathbb {N} }\dim _{K}(V_{n})\,t^{n}.$

उपरोक्त सूत्रों से, एक प्रत्यक्ष योग और एक टेंसर उत्पाद की हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला श्रेणीबद्ध वेक्टर रिक्त स्थान (प्रत्येक डिग्री में परिमित आयामी) क्रमशः संबंधित हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला का योग और उत्पाद हैं।

यह भी देखें

• ग्रेडेड (गणित)
• श्रेणीबद्ध बीजगणित
• कोमॉड्यूल
• श्रेणीबद्ध मॉड्यूल
• लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम

संदर्भ

• Bourbaki, N. (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 2, Section 11; Chapter 3.