जैकोबी रोटेशन

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में, जैकोबी घूर्णन एक घूर्णन है (गणित), Q_kℓएन-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान के 2-आयामी रैखिक उप-स्थान का, एन × एन वास्तविक संख्या सममित मैट्रिक्स, ए की ऑफ-मेन विकर्ण प्रविष्टियों की एक सममित जोड़ी को शून्य करने के लिए चुना जाता है, जब एक समान मैट्रिक्स के रूप में लागू किया जाता है:

$A\mapsto Q_{k\ell }^{T}AQ_{k\ell }=A'.\,\!$

${\begin{bmatrix}{*}&&&\cdots &&&*\\&\ddots &&&&&\\&&a_{kk}&\cdots &a_{k\ell }&&\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\&&a_{\ell k}&\cdots &a_{\ell \ell }&&\\&&&&&\ddots &\\{*}&&&\cdots &&&*\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}{*}&&&\cdots &&&*\\&\ddots &&&&&\\&&a'_{kk}&\cdots &0&&\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\&&0&\cdots &a'_{\ell \ell }&&\\&&&&&\ddots &\\{*}&&&\cdots &&&*\end{bmatrix}}.$

यह जैकोबी आइजेनवैल्यू एल्गोरिथम में मुख्य ऑपरेशन है, जो संख्यात्मक रूप से स्थिर है और समानांतर प्रोसेसर पर कार्यान्वयन के लिए उपयुक्त है।.

केवल A की पंक्तियाँ k और ℓ और कॉलम k और ℓ प्रभावित होंगे, और वह A′ सममित रहेगा. इसके अलावा, Q के लिए एक स्पष्ट मैट्रिक्स_kℓ इसकी गणना शायद ही कभी की जाती है; इसके बजाय, सहायक मानों की गणना की जाती है और ए को कुशल और संख्यात्मक रूप से स्थिर तरीके से अद्यतन किया जाता है। हालाँकि, संदर्भ के लिए, हम मैट्रिक्स को इस प्रकार लिख सकते हैं

$Q_{k\ell }={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&0&\\&&c&\cdots &s&&\\&&\vdots &\ddots &\vdots &&\\&&-s&\cdots &c&&\\&0&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}.$

अर्थात् प्र_kℓ चार प्रविष्टियों को छोड़कर एक पहचान मैट्रिक्स है, दो विकर्ण पर (क्यू)।_kk और क्यू_ℓℓ, दोनों c के बराबर हैं) और दो सममित रूप से विकर्ण से दूर रखे गए हैं (q)।_kℓ और क्यू_ℓk, क्रमशः s और −s के बराबर)। यहां कुछ कोण θ के लिए c=cosθ और s=sinθ; लेकिन घुमाव लागू करने के लिए कोण की ही आवश्यकता नहीं होती। क्रोनकर डेल्टा नोटेशन का उपयोग करके, मैट्रिक्स प्रविष्टियाँ लिखी जा सकती हैं

$q_{ij}=\delta _{ij}+(\delta _{ik}\delta _{jk}+\delta _{i\ell }\delta _{j\ell })(c-1)+(\delta _{ik}\delta _{j\ell }-\delta _{i\ell }\delta _{jk})s.\,\!$

मान लीजिए h, k या ℓ के अलावा एक सूचकांक है (जो स्वयं अलग होना चाहिए)। फिर समानता अद्यतन, बीजगणितीय रूप से, उत्पन्न करता है

$a'_{hk}=a'_{kh}=ca_{hk}-sa_{h\ell }\,\!$

$a'_{h\ell }=a'_{\ell h}=ca_{h\ell }+sa_{hk}\,\!$

$a'_{k\ell }=a'_{\ell k}=(c^{2}-s^{2})a_{k\ell }+sc(a_{kk}-a_{\ell \ell })=0\,\!$

$a'_{kk}=c^{2}a_{kk}+s^{2}a_{\ell \ell }-2sca_{k\ell }\,\!$

$a'_{\ell \ell }=s^{2}a_{kk}+c^{2}a_{\ell \ell }+2sca_{k\ell }.\,\!$

संख्यात्मक रूप से स्थिर गणना

अद्यतन के लिए आवश्यक मात्राएँ निर्धारित करने के लिए, हमें शून्य के लिए ऑफ-विकर्ण समीकरण को हल करना होगा (Golub & Van Loan 1996, §8.4). इसका अर्थ यह है कि

${\frac {c^{2}-s^{2}}{sc}}={\frac {a_{\ell \ell }-a_{kk}}{a_{k\ell }}}.$

इस मात्रा के आधे पर β सेट करें,

$\beta ={\frac {a_{\ell \ell }-a_{kk}}{2a_{k\ell }}}.$

यदि एक_kℓ शून्य है तो हम अद्यतन किए बिना रुक सकते हैं, इस प्रकार हम कभी भी शून्य से विभाजित नहीं होते हैं। मान लीजिए t tan θ है। फिर कुछ त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के साथ हम समीकरण को कम करते हैं

$t^{2}+2\beta t-1=0.\,\!$

स्थिरता के लिए हम समाधान चुनते हैं

$t={\frac {\operatorname {sgn}(\beta )}{|\beta |+{\sqrt {\beta ^{2}+1}}}}.$

इससे हम c और s प्राप्त कर सकते हैं

$c={\frac {1}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,\!$

$s=ct\,\!$

हालाँकि अब हम पहले दिए गए बीजगणितीय अद्यतन समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं, उन्हें फिर से लिखना बेहतर हो सकता है। होने देना

$\rho ={\frac {1-c}{s}},$

ताकि ρ = tan(θ/2). फिर संशोधित अद्यतन समीकरण हैं

$a'_{hk}=a'_{kh}=a_{hk}-s(a_{h\ell }+\rho a_{hk})\,\!$

$a'_{h\ell }=a'_{\ell h}=a_{h\ell }+s(a_{hk}-\rho a_{h\ell })\,\!$

$a'_{k\ell }=a'_{\ell k}=0\,\!$

$a'_{kk}=a_{kk}-ta_{k\ell }\,\!$

$a'_{\ell \ell }=a_{\ell \ell }+ta_{k\ell }\,\!$

जैसा कि पहले कहा गया है, हमें कभी भी घूर्णन कोण θ की स्पष्ट रूप से गणना करने की आवश्यकता नहीं है। वास्तव में, हम Q द्वारा निर्धारित सममित अद्यतन को पुन: उत्पन्न कर सकते हैं_kℓ केवल तीन मान k, ℓ, और t को बरकरार रखते हुए, शून्य रोटेशन के लिए t को शून्य पर सेट किया गया है।

यह भी देखें

• गिवेंस रोटेशन
• गृहस्थ परिवर्तन

संदर्भ

• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9