रेले भागफल

गणित में, रेले भागफल (/ˈreɪ.li/) किसी दिए गए जटिल हर्मिटियन मैट्रिक्स के लिए $M$ और शून्येतर सदिश (ज्यामिति)$x$परिभाषित किया जाता है:

$$R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}.$$

वास्तविक आव्यूहों और सदिशों के लिए, हर्मिटियन होने की शर्त कम होकर सममित आव्यूह और संयुग्मी स्थानान्तरण हो जाती है $x^{*}$ सामान्य स्थानांतरण के लिए $x'$. ध्यान दें कि $R(M,cx)=R(M,x)$ किसी भी गैर-शून्य अदिश के लिए$c$. याद रखें कि एक हर्मिटियन (या वास्तविक सममित) मैट्रिक्स वर्णक्रमीय प्रमेय है। यह दिखाया जा सकता है कि, किसी दिए गए मैट्रिक्स के लिए, रेले भागफल अपने न्यूनतम मूल्य तक पहुँच जाता है $\lambda _{\min }$ (सबसे छोटा eigenvalue$M$) कब$x$है $v_{\min }$ (संबंधित eigenvector)। इसी प्रकार, $R(M,x)\leq \lambda _{\max }$ और $R(M,v_{\max })=\lambda _{\max }$.

रेले भागफल का उपयोग न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय में सभी eigenvalues ​​​​के सटीक मान प्राप्त करने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग आइजेनवेक्टर सन्निकटन से आइगेनवैल्यू सन्निकटन प्राप्त करने के लिए eigenvalue एल्गोरिथ्म (जैसे कि रेले भागफल पुनरावृत्ति) में भी किया जाता है।

रेले भागफल की सीमा (किसी भी मैट्रिक्स के लिए, जरूरी नहीं कि हर्मिटियन) को संख्यात्मक सीमा कहा जाता है और इसमें इसका स्पेक्ट्रम_(कार्यात्मक_विश्लेषण) शामिल होता है। जब मैट्रिक्स हर्मिटियन होता है, तो संख्यात्मक त्रिज्या वर्णक्रमीय मानदंड के बराबर होती है। अभी भी कार्यात्मक विश्लेषण में, $\lambda _{\max }$ वर्णक्रमीय त्रिज्या के रूप में जाना जाता है। के सन्दर्भ में $C^{\star }$-बीजगणित या बीजगणितीय क्वांटम यांत्रिकी, वह कार्य$M$रेले-रिट्ज भागफल को जोड़ता है $R(M,x)$ एक निश्चित के लिए$x$और$M$बीजगणित के माध्यम से परिवर्तन को बीजगणित की सदिश अवस्था के रूप में संदर्भित किया जाएगा।

क्वांटम यांत्रिकी में, रेले भागफल ऑपरेटर के अनुरूप अवलोकनीय का अपेक्षित मूल्य (क्वांटम यांत्रिकी) देता है$M$एक ऐसी प्रणाली के लिए जिसका राज्य दिया गया है$x$.

यदि हम जटिल मैट्रिक्स को ठीक करते हैं$M$, फिर परिणामी रेले भागफल मानचित्र (के एक फ़ंक्शन के रूप में माना जाता है$x$) पूर्णतः निर्धारित करता है$M$ध्रुवीकरण पहचान#कॉम्प्लेक्स संख्याओं के माध्यम से; वास्तव में, यदि हम अनुमति दें तो भी यह सत्य है$M$गैर-हर्मिटियन होना। (हालाँकि, यदि हम अदिशों के क्षेत्र को वास्तविक संख्याओं तक सीमित रखते हैं, तो रेले भागफल केवल सममित मैट्रिक्स भाग को निर्धारित करता है$M$.)

हर्मिटियन एम के लिए सीमाएं

जैसा कि परिचय में कहा गया है, किसी भी वेक्टर x के लिए, एक के पास है $R(M,x)\in \left[\lambda _{\min },\lambda _{\max }\right]$, कहाँ $\lambda _{\min },\lambda _{\max }$ क्रमशः सबसे छोटे और सबसे बड़े eigenvalues ​​​​हैं $M$. यह देखने के तुरंत बाद है कि रेले भागफल एम के eigenvalues ​​​​का भारित औसत है:

$$R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}$$

कहाँ $(\lambda _{i},v_{i})$ है $i$-ऑर्थेनॉर्मलिजटी के बाद एजेनपिर भी समाप्त हो जाता है $y_{i}=v_{i}^{*}x$ है $i$ईजेनबेसिस में x का वां निर्देशांक। फिर यह सत्यापित करना आसान है कि सीमाएं संबंधित आइजनवेक्टरों पर प्राप्त हो गई हैं $v_{\min },v_{\max }$.

तथ्य यह है कि भागफल eigenvalues ​​​​का भारित औसत है, इसका उपयोग दूसरे, तीसरे, ... सबसे बड़े eigenvalues ​​​​की पहचान करने के लिए किया जा सकता है। होने देना $\lambda _{\max }=\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}=\lambda _{\min }$ घटते क्रम में eigenvalues ​​​​हो। अगर $n=2$ और $x$ ओर्थोगोनल होने के लिए बाध्य है $v_{1}$, किस स्थिति में $y_{1}=v_{1}^{*}x=0$, तब $R(M,x)$ अधिकतम मूल्य है $\lambda _{2}$, जो कब प्राप्त होता है $x=v_{2}$.

सहप्रसरण आव्यूहों का विशेष मामला

एक अनुभवजन्य सहप्रसरण मैट्रिक्स $M$ उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है $A'A$ डेटा मैट्रिक्स का (बहुभिन्नरूपी आँकड़े) $A$ इसके स्थानान्तरण द्वारा पूर्व-गुणा किया गया $A'$. एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स होने के नाते, $M$ इसमें गैर-नकारात्मक eigenvalues, और ऑर्थोगोनल (या ऑर्थोगोनलाइज़ेबल) eigenvectors हैं, जिन्हें निम्नानुसार प्रदर्शित किया जा सकता है।

सबसे पहले, कि eigenvalues $\lambda _{i}$ गैर-नकारात्मक हैं:

$${\begin{aligned}&Mv_{i}=A'Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&v_{i}'A'Av_{i}=v_{i}'\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&\left\|Av_{i}\right\|^{2}=\lambda _{i}\left\|v_{i}\right\|^{2}\\\Rightarrow {}&\lambda _{i}={\frac {\left\|Av_{i}\right\|^{2}}{\left\|v_{i}\right\|^{2}}}\geq 0.\end{aligned}}$$

दूसरी बात, कि eigenvectors $v_{i}$ एक दूसरे के लिए ओर्थोगोनल हैं:

$${\begin{aligned}&Mv_{i}=\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&v_{j}'Mv_{i}=v_{j}'\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&\left(Mv_{j}\right)'v_{i}=\lambda _{i}v_{j}'v_{i}\\\Rightarrow {}&\lambda _{j}v_{j}'v_{i}=\lambda _{i}v_{j}'v_{i}\\\Rightarrow {}&\left(\lambda _{j}-\lambda _{i}\right)v_{j}'v_{i}=0\\\Rightarrow {}&v_{j}'v_{i}=0\end{aligned}}$$

यदि eigenvalues ​​​​अलग-अलग हैं - बहुलता के मामले में, आधार को ऑर्थोगोनलाइज़ किया जा सकता है।

अब यह स्थापित करने के लिए कि रेले भागफल को सबसे बड़े eigenvalue वाले eigenvector द्वारा अधिकतम किया गया है, एक मनमाना वेक्टर को विघटित करने पर विचार करें $x$ eigenvectors के आधार पर $v_{i}$:

$$x=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i},$$

कहाँ

$$\alpha _{i}={\frac {x'v_{i}}{v_{i}'v_{i}}}={\frac {\langle x,v_{i}\rangle }{\left\|v_{i}\right\|^{2}}}$$

का समन्वय है $x$ ऑर्थोगोनल रूप से प्रक्षेपित $v_{i}$. इसलिए, हमारे पास है:

$${\begin{aligned}R(M,x)&={\frac {x'A'Ax}{x'x}}\\&={\frac {{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}'\left(A'A\right){\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}{\Bigr )}}{{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}'{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}{\Bigr )}}}\\&={\frac {{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}'{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}(A'A)v_{i}{\Bigr )}}{{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}{v_{i}}'{v_{i}}{\Bigr )}}}\\&={\frac {{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}'{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\lambda _{i}v_{i}{\Bigr )}}{{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\|{v_{i}}\|^{2}{\Bigr )}}}\end{aligned}}$$

जो, आइजेनवेक्टरों की लंबनात्मकता से, बन जाता है:

$${\begin{aligned}R(M,x)&={\frac {\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\lambda _{i}}{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\frac {(x'v_{i})^{2}}{(x'x)(v_{i}'v_{i})^{2}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\frac {(x'v_{i})^{2}}{(x'x)}}\end{aligned}}$$

अंतिम प्रतिनिधित्व स्थापित करता है कि रेले भागफल वेक्टर द्वारा बनाए गए कोणों के वर्ग कोज्या का योग है $x$ और प्रत्येक eigenvector $v_{i}$, संगत eigenvalues ​​​​द्वारा भारित।

यदि एक वेक्टर $x$ अधिकतम $R(M,x)$, फिर कोई भी गैर-शून्य अदिश गुणज $kx$ अधिकतम भी करता है $R$, इसलिए समस्या को अधिकतमीकरण के लैग्रेंज गुणक तक कम किया जा सकता है ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\lambda _{i}}$ उस बाध्यता के तहत ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}=1}$.

परिभाषित करना: $\beta _{i}=\alpha _{i}^{2}$. यह तब एक रैखिक कार्यक्रम बन जाता है, जो हमेशा डोमेन के किसी एक कोने पर अपनी अधिकतम सीमा प्राप्त करता है। एक अधिकतम अंक होगा $\alpha _{1}=\pm 1$ और $\alpha _{i}=0$ सभी के लिए $i>1$ (जब eigenvalues ​​को घटते परिमाण के अनुसार क्रमित किया जाता है)।

इस प्रकार, रेले भागफल को सबसे बड़े eigenvalue वाले eigenvector द्वारा अधिकतम किया जाता है।

लैग्रेंज मल्टीप्लायरों का उपयोग करके सूत्रीकरण

वैकल्पिक रूप से, इस परिणाम पर लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि द्वारा पहुंचा जा सकता है। पहला भाग यह दिखाना है कि स्केलिंग के तहत भागफल स्थिर है $x\to cx$, कहाँ $c$ एक अदिश राशि है

$$R(M,cx)={\frac {(cx)^{*}Mcx}{(cx)^{*}cx}}={\frac {c^{*}c}{c^{*}c}}{\frac {x^{*}Mx}{x^{*}x}}=R(M,x).$$

इस अपरिवर्तनशीलता के कारण, यह विशेष मामले का अध्ययन करने के लिए पर्याप्त है $\|x\|^{2}=x^{T}x=1$. फिर समस्या फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) को खोजने की है

$$R(M,x)=x^{\mathsf {T}}Mx,$$

बाधा के अधीन $\|x\|^{2}=x^{T}x=1.$ दूसरे शब्दों में, यह महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजना है

$${\mathcal {L}}(x)=x^{\mathsf {T}}Mx-\lambda \left(x^{\mathsf {T}}x-1\right),$$

कहाँ $\lambda$ एक लैग्रेंज गुणक है। के स्थिर बिंदु ${\mathcal {L}}(x)$ पर घटित होता है

$${\begin{aligned}&{\frac {d{\mathcal {L}}(x)}{dx}}=0\\\Rightarrow {}&2x^{\mathsf {T}}M-2\lambda x^{\mathsf {T}}=0\\\Rightarrow {}&2Mx-2\lambda x=0{\text{ (taking the transpose of both sides and noting that M is Hermitian)}}\\\Rightarrow {}&Mx=\lambda x\end{aligned}}$$

और

$$\therefore R(M,x)={\frac {x^{\mathsf {T}}Mx}{x^{\mathsf {T}}x}}=\lambda {\frac {x^{\mathsf {T}}x}{x^{\mathsf {T}}x}}=\lambda .$$

इसलिए, eigenvectors $x_{1},\ldots ,x_{n}$ का $M$ रेले भागफल के महत्वपूर्ण बिंदु और उनके संबंधित स्वदेशी मान हैं $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ के स्थिर मान हैं ${\mathcal {L}}$. यह संपत्ति प्रमुख घटकों के विश्लेषण और विहित सहसंबंध का आधार है।

स्टर्म-लिउविल सिद्धांत में उपयोग

स्टर्म-लिउविले सिद्धांत रैखिक ऑपरेटर की कार्रवाई से संबंधित है

$$L(y)={\frac {1}{w(x)}}\left(-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y\right)$$

द्वारा परिभाषित आंतरिक उत्पाद स्थान पर

$$\langle {y_{1},y_{2}}\rangle =\int _{a}^{b}w(x)y_{1}(x)y_{2}(x)\,dx$$

ए और बी पर कुछ निर्दिष्ट सीमा शर्तों को पूरा करने वाले कार्यों का। इस मामले में रेले भागफल है

$${\frac {\langle {y,Ly}\rangle }{\langle {y,y}\rangle }}={\frac {\int _{a}^{b}y(x)\left(-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)\right)dx}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}dx}}.$$

इसे कभी-कभी समतुल्य रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जो अंश में अभिन्न को अलग करके और भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है:

$$R(A,B;x):={\frac {x^{*}Ax}{x^{*}Bx}}.$$