अर्धवृत्ताकार विभव कूप

क्वांटम यांत्रिकी में, एक-आयामी रिंग में एक कण का मामला एक बॉक्स में कण के समान होता है। कण एक अर्धवृत्त के पथ का अनुसरण करता है $0$ को $\pi$ जहां से वह बच नहीं सकता, क्योंकि वहां से संभावना है $\pi$ को $2\pi$ अनंत है. इसके बजाय पूर्ण प्रतिबिंब होता है, जिसका अर्थ है कि कण आगे और पीछे उछलता है $0$ को $\pi$. एक मुक्त कण के लिए श्रोडिंगर समीकरण जो एक अर्धवृत्त तक सीमित है (तकनीकी रूप से, जिसका विन्यास स्थान (भौतिकी) वृत्त है) $S^{1}$) है

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =E\psi$$

(1)

तरंग फ़ंक्शन

1-आयामी अर्धवृत्त पर बेलनाकार निर्देशांक का उपयोग करते हुए, तरंग फ़ंक्शन केवल कोण निर्देशांक पर निर्भर करता है, और इसलिए

$$\nabla ^{2}={\frac {1}{s^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}$$

(2)

लाप्लासियन को बेलनाकार निर्देशांक में प्रतिस्थापित करते हुए, तरंग फ़ंक्शन को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2ms^{2}}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi$$

(3)

अर्धवृत्त के लिए जड़ता का क्षण, बेलनाकार निर्देशांक में सर्वोत्तम रूप से व्यक्त किया जाता है ${\textstyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _{V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\phi \,dz\!}$. समाकलन को हल करने पर पता चलता है कि अर्धवृत्त का जड़त्व आघूर्ण है $I=ms^{2}$, समान त्रिज्या के घेरे के लिए बिल्कुल वैसा ही। तरंग फलन को अब इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है $-{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi$, जिसे आसानी से हल किया जा सकता है।

चूँकि कण इस क्षेत्र से बाहर नहीं निकल सकता $0$ को $\pi$, इस अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है

$$\psi (\phi )=A\cos(m\phi )+B\sin(m\phi )$$

(4)

परिभाषित ${\textstyle m={\sqrt {\frac {2IE}{\hbar ^{2}}}}}$, हम ऊर्जा की गणना इस प्रकार कर सकते हैं ${\textstyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$. फिर हम सीमा शर्तें लागू करते हैं, जहां $\psi$ और ${\frac {d\psi }{d\phi }}$ निरंतर हैं और तरंग फ़ंक्शन सामान्य करने योग्य है:

$$\int _{0}^{\pi }\left|\psi (\phi )\right|^{2}\,d\phi =1\ .$$

(5)

अनंत वर्ग कुएं की तरह, पहली सीमा स्थिति की मांग है कि तरंग फ़ंक्शन दोनों पर 0 के बराबर हो $\phi =0$ और $\phi =\pi$. मूल रूप से

$$\ \psi (0)=\psi (\pi )=0.$$

(6)

तरंग फ़ंक्शन के बाद से $\psi (0)=0$, गुणांक A 0 के बराबर होना चाहिए क्योंकि $\cos(0)=1$. तरंग फलन भी 0 के बराबर होता है $\phi =\pi$ इसलिए हमें इस सीमा शर्त को लागू करना होगा। तुच्छ समाधान को त्यागना जहां B=0, तरंग कार्य करता है $\psi (\pi )=0=B\sin(m\pi )$ केवल तभी जब m एक पूर्णांक है $\sin(n\pi )=0$. यह सीमा स्थिति ऊर्जा की मात्रा निर्धारित करती है जहां ऊर्जा बराबर होती है ${\textstyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$ जहाँ m कोई पूर्णांक है। शर्त m=0 को खारिज कर दिया गया है क्योंकि $\psi =0$ हर जगह, जिसका अर्थ है कि कण बिल्कुल भी क्षमता में नहीं है। नकारात्मक पूर्णांकों को भी खारिज कर दिया जाता है क्योंकि उन्हें सामान्यीकरण की स्थिति में आसानी से अवशोषित किया जा सकता है।

फिर हम तरंग फ़ंक्शन को सामान्य करते हैं, जिससे एक परिणाम प्राप्त होता है ${\textstyle B={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$. सामान्यीकृत तरंग फ़ंक्शन है

$$\psi (\phi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(m\phi ).$$

(7)

सिस्टम की जमीनी अवस्था ऊर्जा है $E={\frac {\hbar ^{2}}{2I}}$. एक बॉक्स में कण की तरह, सिस्टम की उत्तेजित अवस्था में नोड्स मौजूद होते हैं जहां दोनों $\psi (\phi )$ और $\psi (\phi )^{2}$ दोनों 0 हैं, जिसका अर्थ है कि इन नोड्स पर कण मिलने की संभावना 0 है।

विश्लेषण

चूंकि तरंग फ़ंक्शन केवल अज़ीमुथल कोण पर निर्भर है $\phi$, सिस्टम की मापनीय मात्राएँ कोणीय स्थिति और कोणीय गति हैं, जो ऑपरेटरों के साथ व्यक्त की जाती हैं $\phi$ और $L_{z}$ क्रमश।

बेलनाकार निर्देशांक, ऑपरेटरों का उपयोग करना $\phi$ और $L_{z}$ के रूप में व्यक्त किये गये हैं $\phi$ और ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{d\phi }}}$ क्रमशः, जहां ये वेधशालाएं एक बॉक्स में कण के लिए स्थिति और गति के समान भूमिका निभाती हैं। कोणीय स्थिति और कोणीय गति के लिए रूपान्तरण और अनिश्चितता संबंध इस प्रकार दिए गए हैं:

$$[\phi ,L_{z}]=i\hbar \ \psi (\phi )$$

(8)

$$(\Delta \phi )(\Delta L_{z})\geq {\frac {\hbar }{2}}$$ where $\Delta _{\psi }\phi ={\sqrt {\langle {\phi }^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\phi }\rangle _{\psi }^{2}}}$ and $\Delta _{\psi }L_{z}={\sqrt {\langle {L_{z}}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {L_{z}}\rangle _{\psi }^{2}}}$

(9)

सीमा स्थितियाँ

जैसा कि सभी क्वांटम यांत्रिकी समस्याओं के साथ होता है, यदि सीमा की स्थितियाँ बदल जाती हैं तो तरंग भी कार्य करने लगती है। यदि कोई कण 0 से लेकर संपूर्ण वलय की गति तक सीमित है $2\pi$, कण केवल एक आवधिक सीमा स्थिति के अधीन है (एक अंगूठी में कण देखें)। यदि कोई कण की गति तक ही सीमित है ${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}}$ को ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$सम और विषम समता का मुद्दा महत्वपूर्ण हो जाता है।

ऐसी क्षमता के लिए तरंग समीकरण इस प्रकार दिया गया है:

$$\psi _{\rm {o}}(\phi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(m\phi )$$

(10)

$$\psi _{\rm {e}}(\phi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(m\phi )$$

(11)

कहाँ $\psi _{\rm {o}}(\phi )$ और $\psi _{\rm {e}}(\phi )$ क्रमशः विषम और सम m के लिए हैं।

इसी प्रकार, यदि अर्धवृत्ताकार क्षमता वाला कुआँ एक परिमित कुआँ है, तो समाधान परिमित क्षमता वाले कुएँ के समान होगा जहाँ कोणीय संचालक $\phi$ और $L_{z}$ रैखिक ऑपरेटरों x और p को प्रतिस्थापित करें।

यह भी देखें

• एक वलय में कण
• एक डिब्बे में कण
• परिमित क्षमता अच्छी तरह से
• डेल्टा फ़ंक्शन क्षमता
• एक डिब्बे में गैस
• गोलाकार सममित विभव में कण

श्रेणी:क्वांटम मॉडल श्रेणी:क्वांटम यांत्रिक क्षमताएँ