आईपी (कॉम्प्लेक्सिटी)

कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में, क्लास आईपी (इंटरैक्टिव प्रूफ) एक इंटरैक्टिव प्रमाण प्रणाली द्वारा हल की जाने वाली समस्याओं का वर्ग है। यह क्लास PSPACE के बराबर है। परिणाम को कागजात की एक श्रृंखला में स्थापित किया गया था: लुंड, कार्लॉफ़, फ़ोर्टनो और निसान द्वारा पहली बार दिखाया गया कि सह-एनपी के पास कई प्रोवर इंटरैक्टिव सबूत थे; और दूसरा, शमीर द्वारा, उस IP=PSPACE को स्थापित करने के लिए अपनी तकनीक का उपयोग किया। परिणाम एक प्रसिद्ध उदाहरण है जहां प्रमाण ओरेकल मशीन#ऑरेकल मशीनों की जटिलता कक्षाएं नहीं देता है। एक इंटरैक्टिव प्रूफ सिस्टम की अवधारणा पहली बार 1985 में शफ़ी गोल्डवेसर, सिल्वियो मिकाली और चार्ल्स रैकॉफ़ द्वारा पेश की गई थी। एक इंटरैक्टिव प्रूफ सिस्टम में दो मशीनें होती हैं, एक प्रोवर, पी, जो एक प्रमाण प्रस्तुत करता है कि एक दिया गया स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) एन कुछ औपचारिक भाषा का सदस्य है, और एक सत्यापनकर्ता, वी, जो जांचता है कि प्रस्तुत प्रमाण सही है। प्रोवर को गणना और भंडारण में अनंत माना जाता है, जबकि सत्यापनकर्ता एक यादृच्छिक बिट स्ट्रिंग तक पहुंच के साथ एक संभाव्य बहुपद-समय मशीन है जिसकी लंबाई एन के आकार पर बहुपद है। ये दोनों मशीनें संदेशों की एक बहुपद संख्या, पी(एन) का आदान-प्रदान करती हैं और एक बार बातचीत पूरी हो जाने पर, सत्यापनकर्ता को यह तय करना होगा कि एन भाषा में है या नहीं, त्रुटि की केवल 1/3 संभावना है। (इसलिए 'परिबद्ध-त्रुटि संभाव्य बहुपद' में कोई भी भाषा 'आईपी' में है, तब से सत्यापनकर्ता केवल नीतिवचन को अनदेखा कर सकता है और स्वयं निर्णय ले सकता है।)

एक इंटरैक्टिव प्रूफ़ प्रोटोकॉल का सामान्य प्रतिनिधित्व।

परिभाषा

एक भाषा एल 'आईपी' से संबंधित है यदि वहां वी, पी मौजूद है जैसे कि सभी क्यू के लिए, डब्ल्यू:

$w\in L\Rightarrow \Pr[V\leftrightarrow P{\text{ accepts }}w]\geq {\tfrac {2}{3}}$

$w\not \in L\Rightarrow \Pr[V\leftrightarrow Q{\text{ accepts }}w]\leq {\tfrac {1}{3}}$

लास्ज़लो बाबई द्वारा प्रस्तुत आर्थर-मर्लिन प्रोटोकॉल, प्रकृति में समान है, सिवाय इसके कि बातचीत के दौर की संख्या एक बहुपद के बजाय एक स्थिरांक से बंधी होती है।

गोल्डवेसर एट अल. दिखाया है कि सार्वजनिक-सिक्का प्रोटोकॉल, जहां सत्यापनकर्ता द्वारा उपयोग किए गए यादृच्छिक नंबर चुनौतियों के साथ-साथ प्रूवर को प्रदान किए जाते हैं, निजी-सिक्का प्रोटोकॉल से कम शक्तिशाली नहीं हैं। निजी-सिक्का प्रोटोकॉल के प्रभाव को दोहराने के लिए बातचीत के अधिकतम दो अतिरिक्त दौर की आवश्यकता होती है। विपरीत समावेशन सीधा है, क्योंकि सत्यापनकर्ता हमेशा अपने निजी सिक्का उछाल के परिणाम को प्रूवर को भेज सकता है, जो साबित करता है कि दो प्रकार के प्रोटोकॉल बराबर हैं।

निम्नलिखित अनुभाग में हम साबित करते हैं कि 'आईपी' = 'पीएसपीएसीई', कम्प्यूटेशनल जटिलता में एक महत्वपूर्ण प्रमेय है, जो दर्शाता है कि एक इंटरैक्टिव प्रमाण प्रणाली का उपयोग यह तय करने के लिए किया जा सकता है कि एक स्ट्रिंग बहुपद समय में किसी भाषा का सदस्य है या नहीं, भले ही पारंपरिक 'पीएसपीएसीई' प्रमाण तेजी से लंबा हो सकता है।

आईपी का प्रमाण = PSPACE

प्रमाण को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है, हम दिखाते हैं कि IP ⊆ PSPACE और PSPACE ⊆ IP।

आईपी ⊆ PSPACE

उस आईपी ⊆ पीएसपीएसीई को प्रदर्शित करने के लिए, हम एक बहुपद अंतरिक्ष मशीन द्वारा एक इंटरैक्टिव प्रूफ सिस्टम का अनुकरण प्रस्तुत करते हैं। अब, हम परिभाषित कर सकते हैं:

$\Pr[V{\text{ accepts }}w{\text{ starting at }}M_{j}]=\max \nolimits _{P}\Pr \left[V\leftrightarrow P{\text{ accepts }}w{\text{ starting at }}M_{j}\right]$

और प्रत्येक 0 ≤ j ≤ p और प्रत्येक संदेश इतिहास M के लिए_j, हम आगमनात्मक रूप से फ़ंक्शन N को परिभाषित करते हैं_Mj</उप>:

$N_{M_{j}}={\begin{cases}0&j=p{\text{ and }}m_{p}={\text{reject}}\\1&j=p{\text{ and }}m_{p}={\text{accept}}\\\max _{m_{j+1}}N_{M_{j+1}}&j<p{\text{ and }}j{\text{ is odd}}\\{\text{wt-avg}}_{m_{j+1}}N_{M_{j+1}}&j<p{\text{ and }}j{\text{ is even}}\\\end{cases}}$

कहाँ:

${\text{wt-avg}}_{m_{j+1}}N_{M_{j+1}}:=\sum \nolimits _{m_{j+1}}\Pr \nolimits _{r}[V(w,r,M_{j})=m_{j+1}]N_{M_{j+1}}$

जहां पीआर_r लंबाई p की यादृच्छिक स्ट्रिंग r पर ली गई प्रायिकता है। यह अभिव्यक्ति N का औसत है_Mj+1, इस संभावना पर आधारित है कि सत्यापनकर्ता ने संदेश एम भेजा है_j+1.

म लो₀ खाली संदेश अनुक्रम होने के लिए, यहां हम दिखाएंगे कि एन_M0 की गणना बहुपद स्थान में की जा सकती है, और वह N_M0 = पीआर[वी डब्ल्यू स्वीकार करता है]। सबसे पहले, एन की गणना करने के लिए_M0, एक एल्गोरिदम एन मानों की पुनरावर्ती गणना कर सकता है_Mj प्रत्येक j और M के लिए_j. चूँकि पुनरावृत्ति की गहराई p है, केवल बहुपद स्थान आवश्यक है। दूसरी आवश्यकता यह है कि हमें एन की आवश्यकता है_M0 = Pr[V, w को स्वीकार करता है], यह निर्धारित करने के लिए आवश्यक मान है कि w, A में है या नहीं। इसे सिद्ध करने के लिए हम प्रेरण का उपयोग इस प्रकार करते हैं।

हमें यह दिखाना होगा कि प्रत्येक 0 ≤ j ≤ p और प्रत्येक M के लिए_j, एन_Mj = Pr[V, M से प्रारंभ करके w को स्वीकार करता है_j], और हम इसे j पर प्रेरण का उपयोग करके करेंगे। आधार मामला j = p के लिए सिद्ध करना है। फिर हम p से 0 तक जाने के लिए इंडक्शन का उपयोग करेंगे।

जे = पी का आधार मामला काफी सरल है। चूंकि एम_pया तो स्वीकार है या अस्वीकार, यदि एम_pस्वीकार है, एन_Mp को 1 के रूप में परिभाषित किया गया है और Pr[V, M से प्रारंभ करके w को स्वीकार करता है_j] = 1 चूंकि संदेश धारा स्वीकृति का संकेत देती है, इसलिए दावा सत्य है। यदि एम_pअस्वीकार है, तर्क बहुत समान है।

आगमनात्मक परिकल्पना के लिए, हम मानते हैं कि कुछ j+1 ≤ p और किसी संदेश अनुक्रम M के लिए_j+1, एन_Mj+1 = Pr[V, M से प्रारंभ करके w को स्वीकार करता है_j+1] और फिर j और किसी संदेश अनुक्रम M के लिए परिकल्पना सिद्ध करें_j.

यदि j सम है, तो m_j+1V से P तक एक संदेश है। N की परिभाषा के अनुसार_Mj</उप>,

$N_{M_{j}}=\sum \nolimits _{m_{j+1}}\Pr \nolimits _{r}\left[V(w,r,M_{j})=m_{j+1}\right]N_{M_{j+1}}.$

फिर, आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, हम कह सकते हैं कि यह बराबर है

$\sum \nolimits _{m_{j+1}}\Pr \nolimits _{r}\left[V(w,r,M_{j})=m_{j+1}\right]*\Pr \left[V{\text{ accepts }}w{\text{ starting at }}M_{j+1}\right].$

अंत में, परिभाषा के अनुसार, हम देख सकते हैं कि यह पीआर के बराबर है [वी एम से शुरू होने वाले डब्ल्यू को स्वीकार करता है_j].

यदि j विषम है, तो m_j+1P से V तक एक संदेश है। परिभाषा के अनुसार,

$N_{M_{j}}=\max \nolimits _{m_{j+1}}N_{M_{j+1}}.$

फिर, आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, यह बराबर होता है

$\max \nolimits _{m_{j+1}}*\Pr[V{\text{ accepts }}w{\text{ starting at }}M_{j+1}].$

यह Pr के बराबर है[V, M से प्रारंभ करके w को स्वीकार करता है_j] तब से:

$\max \nolimits _{m_{j+1}}\Pr[V{\text{ accepts }}w{\text{ starting at }}M_{j+1}]\leq \Pr[V{\text{ accepts w starting at }}M_{j}]$

क्योंकि दाहिनी ओर का सूक्त संदेश m भेज सकता है_j+1बायीं ओर अभिव्यक्ति को अधिकतम करने के लिए। और:

$\max \nolimits _{m_{j+1}}\Pr \left[V{\text{ accepts }}w{\text{ starting at }}M_{j+1}\right]\geq \Pr \left[V{\text{ accepts }}w{\text{ starting at }}M_{j}\right]$

चूँकि वही कहावत उसी संदेश को भेजने से बेहतर कुछ नहीं कर सकती। इस प्रकार, इससे पता चलता है कि i सम है या विषम और इसका प्रमाण है कि 'IP' ⊆ 'PSPACE' पूर्ण है।

यहां हमने एक बहुपद अंतरिक्ष मशीन का निर्माण किया है जो भाषा ए में एक विशेष स्ट्रिंग डब्ल्यू के लिए सर्वश्रेष्ठ प्रोवर पी का उपयोग करता है। हम यादृच्छिक इनपुट बिट्स के साथ एक प्रोवर के स्थान पर इस सर्वश्रेष्ठ प्रोवर का उपयोग करते हैं क्योंकि हम बहुपद स्थान में यादृच्छिक इनपुट बिट्स के हर सेट को आज़माने में सक्षम हैं। चूंकि हमने एक बहुपद अंतरिक्ष मशीन के साथ एक इंटरैक्टिव प्रूफ सिस्टम का अनुकरण किया है, इसलिए हमने इच्छानुसार 'आईपी' ⊆ 'पीएसपीएसीई' दिखाया है।

पीएसपीएसीई ⊆ आईपी

पीएसपीएसीई ⊆ आईपी को साबित करने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली तकनीक को स्पष्ट करने के लिए, हम पहले एक कमजोर प्रमेय साबित करेंगे, जिसे लुंड और अन्य ने साबित किया था: #SAT ∈ आईपी। फिर इस प्रमाण से अवधारणाओं का उपयोग करके हम इसे TQBF ∈ IP दिखाने के लिए विस्तारित करेंगे। चूँकि TQBF ∈ PSPACE-पूर्ण, और TQBF ∈ IP तो PSPACE ⊆ IP।

====#SAT IP==== का सदस्य है हम यह दिखाकर शुरुआत करते हैं कि #SAT आईपी में है, जहां:

$\#{\text{SAT}}=\left\{\langle \varphi ,k\rangle \ :\ \varphi {\text{ is a CNF-formula with exactly }}k{\text{ satisfying assignments}}\right\}.$

ध्यान दें कि यह शार्प-सैट|#सैट की सामान्य परिभाषा से अलग है, क्योंकि यह एक फ़ंक्शन के बजाय एक निर्णय समस्या है।

सबसे पहले हम एन चर, φ(बी) के साथ बूलियन सूत्र को मैप करने के लिए अंकगणितीकरण का उपयोग करते हैं₁, ..., बी_n) एक बहुपद पी के लिए_φ(एक्स₁, ..., एक्स_n), जहां पी_φ उस पी में φ की नकल करता है_φ यदि φ सत्य है तो 1 है और अन्यथा 0 है बशर्ते कि पी के चर_φ बूलियन मान असाइन किए गए हैं। φ में प्रयुक्त बूलियन ऑपरेशन ∨, ∧ और ¬ को p में सिम्युलेटेड किया गया है_φ φ में ऑपरेटरों को प्रतिस्थापित करके, जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिखाया गया है।

Arithmetization rules for converting a Boolean formula φ(b₁, ..., b_n) to a polynomial p_φ(x₁, ..., x_n)

a ∧ b	ab
a ∨ b	a ∗ b := 1 − (1 − a)(1 − b)
¬a	1 − a

उदाहरण के तौर पर, φ = a ∧ (b ∨ ¬c) को निम्नानुसार बहुपद में परिवर्तित किया जाएगा:

${\begin{aligned}p_{\varphi }&=a\wedge (b\vee \neg c)\\&=a\wedge \left(b*(1-c)\right)\\&=a\wedge \left(1-(1-b)(1-(1-c))\right)\\&=a\left(1-(1-b)(1-(1-c))\right)\\&=a-(ac-abc)\end{aligned}}$

संक्रियाओं ab और a ∗ b में से प्रत्येक का परिणाम एक बहुपद में होता है, जिसकी डिग्री a और b के लिए बहुपद की डिग्री के योग से घिरी होती है और इसलिए, किसी भी चर की डिग्री अधिकतम φ की लंबाई होती है।

अब मान लीजिए कि F एक परिमित क्षेत्र है जिसका क्रम q > 2 हैⁿ; यह भी मांग करें कि q कम से कम 1000 हो। प्रत्येक 0 ≤ i ≤ n के लिए, एक फ़ंक्शन f परिभाषित करें_iएफ पर, पैरामीटर वाले $a_{1},\dots ,a_{i-1}\in F$, और एक एकल चर a_iएफ में: 0 ≤ i ≤ n और के लिए $a_{1},\dots ,a_{i}\in F$ होने देना

$f_{i}(a_{1},\dots ,a_{i})=\sum \nolimits _{a_{i+1},\dots ,a_{n}\in \{0,1\}}p(a_{1},\dots ,a_{n}).$ ध्यान दें कि f का मान₀ φ के संतोषजनक असाइनमेंट की संख्या है। एफ₀ एक शून्य फ़ंक्शन है, जिसमें कोई चर नहीं है।

अब #SAT का प्रोटोकॉल इस प्रकार काम करता है:

• चरण 0: नीतिवचन पी एक अभाज्य क्यू > 2 चुनता हैⁿ और f की गणना करता है₀, फिर यह q और f भेजता है₀ सत्यापनकर्ता वी के लिए। वी जाँच करता है कि क्यू अधिकतम (1000, 2) से बड़ा अभाज्य हैⁿ) और वह एफ₀() = के.
• 'चरण 1': पी, एफ के गुणांक भेजता है₁(z) z में एक बहुपद के रूप में। V सत्यापित करता है कि f की डिग्री₁ n से कम है और वह f₀ = एफ₁(0) + एफ₁(1). (यदि नहीं तो V अस्वीकार करता है)। V अब एक यादृच्छिक संख्या r भेजता है₁ एफ से पी तक.
• 'चरण I': P का गुणांक भेजता है $f_{i}(r_{1},\dots ,r_{i-1},z)$ z में एक बहुपद के रूप में। V सत्यापित करता है कि f की डिग्री_in से कम है और वह $f_{i-1}(r_{1},\dots ,r_{i-1})=f_{i}(r_{1},\dots ,r_{i-1},0)+f_{i}(r_{1},\dots ,r_{i-1},1)$. (यदि नहीं तो V अस्वीकार करता है)। V अब एक यादृच्छिक संख्या r भेजता है_iएफ से पी तक.
• 'चरण n+1': V मूल्यांकन करता है $p(r_{1},\dots ,r_{n})$ मूल्य से तुलना करने के लिए $f_{n}(r_{1},\dots ,r_{n})$. यदि वे समान हैं तो V स्वीकार करता है, अन्यथा V अस्वीकार करता है।

ध्यान दें कि यह एक सार्वजनिक-सिक्का एल्गोरिथ्म है।

यदि φ में k संतोषजनक असाइनमेंट हैं, तो स्पष्ट रूप से V स्वीकार करेगा। यदि φ में k संतोषजनक कार्य नहीं है तो हम मान लेते हैं कि एक कहावत है ${\tilde {P}}$ जो V को समझाने की कोशिश करता है कि φ में k संतोषजनक कार्य हैं। हम दिखाते हैं कि यह केवल कम संभावना के साथ ही किया जा सकता है।

चरण 0 में V को अस्वीकार करने से रोकने के लिए, ${\tilde {P}}$ गलत मान भेजना होगा ${\tilde {f}}_{0}()$ से पी. फिर, चरण 1 में, ${\tilde {P}}$ एक ग़लत बहुपद भेजना होगा ${\tilde {f}}_{1}$ उस संपत्ति के साथ ${\tilde {f}}_{1}(0)+{\tilde {f}}_{1}(1)={\tilde {f}}_{0}()$. जब V एक यादृच्छिक r चुनता है₁ पी को भेजने के लिए,

$\Pr \left[{\tilde {f}}_{1}(r_{1})=f_{1}(r_{1})\right]<{\tfrac {1}{n^{2}}}.$ इसका कारण यह है कि घात के एकल चर वाले बहुपद में अधिकतम d के मूल d से अधिक नहीं हो सकते हैं (जब तक कि इसका मूल्यांकन हमेशा 0 न हो)। अतः, घात के एक ही चर में अधिकतम d वाले कोई भी दो बहुपद केवल d स्थानों पर ही समान हो सकते हैं। चूंकि |एफ| > 2ⁿआर की संभावना₁ इन मूल्यों में से एक होना अधिकतम है $n/2^{n}<n/n^{3}$ यदि n > 10, या अधिकतम (n/1000) ≤ (n/n³) यदि n ≤ 10.

इस विचार को अन्य चरणों के लिए सामान्यीकृत करना हमारे पास प्रत्येक 1 ≤ i ≤ n if के लिए है

${\tilde {f}}_{i-1}(r_{1},\dots ,r_{i-1})\neq f_{i-1}(r_{1},\dots ,r_{i-1}),$ फिर आर के लिए_iF से यादृच्छिक रूप से चुना गया,

$\Pr \left[{\tilde {f}}(r_{1},\dots ,r_{i})=f_{i}(r_{1},\dots ,r_{i})\right]\leq {\tfrac {1}{n^{2}}}.$ वहाँ n चरण हैं, तो संभावना है कि ${\tilde {P}}$ भाग्यशाली है क्योंकि V किसी स्तर पर एक सुविधाजनक r का चयन करता है_iअधिकतम 1/एन है। इसलिए, कोई भी सूचक सत्यापनकर्ता को 1/n से अधिक संभावना के साथ स्वीकार करने के लिए बाध्य नहीं कर सकता है। हम परिभाषा से यह भी देख सकते हैं कि सत्यापनकर्ता V संभाव्य बहुपद समय में काम करता है। इस प्रकार, #SAT ∈ 'आईपी'।

====TQBF IP==== का सदस्य है यह दिखाने के लिए कि पीएसपीएसीई आईपी का एक सबसेट है, हमें एक पीएसपीएसीई-पूर्ण समस्या चुननी होगी और दिखाना होगा कि यह आईपी में है। एक बार जब हम इसे दिखा देते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि PSPACE ⊆ IP. यहां प्रदर्शित प्रमाण तकनीक का श्रेय आदि शमीर को दिया जाता है।

हम जानते हैं कि TQBF PSPACE-Complete में है। तो मान लीजिए कि ψ एक परिमाणित बूलियन अभिव्यक्ति है:

$\psi ={\mathsf {Q}}_{1}x_{1}\dots {\mathsf {Q}}_{m}x_{m}[\varphi ]$

जहां φ एक CNF सूत्र है। फिर प्र_iएक परिमाणक है, या तो ∃ या ∀. अब एफ_iपिछले प्रमाण के समान ही है, लेकिन अब इसमें परिमाणक भी शामिल हैं।

$f_{i}(a_{1},\dots ,a_{i})={\begin{cases}f_{i}(a_{1},\dots ,a_{m})=1&{\mathsf {Q}}_{i+1}x_{i+1}\dots {\mathsf {Q}}_{m}x_{m}[\varphi (a_{1},\dots ,a_{i})]{\text{ is true}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

यहाँ, φ(ए₁, ..., ए_i) ए के साथ φ है₁ एक को_ix के स्थान पर प्रतिस्थापित₁ एक्स को_i. इस प्रकार एफ₀ ψ का सत्य मान है। ψ का अंकगणित करने के लिए हमें निम्नलिखित नियमों का उपयोग करना चाहिए:

$f_{i}(a_{1},\dots ,a_{i})={\begin{cases}f_{i+1}(a_{1},\dots ,a_{i},0)\cdot f_{i+1}(a_{1},\dots ,a_{i},1)&{\mathsf {Q}}_{i+1}=\forall \\f_{i+1}(a_{1},\dots ,a_{i},0)*f_{i+1}(a_{1},\dots ,a_{i},1)&{\mathsf {Q}}_{i+1}=\exists \end{cases}}$

जबकि पहले हम x * y = 1 − (1 − x)(1 − y) परिभाषित करते थे।

1. SAT में वर्णित विधि का उपयोग करके, हमें एक समस्या का सामना करना पड़ेगा जो कि किसी भी f के लिए है_iपरिणामी बहुपद की डिग्री प्रत्येक परिमाणक के साथ दोगुनी हो सकती है। इसे रोकने के लिए, हमें एक नया कटौती ऑपरेटर आर पेश करना होगा जो बूलियन इनपुट पर उनके व्यवहार को बदले बिना बहुपद की डिग्री को कम कर देगा।

तो अब इससे पहले कि हम अंकगणित करें $\psi ={\mathsf {Q}}_{1}x_{1}\dots {\mathsf {Q}}_{m}x_{m}[\varphi ]$ हम एक नई अभिव्यक्ति प्रस्तुत करते हैं:

$\psi '={\mathsf {Q}}_{1}\mathrm {R} x_{1}{\mathsf {Q}}_{2}\mathrm {R} x_{1}\mathrm {R} x_{2}\dots {\mathsf {Q}}_{m}\mathrm {R} x_{1}\dots \mathrm {R} x_{m}[\varphi ]$

या दूसरे तरीके से कहें:

$\psi '={\mathsf {S}}_{1}y_{1}\dots {\mathsf {S}}_{k}y_{k}[\varphi ],\qquad {\text{ where }}{\mathsf {S}}_{i}\in \{\forall ,\exists ,\mathrm {R} \},\ y_{i}\in \{x_{1},\dots ,x_{m}\}$

अब प्रत्येक i ≤ k के लिए हम फ़ंक्शन f को परिभाषित करते हैं_i. हम भी परिभाषित करते हैं $f_{k}(x_{1},\dots ,x_{m})$ बहुपद p(x) होना₁, ..., एक्स_m) जो φ का अंकगणित करके प्राप्त किया जाता है। अब बहुपद की घात को कम रखने के लिए, हम f को परिभाषित करते हैं_iएफ के संदर्भ में_i+1:

${\text{If }}{\mathsf {S}}_{i+1}=\forall ,\quad f_{i}(a_{1},\dots ,a_{i})=f_{i+1}(a_{1},\dots ,a_{i},0)\cdot f_{i+1}(a_{1},\dots ,a_{i},1)$

${\text{If }}{\mathsf {S}}_{i+1}=\exists ,\quad f_{i}(a_{1},\dots ,a_{i})=f_{i+1}(a_{1},\dots ,a_{i},0)*f_{i+1}(a_{1},\dots ,a_{i},1)$

${\text{If }}{\mathsf {S}}_{i+1}=\mathrm {R} ,\quad f_{i}(a_{1},\dots ,a_{i},a)=(1-a)f_{i+1}(a_{1},\dots ,a_{i},0)+af_{i+1}(a_{1},\dots ,a_{i},1)$

अब हम देख सकते हैं कि कमी संक्रिया R, बहुपद की डिग्री को नहीं बदलती है। यह भी देखना जरूरी है कि आर_xऑपरेशन बूलियन इनपुट पर फ़ंक्शन का मान नहीं बदलता है। तो एफ₀ अभी भी ψ का सत्य मान है, लेकिन R_xमान एक ऐसा परिणाम उत्पन्न करता है जो x में रैखिक होता है। किसी के बाद भी ${\mathsf {Q}}_{i}x_{i}$ हम जोड़ते हैं $\mathrm {R} _{x_{1}}\dots \mathrm {R} _{x_{i}}$ अंकगणित के बाद डिग्री को 1 तक कम करने के लिए ψ′ में ${\mathsf {Q}}_{i}$.

अब प्रोटोकॉल का वर्णन करते हैं। यदि n ψ की लंबाई है, तो प्रोटोकॉल में सभी अंकगणितीय ऑपरेशन कम से कम n आकार के क्षेत्र पर होते हैं⁴ जहां n ψ की लंबाई है।

• 'चरण 0': पी → वी: पी एफ भेजता है₀ से वी. वी. जाँचता है कि एफ₀= 1 और यदि नहीं तो अस्वीकार कर देता है।
• चरण 1: पी → वी: पी एफ भेजता है₁(z) से V. V, f का मूल्यांकन करने के लिए गुणांक का उपयोग करता है₁(0) और एफ₁(1). फिर यह जाँचता है कि बहुपद डिग्री अधिकतम n है और निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सत्य हैं:

$f_{0}(\varnothing )={\begin{cases}f_{1}(0)\cdot f_{1}(1)&{\text{ if }}{\mathsf {S}}=\forall \\f_{1}(0)*f_{1}(1)&{\text{ if }}{\mathsf {S}}=\exists .\\(1-r)f_{1}(0)+rf_{1}(1)&{\text{ if }}{\mathsf {S}}=\mathrm {R} .\end{cases}}$

यदि दोनों में से कोई भी विफल रहता है तो अस्वीकार करें।

• चरण I: पी → वी: पी भेजता है $f_{i}(r_{1},\dots ,r_{i-1},z)$ z में एक बहुपद के रूप में। आर₁ के लिए पहले से निर्धारित यादृच्छिक मानों को दर्शाता है $r_{1},\dots ,r_{i-1}$

V मूल्यांकन के लिए गुणांकों का उपयोग करता है $f_{i}(r_{1},\dots ,r_{i-1},0)$ और $f_{i}(r_{1},\dots ,r_{i-1},1)$. फिर यह जाँचता है कि बहुपद डिग्री अधिकतम n है और निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सत्य हैं:

$f_{i-1}(r_{1},\dots ,r_{i-1})={\begin{cases}f_{i}(r_{1},\dots ,r_{i-1},0)\cdot f_{i}(r_{1},\dots ,r_{i-1},1)&{\mathsf {S}}=\forall \\f_{i}(r_{1},\dots ,r_{i-1},0)*f_{i}(r_{1},\dots ,r_{i-1},1)&{\mathsf {S}}=\exists .\end{cases}}$

$f_{i-1}(r_{1}\dots r)=(1-r)f_{i}(r_{1},\dots ,r_{i-1},0)+rf_{i}(r_{1},\dots ,r_{i-1},1){\text{ if }}{\mathsf {S}}=\mathrm {R} .$

यदि दोनों में से कोई भी विफल रहता है तो अस्वीकार कर दें।

वी → पी: वी एफ में एक यादृच्छिक आर चुनता है और इसे पी को भेजता है। (यदि ${\mathsf {S}}=\mathrm {R}$ तब यह r पिछले r को प्रतिस्थापित कर देता है)।

चरण i +1 पर जाएं जहां P को V को इस बात के लिए राजी करना होगा $f_{i}(r_{1},\dots ,r)$ सही है।

• चरण k + 1: V का मूल्यांकन करता है $p(r_{1},\dots ,r_{m})$. फिर यह जाँच करता है कि क्या $p(r_{1},\dots ,r_{m})=f_{k}(r_{1},\dots ,r_{m})$ यदि वे समान हैं तो V स्वीकार करता है, अन्यथा V अस्वीकार करता है।

यह प्रोटोकॉल विवरण का अंत है.

यदि ψ सत्य है तो V तब स्वीकार करेगा जब P प्रोटोकॉल का पालन करेगा। इसी तरह अगर ${\tilde {P}}$ एक दुर्भावनापूर्ण कहावत है जो झूठ बोलती है, और यदि ψ गलत है, तो ${\tilde {P}}$ चरण 0 पर लेटने और f के लिए कुछ मान भेजने की आवश्यकता होगी₀. यदि चरण I पर, V का मान गलत है $f_{i-1}(r_{1},\dots )$ तब $f_{i}(r_{1},\dots ,0)$ और $f_{i}(r_{1},\dots ,1)$ संभवतः गलत भी होगा, इत्यादि। की संभावना ${\tilde {P}}$ कुछ यादृच्छिक r पर भाग्यशाली होने के लिए अधिकतम बहुपद की डिग्री को फ़ील्ड आकार से विभाजित किया जाता है: $n/n^{4}$. प्रोटोकॉल O(n) के माध्यम से चलता है²) चरण, तो संभावना है कि ${\tilde {P}}$ किसी चरण में भाग्यशाली होना ≤ 1/n है। अगर ${\tilde {P}}$ कभी भी भाग्यशाली नहीं होता है, तो V चरण k+1 पर अस्वीकार कर देगा।

चूँकि अब हमने दिखाया है कि दोनों 'आईपी' ⊆ 'पीएसपीएसीई' और 'पीएसपीएसीई' ⊆ 'आईपी', हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 'आईपी' = 'पीएसपीएसीई' इच्छानुसार। इसके अलावा, हमने दिखाया है कि किसी भी 'आईपी' एल्गोरिदम को सार्वजनिक-सिक्का माना जा सकता है, क्योंकि 'पीएसपीएसीई' से 'आईपी' में कमी में यह संपत्ति है।

वेरिएंट

आईपी ​​के कई प्रकार हैं जो इंटरैक्टिव प्रूफ सिस्टम की परिभाषा को थोड़ा संशोधित करते हैं। हम यहां कुछ बेहतर ज्ञात लोगों का सारांश प्रस्तुत कर रहे हैं।

डीआईपी

Main article: Interactive proof system

आईपी ​​का एक उपसमुच्चय नियतात्मक इंटरैक्टिव प्रूफ वर्ग है, जो आईपी के समान है लेकिन इसमें एक नियतात्मक सत्यापनकर्ता है (यानी बिना किसी यादृच्छिकता के)। यह वर्ग एनपी (जटिलता) के बराबर है।

उत्तम पूर्णता

'आईपी' की समतुल्य परिभाषा इस शर्त को प्रतिस्थापित करती है कि इंटरेक्शन भाषा में स्ट्रिंग्स पर उच्च संभावना के साथ सफल होता है, इस आवश्यकता के साथ कि यह हमेशा सफल होता है:

$w\in L\Rightarrow \Pr[V\leftrightarrow P{\text{ accepts }}w]=1$

पूर्ण पूर्णता का यह प्रतीत होता है कि मजबूत मानदंड जटिलता वर्ग आईपी को नहीं बदलता है, क्योंकि इंटरैक्टिव प्रूफ सिस्टम वाली किसी भी भाषा को पूर्ण पूर्णता के साथ एक इंटरैक्टिव प्रूफ सिस्टम दिया जा सकता है।

एमआईपी

Main article: Interactive proof system § MIP

1988 में, गोल्डवेसर एट अल। आईपी ​​पर आधारित एमआईपी नामक एक और भी अधिक शक्तिशाली इंटरैक्टिव प्रूफ सिस्टम बनाया गया जिसमें दो स्वतंत्र प्रोवर्स हैं। एक बार जब सत्यापनकर्ता ने उन्हें संदेश भेजना शुरू कर दिया तो दोनों नीतियाँ संवाद नहीं कर सकतीं। जिस तरह अगर किसी अपराधी से और उसके साथी से अलग-अलग कमरों में पूछताछ की जाती है, तो यह बताना आसान होता है कि क्या वह झूठ बोल रहा है, उसी तरह अगर कोई अन्य जासूस है, जिसके साथ वह दोबारा जांच कर सकता है, तो सत्यापनकर्ता को धोखा देने की कोशिश करने वाले दुर्भावनापूर्ण जासूस का पता लगाना काफी आसान है। वास्तव में, यह इतना मददगार है कि बाबई, फ़ोर्टनो, और लुंड यह दिखाने में सक्षम थे कि एमआईपी = नेक्सपीटाइम, सभी समस्याओं का वर्ग जो घातीय समय में एक गैर-नियतात्मक ट्यूरिंग मशीन मशीन द्वारा हल किया जा सकता है, एक बहुत बड़ा वर्ग। इसके अलावा, एनपी की सभी भाषाओं में बिना किसी अतिरिक्त धारणा के एमआईपी प्रणाली में शून्य-ज्ञान प्रमाण हैं; यह केवल एकतरफ़ा कार्यों के अस्तित्व को मानने वाले आईपी के लिए जाना जाता है।

आईपीपी

आईपीपी (अनबाउंडेड आईपी) आईपी का एक प्रकार है जहां हम बाउंडेड-त्रुटि संभाव्य बहुपद सत्यापनकर्ता को पीपी (जटिलता) सत्यापनकर्ता द्वारा प्रतिस्थापित करते हैं। अधिक सटीक रूप से, हम पूर्णता और सुदृढ़ता स्थितियों को निम्नानुसार संशोधित करते हैं:

• पूर्णता: यदि कोई स्ट्रिंग भाषा में है, तो ईमानदार सत्यापनकर्ता कम से कम 1/2 संभावना के साथ एक ईमानदार कहावत द्वारा इस तथ्य के बारे में आश्वस्त हो जाएगा।
• सुदृढ़ता: यदि स्ट्रिंग भाषा में नहीं है, तो कोई भी कहावत ईमानदार सत्यापनकर्ता को यह विश्वास नहीं दिला सकती है कि यह भाषा में है, सिवाय 1/2 से कम संभावना के।

हालाँकि IPP भी PSPACE के बराबर है, IPP प्रोटोकॉल Oracle मशीन के संबंध में IP से काफी अलग व्यवहार करता है: IPP=PSPACE सभी Oracles के संबंध में, जबकि IP ≠ PSPACE लगभग सभी Oracles के संबंध में।

क्यूआईपी

Main article: Quantum Interactive Protocol

क्वांटम इंटरएक्टिव प्रोटोकॉल आईपी का एक संस्करण है जो BQP सत्यापनकर्ता द्वारा बाउंडेड-त्रुटि संभाव्य बहुपद सत्यापनकर्ता की जगह लेता है, जहां BQP बहुपद समय में एक कंप्यूटर जितना द्वारा हल की जाने वाली समस्याओं का वर्ग है। संदेश क्वैबिट से बने होते हैं। 2009 में, जैन, जी, उपाध्याय और वॉट्रस ने साबित किया कि QIP भी PSPACE के बराबर है, इसका अर्थ यह है कि यह परिवर्तन प्रोटोकॉल को कोई अतिरिक्त शक्ति नहीं देता है। यह किताएव और वॉट्रस के पिछले परिणाम को समाहित करता है कि QIP EXPTIME में समाहित है क्योंकि QIP = QIP[3], इसलिए तीन से अधिक राउंड कभी भी आवश्यक नहीं होते हैं।

compIP

जबकि आईपीपी और क्यूआईपी सत्यापनकर्ता को अधिक शक्ति देते हैं, एक कॉम्पआईपी सिस्टम (प्रतिस्पर्धी आईपी प्रूफ सिस्टम) पूर्णता की स्थिति को एक तरह से कमजोर कर देता है जिससे प्रोवर कमजोर हो जाता है:

• पूर्णता: यदि कोई स्ट्रिंग एल भाषा में है, तो ईमानदार सत्यापनकर्ता कम से कम 2/3 संभावना के साथ एक ईमानदार सूचक द्वारा इस तथ्य के बारे में आश्वस्त हो जाएगा। इसके अलावा, भाषा एल के लिए दैवज्ञ तक पहुंच दिए जाने पर कहावत संभाव्य बहुपद समय में ऐसा करेगी।

अनिवार्य रूप से, यह कहावत को भाषा के लिए दैवज्ञ तक पहुंच के साथ एक बाध्य-त्रुटि संभाव्य बहुपद मशीन बनाता है, लेकिन केवल पूर्णता के मामले में, सुदृढ़ता के मामले में नहीं। अवधारणा यह है कि यदि कोई भाषा कॉम्पआईपी में है, तो अंतःक्रियात्मक रूप से इसे साबित करना कुछ अर्थों में इसे तय करने जितना आसान है। दैवज्ञ के साथ, सूचक समस्या को आसानी से हल कर सकता है, लेकिन इसकी सीमित शक्ति किसी भी चीज़ के सत्यापनकर्ता को समझाना अधिक कठिन बना देती है। वास्तव में, कंपआईपी में एनपी (जटिलता) शामिल होने की जानकारी या धारणा नहीं है।

दूसरी ओर, ऐसी प्रणाली कठिन समझी जाने वाली कुछ समस्याओं का समाधान कर सकती है। कुछ हद तक विरोधाभासी रूप से, हालांकि ऐसा माना जाता है कि ऐसी प्रणाली सभी एनपी को हल करने में सक्षम नहीं है, यह स्व-रिड्यूसिबिलिटी के कारण सभी एनपी-पूर्ण समस्याओं को आसानी से हल कर सकती है। यह इस तथ्य से उपजा है कि यदि भाषा एल एनपी-हार्ड नहीं है, तो कहावत की शक्ति काफी हद तक सीमित है (क्योंकि यह अब अपने ओरेकल के साथ सभी एनपी समस्याओं का समाधान नहीं कर सकती है)।

इसके अतिरिक्त, ग्राफ समरूपता समस्या (जो आईपी में एक शास्त्रीय समस्या है) भी कॉम्पआईपी में है, क्योंकि प्रोवर को एकमात्र कठिन ऑपरेशन आइसोमोर्फिज्म परीक्षण करना होता है, जिसे हल करने के लिए वह ओरेकल का उपयोग कर सकता है। द्विघात गैर-अवशेषता और ग्राफ समरूपता भी कॉम्पआईपी में हैं। ध्यान दें, द्विघात गैर-अवशेषता (क्यूएनआर) संभवतः ग्राफ समरूपता की तुलना में एक आसान समस्या है क्योंकि क्यूएनआर यूपी इंटरसेक्ट सह-यूपी में है।

संदर्भ

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• Shafi Goldwasser and Michael Sipser. Private coins versus public coins in interactive proof systems. Proceedings of the 18th Annual ACM Symposium on Theory of Computation. ACM, New York, 1986, pp. 59–68.
• Rahul Jain, Zhengfeng Ji, Sarvagya Upadhyay, John Watrous. QIP = PSPACE. [1]
• Lund, C., Fortnow, L., Karloff, H., Nisan, N. Algebraic methods for interactive proof systems. In Proceedings of 31st Symposium on the Foundations of Computer Science. IEEE, New York, 1990, pp. 2–90.
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• Alexander Shen. IP=PSpace: Simplified Proof. J.ACM, v. 39(4), pp. 878–880, 1992.
• Complexity Zoo: IP, MIP, IPP, QIP, QIP(2), compIP, frIP