आदिम समीकरण

आदिम समीकरण गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों का एक सेट है जिसका उपयोग वैश्विक वातावरण का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है और अधिकांश वैश्विक जलवायु मॉडल में उपयोग किया जाता है। इनमें संतुलन समीकरणों के तीन मुख्य सेट शामिल हैं:

1. एक निरंतरता समीकरण: द्रव्यमान के संरक्षण का प्रतिनिधित्व करता है।
2. संवेग का संरक्षण: नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के एक रूप से मिलकर, जो इस धारणा के तहत एक गोले की सतह पर हाइड्रोडायनामिक प्रवाह का वर्णन करता है कि ऊर्ध्वाधर गति क्षैतिज गति (हाइड्रोस्टैसिस) से बहुत छोटी है और द्रव परत की गहराई गोले की त्रिज्या की तुलना में छोटी है
3. ए ऊर्जा का संरक्षण: सिस्टम के समग्र तापमान को ताप स्रोतों और सिंक से संबंधित करना

लाप्लास के ज्वारीय समीकरण प्राप्त करने के लिए आदिम समीकरणों को रैखिककृत किया जा सकता है, एक स्वदेशी समस्या जिससे प्रवाह की अक्षांशीय संरचना का विश्लेषणात्मक समाधान निर्धारित किया जा सकता है।

सामान्य तौर पर, आदिम समीकरणों के लगभग सभी रूप पांच चर यू, वी, ω, टी, डब्ल्यू और अंतरिक्ष और समय पर उनके विकास से संबंधित होते हैं।

समीकरण सबसे पहले विल्हेम बर्कनेस द्वारा लिखे गए थे।

परिभाषाएँ

• $u$आंचलिक और मध्याह्न वेग है (गोले के स्पर्शरेखा पूर्व-पश्चिम दिशा में वेग)
• $v$मेरिडियनल वेग है (गोले के स्पर्शरेखा उत्तर-दक्षिण दिशा में वेग)
• $\omega$आइसोबैरिक निर्देशांक में ऊर्ध्वाधर वेग है
• $T$तापमान है
• $\Phi$भू-क्षमता है
• $f$कोरिओलिस बल के अनुरूप शब्द है, और इसके बराबर है $2\Omega \sin(\phi )$, कहाँ $\Omega$ पृथ्वी की कोणीय घूर्णन दर है ($2\pi /24$ रेडियन प्रति नाक्षत्र घंटा), और $\phi$ अक्षांश है
• $R$गैस स्थिरांक है
• $p$दबाव है
• $\rho$घनत्व है
• $c_{p}$स्थिर दबाव वाली सतह पर विशिष्ट ऊष्मा है
• $J$प्रति इकाई द्रव्यमान प्रति इकाई समय ऊष्मा प्रवाह है
• $W$अवक्षेपणीय जल है
• $\Pi$एक्सनर फ़ंक्शन है
• $\theta$संभावित तापमान है
• $\eta$ पूर्ण भंवर है

वे बल जो वायुमंडलीय गति का कारण बनते हैं

वायुमंडलीय गति का कारण बनने वाले बलों में दबाव प्रवणता बल, गुरुत्वाकर्षण और चिपचिपा घर्षण शामिल हैं। साथ मिलकर, वे ऐसी ताकतों का निर्माण करते हैं जो हमारे वातावरण को गति प्रदान करती हैं।

दबाव प्रवणता बल एक त्वरण का कारण बनता है जो हवा को उच्च दबाव वाले क्षेत्रों से कम दबाव वाले क्षेत्रों की ओर मजबूर करता है। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

${\frac {f}{m}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dx}}.$

गुरुत्वाकर्षण बल वस्तुओं को लगभग 9.8 m/s की गति से गति देता है²सीधे पृथ्वी के केंद्र की ओर।

श्यान घर्षण के कारण लगने वाले बल का अनुमान इस प्रकार लगाया जा सकता है:

$f_{r}={f \over a}{1 \over \rho }\mu \left(\nabla \cdot (\mu \nabla v)+\nabla (\lambda \nabla \cdot v)\right).$

न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, इन बलों (उपरोक्त समीकरणों में इन बलों के कारण त्वरण के रूप में संदर्भित) को गति के एक समीकरण का निर्माण करने के लिए सारांशित किया जा सकता है जो इस प्रणाली का वर्णन करता है। इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

${\frac {dv}{dt}}=-({\frac {1}{\rho }})\nabla p-g({\frac {r}{r}})+f_{r}$

$g=g_{e}.\,$

इसलिए, समीकरणों की प्रणाली को पूरा करने और 6 समीकरण और 6 चर प्राप्त करने के लिए:

• ${\frac {dv}{dt}}=-({\frac {1}{\rho }})\nabla p-g({\frac {r}{r}})+({\frac {1}{\rho }})\left[\nabla \cdot (\mu \nabla v)+\nabla (\lambda \nabla \cdot v)\right]$
• $c_{v}{\frac {dT}{dt}}+p{\frac {d\alpha }{dt}}=q+f$
• ${\frac {d\rho }{dt}}+\rho \nabla \cdot v=0$
• $p=nT.$

जहां n mol में संख्या घनत्व है, और T:=RT जूल/mol में तापमान समतुल्य मान है।

आदिम समीकरणों के रूप

आदिम समीकरणों का सटीक रूप चुनी गई ऊर्ध्वाधर समन्वय प्रणाली पर निर्भर करता है, जैसे दबाव निर्देशांक, लॉग दबाव निर्देशांक, या सिग्मा निर्देशांक। इसके अलावा, रेनॉल्ड्स अपघटन का उपयोग करके वेग, तापमान और भू-संभावित चर को माध्य और गड़बड़ी घटकों में विघटित किया जा सकता है।

ऊर्ध्वाधर, कार्तीय स्पर्शरेखीय तल में दबाव निर्देशांक

इस रूप में दबाव को ऊर्ध्वाधर निर्देशांक के रूप में चुना जाता है और क्षैतिज निर्देशांक कार्टेशियन स्पर्शरेखा विमान (यानी पृथ्वी की सतह पर किसी बिंदु पर स्पर्शरेखा वाला विमान) के लिए लिखे जाते हैं। यह रूप पृथ्वी की वक्रता को ध्यान में नहीं रखता है, लेकिन इसकी सापेक्ष सादगी के कारण समीकरण तैयार करने में शामिल कुछ भौतिक प्रक्रियाओं को देखने के लिए उपयोगी है।

ध्यान दें कि पूंजी डी सामग्री व्युत्पन्न भौतिक डेरिवेटिव हैं। पाँच अज्ञात में पाँच समीकरण प्रणाली का निर्माण करते हैं।

• अदृश्य प्रवाह (घर्षण रहित) गति समीकरण:

${\frac {Du}{Dt}}-fv=-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}$

${\frac {Dv}{Dt}}+fu=-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}$

• हाइड्रोस्टैटिक दबाव, ऊर्ध्वाधर गति समीकरण का एक विशेष मामला जिसमें ऊर्ध्वाधर त्वरण को नगण्य माना जाता है:

$0=-{\frac {\partial \Phi }{\partial p}}-{\frac {RT}{p}}$

• निरंतरता समीकरण, हाइड्रोस्टैटिक सन्निकटन के तहत क्षैतिज विचलन/अभिसरण को ऊर्ध्वाधर गति से जोड़ता है ($dp=-\rho \,d\Phi$):

${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial \omega }{\partial p}}=0$

• और थर्मोडायनामिक ऊर्जा समीकरण, थर्मोडायनामिक्स के पहले नियम का परिणाम है

${\frac {\partial T}{\partial t}}+u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+\omega \left({\frac {\partial T}{\partial p}}-{\frac {RT}{pc_{p}}}\right)={\frac {J}{c_{p}}}$

जब जल वाष्प पदार्थ के संरक्षण का एक बयान शामिल किया जाता है, तो ये छह समीकरण किसी भी संख्यात्मक मौसम भविष्यवाणी योजना का आधार बनते हैं।

सिग्मा समन्वय प्रणाली का उपयोग करते हुए आदिम समीकरण, ध्रुवीय त्रिविम प्रक्षेपण

राष्ट्रीय मौसम सेवा हैंडबुक नंबर 1 - प्रतिकृति उत्पाद के अनुसार, आदिम समीकरणों को निम्नलिखित समीकरणों में सरल बनाया जा सकता है:

• आंचलिक पवन:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\eta v-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}-c_{p}\theta {\frac {\partial \pi }{\partial x}}-z{\frac {\partial u}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial ({\frac {u^{2}+v^{2}}{2}})}{\partial x}}$

• मध्यम पवन:

${\frac {\partial v}{\partial t}}=-\eta {\frac {u}{v}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}-c_{p}\theta {\frac {\partial \pi }{\partial y}}-z{\frac {\partial v}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial ({\frac {u^{2}+v^{2}}{2}})}{\partial y}}$

• तापमान:

${\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial T}{\partial t}}+u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+w{\frac {\partial T}{\partial z}}$

पहला पद आने वाले सौर विकिरण और बाहर जाने वाले दीर्घतरंग विकिरण के कारण तापमान में परिवर्तन के बराबर है, जो पूरे दिन समय के साथ बदलता रहता है। दूसरा, तीसरा और चौथा पद संवहन के कारण हैं। इसके अतिरिक्त, सबस्क्रिप्ट के साथ वेरिएबल टी उस विमान पर तापमान में परिवर्तन है। प्रत्येक T वास्तव में भिन्न है और अपने संबंधित तल से संबंधित है। दूरी में परिवर्तन के साथ तापमान में परिवर्तन प्राप्त करने के लिए इसे ग्रिड बिंदुओं के बीच की दूरी से विभाजित किया जाता है। जब उस तल पर हवा के वेग से गुणा किया जाता है, तो इकाइयाँ केल्विन प्रति मीटर और मीटर प्रति सेकंड केल्विन प्रति सेकंड देती हैं। x, y और z दिशाओं में गति के कारण तापमान में होने वाले सभी परिवर्तनों का योग समय के साथ तापमान में कुल परिवर्तन देता है।

• अवक्षेपित जल:

${\frac {\delta W}{\partial t}}=u{\frac {\partial W}{\partial x}}+v{\frac {\partial W}{\partial y}}+w{\frac {\partial W}{\partial z}}$

यह समीकरण और अंकन लगभग तापमान समीकरण की तरह ही काम करता है। यह समीकरण रूप बदलने वाले पानी को ध्यान में रखे बिना एक बिंदु पर एक स्थान से दूसरे स्थान तक पानी की गति का वर्णन करता है। किसी दिए गए सिस्टम के अंदर, समय के साथ पानी में कुल परिवर्तन शून्य है। हालाँकि, सांद्रता को हवा के साथ बढ़ने की अनुमति है।

• दबाव मोटाई:

${\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}=u{\frac {\partial }{\partial x}}x{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+v{\frac {\partial }{\partial y}}y{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+w{\frac {\partial }{\partial z}}z{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}$

इन सरलीकरणों से यह समझना बहुत आसान हो जाता है कि मॉडल में क्या हो रहा है। तापमान (संभावित तापमान), अवक्षेपण योग्य पानी और एक हद तक दबाव की मोटाई जैसी चीजें हवा के साथ ग्रिड पर एक स्थान से दूसरे स्थान पर चली जाती हैं। हवा का पूर्वानुमान थोड़ा अलग है। यह भू-क्षमता, विशिष्ट ऊष्मा, एक्सनर फ़ंक्शन π और सिग्मा समन्वय में परिवर्तन का उपयोग करता है।

रेखीयीकृत आदिम समीकरणों का समाधान

रेखीयकृत आदिम समीकरणों के विश्लेषणात्मक समाधान में समय और देशांतर में एक साइनसॉइडल दोलन शामिल होता है, जो ऊंचाई और अक्षांश से संबंधित गुणांक द्वारा संशोधित होता है।

${\begin{Bmatrix}u,v,\Phi \end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\hat {u}},{\hat {v}},{\hat {\Phi }}\end{Bmatrix}}e^{i(s\lambda +\sigma t)}$

कहाँ है और $\sigma$ क्रमशः आंचलिक तरंगसंख्या और कोणीय आवृत्ति हैं। समाधान वायुमंडलीय तरंगों और ज्वार का प्रतिनिधित्व करता है।

जब गुणांकों को उनकी ऊंचाई और अक्षांश घटकों में विभाजित किया जाता है, तो ऊंचाई निर्भरता प्रसार या अपवर्तक तरंगों (स्थितियों के आधार पर) का रूप ले लेती है, जबकि अक्षांश निर्भरता हफ़ फ़ंक्शन द्वारा दी जाती है।

यह विश्लेषणात्मक समाधान तभी संभव है जब आदिम समीकरणों को रैखिक और सरल बनाया जाए। दुर्भाग्य से इनमें से कई सरलीकरण (अर्थात कोई अपव्यय नहीं, इज़ोटेर्मल वातावरण) वास्तविक वातावरण की स्थितियों के अनुरूप नहीं हैं। परिणामस्वरूप, एक संख्यात्मक समाधान जो इन कारकों को ध्यान में रखता है, अक्सर सामान्य परिसंचरण मॉडल और जलवायु मॉडल का उपयोग करके गणना की जाती है।

यह भी देखें

• बैरोमीटर का सूत्र
• जलवायु मॉडल
• यूलर समीकरण
• द्रव गतिविज्ञान
• सामान्य परिसंचरण मॉडल
• संख्यात्मक मौसम भविष्यवाणी

संदर्भ

• Beniston, Martin. From Turbulence to Climate: Numerical Investigations of the Atmosphere with a Hierarchy of Models. Berlin: Springer, 1998. ISBN 3-540-63495-9
• Firth, Robert. Mesoscale and Microscale Meteorological Model Grid Construction and Accuracy. LSMSA, 2006.
• Thompson, Philip. Numerical Weather Analysis and Prediction. New York: The Macmillan Company, 1961.
• Pielke, Roger A. Mesoscale Meteorological Modeling. Orlando: Academic Press, Inc., 1984. ISBN 0-12-554820-6
• U.S. Department of Commerce, National Oceanic and Atmospheric Administration, National Weather Service. National Weather Service Handbook No. 1 – Facsimile Products. Washington, DC: Department of Commerce, 1979.

बाहरी संबंध

National Weather Service – NCSU Collaborative Research and Training Site, Review of the Primitive Equations.