ट्रंकेशन त्रुटि (संख्यात्मक एकीकरण)

संख्यात्मक एकीकरण में ट्रंकेशन त्रुटियाँ दो प्रकार की होती हैं:

• स्थानीय काट-छाँट त्रुटियाँ - एक पुनरावृत्ति के कारण होने वाली त्रुटि, और
• वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटियां - कई पुनरावृत्तियों के कारण होने वाली संचयी त्रुटि।

परिभाषाएँ

मान लीजिए हमारे पास एक सतत अवकल समीकरण है

$y'=f(t,y),\qquad y(t_{0})=y_{0},\qquad t\geq t_{0}$

और हम एक अनुमान की गणना करना चाहते हैं $y_{n}$ सच्चे समाधान का $y(t_{n})$ अलग-अलग समय चरणों में $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{N}$. सरलता के लिए, मान लें कि समय चरण समान दूरी पर हैं:

$h=t_{n}-t_{n-1},\qquad n=1,2,\ldots ,N.$

मान लीजिए हम अनुक्रम की गणना करते हैं $y_{n}$ फॉर्म की एक-चरणीय विधि के साथ

$y_{n}=y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f).$

कार्यक्रम $A$ इसे वृद्धि फ़ंक्शन कहा जाता है, और इसकी व्याख्या ढलान के अनुमान के रूप में की जा सकती है ${\frac {y(t_{n})-y(t_{n-1})}{h}}$.

स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि

स्थानीय काट-छाँट त्रुटि $\tau _{n}$ यह त्रुटि है कि हमारा वेतन वृद्धि फ़ंक्शन, $A$, एक ही पुनरावृत्ति के दौरान कारण, पिछले पुनरावृत्ति में सही समाधान का सही ज्ञान मानते हुए।

अधिक औपचारिक रूप से, स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि, $\tau _{n}$, कदम पर $n$ वेतन वृद्धि के समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष के बीच के अंतर से गणना की जाती है $y_{n}\approx y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f)$:

$\tau _{n}=y(t_{n})-y(t_{n-1})-hA(t_{n-1},y(t_{n-1}),h,f).$

यदि स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि है तो संख्यात्मक विधि सुसंगत है $o(h)$ (इसका मतलब है कि हर किसी के लिए $\varepsilon >0$ वहाँ एक मौजूद है $H$ ऐसा है कि $|\tau _{n}|<\varepsilon h$ सभी के लिए $h<H$; लिटिल-ओ संकेतन देखें)। यदि वृद्धि समारोह $A$ सतत है, तो विधि सुसंगत है यदि, और केवल यदि, $A(t,y,0,f)=f(t,y)$. इसके अलावा, हम कहते हैं कि संख्यात्मक विधि में क्रम होता है $p$यदि प्रारंभिक मूल्य समस्या के किसी भी पर्याप्त सुचारू समाधान के लिए, स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि है $O(h^{p+1})$ (इसका मतलब है कि स्थिरांक मौजूद हैं $C$ और $H$ ऐसा है कि $|\tau _{n}|<Ch^{p+1}$ सभी के लिए $h<H$).

ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटि

वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि सभी पुनरावृत्तियों पर स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि का संचय है, जो प्रारंभिक समय चरण में सही समाधान का सही ज्ञान मानती है।

अधिक औपचारिक रूप से, वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि, $e_{n}$, समय पर $t_{n}$ द्वारा परिभाषित किया गया है:

${\begin{aligned}e_{n}&=y(t_{n})-y_{n}\\&=y(t_{n})-{\Big (}y_{0}+hA(t_{0},y_{0},h,f)+hA(t_{1},y_{1},h,f)+\cdots +hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f){\Big )}.\end{aligned}}$

यदि चरण आकार शून्य हो जाता है तो वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि शून्य हो जाती है तो संख्यात्मक विधि अभिसरण होती है; दूसरे शब्दों में, संख्यात्मक समाधान सटीक समाधान में परिवर्तित हो जाता है: $\lim _{h\to 0}\max _{n}|e_{n}|=0$.

स्थानीय और वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटियों के बीच संबंध

कभी-कभी वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि पर ऊपरी सीमा की गणना करना संभव है, अगर हम पहले से ही स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि जानते हैं। इसके लिए आवश्यक है कि हमारा वेतन वृद्धि कार्य पर्याप्त रूप से अच्छा हो।

वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करती है:

$e_{n+1}=e_{n}+h{\Big (}A(t_{n},y(t_{n}),h,f)-A(t_{n},y_{n},h,f){\Big )}+\tau _{n+1}.$

यह परिभाषाओं से तुरंत अनुसरण करता है। अब मान लें कि वृद्धि फ़ंक्शन दूसरे तर्क में लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है, अर्थात, एक स्थिरांक मौजूद है $L$ ऐसा कि सभी के लिए $t$ और $y_{1}$ और $y_{2}$, अपने पास:

$|A(t,y_{1},h,f)-A(t,y_{2},h,f)|\leq L|y_{1}-y_{2}|.$

तब वैश्विक त्रुटि बाध्यता को संतुष्ट करती है

$|e_{n}|\leq {\frac {\max _{j}\tau _{j}}{hL}}\left(\mathrm {e} ^{L(t_{n}-t_{0})}-1\right).$

वैश्विक त्रुटि के लिए उपरोक्त सीमा से यह पता चलता है कि यदि function $f$ अंतर समीकरण में पहले तर्क में निरंतर है और लिप्सचिट्ज़ दूसरे तर्क में निरंतर है (पिकार्ड-लिंडेलोफ़ प्रमेय से स्थिति), और वृद्धि फ़ंक्शन $A$ सभी तर्कों में निरंतर है और लिप्सचिट्ज़ दूसरे तर्क में निरंतर है, तो चरण आकार के रूप में वैश्विक त्रुटि शून्य हो जाती है $h$ शून्य तक पहुंचता है (दूसरे शब्दों में, संख्यात्मक विधि सटीक समाधान में परिवर्तित हो जाती है)।

रैखिक मल्टीस्टेप विधियों का विस्तार

अब सूत्र द्वारा दी गई एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि पर विचार करें

${\begin{aligned}&y_{n+s}+a_{s-1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}y_{n}\\&\qquad {}=h{\bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){\bigr )},\end{aligned}}$

इस प्रकार, संख्यात्मक समाधान के लिए अगले मान की गणना इसके अनुसार की जाती है

$y_{n+s}=-\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y_{n+k}+h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y_{n+k}).$

एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि का अगला पुनरावृत्त पिछले चरण पर निर्भर करता है। इस प्रकार, स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि की परिभाषा में, अब यह माना जाता है कि पिछले सभी पुनरावृत्त सटीक समाधान के अनुरूप हैं:

$\tau _{n}=y(t_{n+s})+\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y(t_{n+k})-h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y(t_{n+k})).$

पुनः, विधि सुसंगत है यदि $\tau _{n}=o(h)$ और इसमें ऑर्डर पी है यदि $\tau _{n}=O(h^{p+1})$. वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि की परिभाषा भी अपरिवर्तित है।

स्थानीय और वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटियों के बीच का संबंध एक-चरणीय विधियों की सरल सेटिंग से थोड़ा अलग है। रैखिक मल्टीस्टेप विधियों के लिए, स्थानीय और वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटियों के बीच संबंध को समझाने के लिए शून्य-स्थिरता नामक एक अतिरिक्त अवधारणा की आवश्यकता होती है। शून्य-स्थिरता की स्थिति को पूरा करने वाली रैखिक मल्टीस्टेप विधियाँ स्थानीय और वैश्विक त्रुटियों के बीच एक-चरणीय विधियों के समान संबंध रखती हैं। दूसरे शब्दों में, यदि एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि शून्य-स्थिर और सुसंगत है, तो यह अभिसरण करती है। और यदि एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि शून्य-स्थिर है और इसमें स्थानीय त्रुटि है $\tau _{n}=O(h^{p+1})$, तो इसकी वैश्विक त्रुटि संतुष्ट होती है $e_{n}=O(h^{p})$.

यह भी देखें

• सटीकता का क्रम
• संख्यात्मक एकीकरण
• संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरण
• काट-छाँट त्रुटि

संदर्भ

• Iserles, Arieh (1996), A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55655-2.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003), An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0521007941.

बाहरी संबंध

• Notes on truncation errors and Runge-Kutta methods
• Truncation error of Euler's method