डेलानॉय नंबर

डेलानॉय नंबर

Named after	Henri–Auguste Delannoy
No. of known terms	infinity
Formula	$D(m,n)=\sum _{k=0}^{\min(m,n)}{\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}}2^{k}$
OEIS index	A008288 Square array of Delannoy

गणित में, एक डेलानॉय संख्या $D$ एक आयताकार ग्रिड के दक्षिण-पश्चिम कोण (0, 0) से उत्तर-पूर्व कोण (m, n)) तक पथों की संख्या का वर्णन करता है, जिसमें उत्तर, उत्तर-पूर्व या पूर्व में केवल एक ही चरण का उपयोग किया जाता है। डेलानॉय नंबरों का नाम फ्रांसीसी सेना अधिकारी और अनुभवहीन गणितज्ञ हेनरी डेलानॉय के नाम पर रखा गया है।

डेलानॉय नंबर $D(m,n)$ लंबाई के दो अनुक्रमों के वैश्विक संरेखण की संख्या भी गिनता है $m$ और $n$, एम-आयामी पूर्णांक जाली या क्रॉस पॉलीटोप में बिंदुओं की संख्या जो मूल से अधिकतम n चरण पर होते हैं, और, सेलुलर ऑटोमेटन में, त्रिज्या n के एम-आयामी वॉन न्यूमैन प्रतिवैस में कोशिकाओं की संख्या जबकि त्रिज्या n के एम-आयामी वॉन न्यूमैन प्रतिवैस की सतह पर कोशिकाओं की संख्या दी गई है (sequence A266213 in the OEIS)

उदाहरण

डेलानॉय संख्या डी(3,3) 63 के बराबर है। निम्नलिखित आंकड़ा (0, 0) से (3, 3) तक 63 डेलानॉय पथ दिखाता है:

पथों का उपसमुच्चय जो SW-NE विकर्ण से ऊपर नहीं उठता, उसे संख्याओं के संबंधित परिवार, श्रोडर संख्याओं द्वारा गिना जाता है।

डेलनॉय सरणी

डेलानॉय सरणी डेलानॉय संख्याओं का एक अनंत मैट्रिक्स है:

m n	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	3	5	7	9	11	13	15	17
2	1	5	13	25	41	61	85	113	145
3	1	7	25	63	129	231	377	575	833
4	1	9	41	129	321	681	1289	2241	3649
5	1	11	61	231	681	1683	3653	7183	13073
6	1	13	85	377	1289	3653	8989	19825	40081
7	1	15	113	575	2241	7183	19825	48639	108545
8	1	17	145	833	3649	13073	40081	108545	265729
9	1	19	181	1159	5641	22363	75517	224143	598417

इस सरणी में, पहली पंक्ति की सभी संख्याएँ एक हैं, दूसरी पंक्ति की संख्याएँ विषम संख्याएँ हैं, तीसरी पंक्ति की संख्याएँ केन्द्रित वर्ग संख्याएँ हैं, और चौथी पंक्ति की संख्याएँ केन्द्रित अष्टफलकीय संख्याएँ हैं। वैकल्पिक रूप से, समान संख्याओं को पास्कल त्रिकोण के सदृश एक त्रिकोणीय सरणी में व्यवस्थित किया जा सकता है, जिसे ट्राइबोनाची त्रिकोण भी कहा जाता है, जिसमें प्रत्येक संख्या अपने से ऊपर की तीन संख्याओं का योग है:

            1
          11
        1 3 1
      1 5 5 1
    1 7 13 7 1
  1 9 25 25 9 1
1 11 41 63 41 11 1

सेंट्रल डेलानॉय संख्या

केंद्रीय डेलानॉय संख्याएँ D(n) = D(n,n) एक वर्ग n × n की संख्याएँ हैं जाल। पहले कुछ केंद्रीय डेलानॉय नंबर (n=0 से शुरू) हैं:

1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, 265729, ... (sequence A001850 in the OEIS).

गणना

डेलनॉय संख्या

के लिए $k$ विकर्ण (अर्थात् उत्तर-पूर्व) सीढ़ियाँ अवश्य होनी चाहिए $m-k$ में कदम $x$ दिशा और $n-k$ में कदम $y$ बिंदु तक पहुँचने के लिए दिशा $(m,n)$; चूँकि ये चरण किसी भी क्रम में किए जा सकते हैं, ऐसे पथों की संख्या बहुपद गुणांक द्वारा दी गई है ${\binom {m+n-k}{k,m-k,n-k}}={\binom {m+n-k}{m}}{\binom {m}{k}}$. इसलिए, किसी को बंद-रूप अभिव्यक्ति मिलती है

$D(m,n)=\sum _{k=0}^{\min(m,n)}{\binom {m+n-k}{m}}{\binom {m}{k}}.$

एक वैकल्पिक अभिव्यक्ति दी गई है

$D(m,n)=\sum _{k=0}^{\min(m,n)}{\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}}2^{k}$

या अनंत श्रृंखला द्वारा

$D(m,n)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k+1}}}{\binom {k}{n}}{\binom {k}{m}}.$

और भी

$D(m,n)=\sum _{k=0}^{n}A(m,k),$

कहाँ $A(m,k)$ के साथ दिया गया है (sequence A266213 in the OEIS).

डेलानॉय संख्याओं के लिए मूल पुनरावृत्ति संबंध आसानी से देखा जा सकता है

$D(m,n)={\begin{cases}1&{\text{if }}m=0{\text{ or }}n=0\\D(m-1,n)+D(m-1,n-1)+D(m,n-1)&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

यह पुनरावृत्ति संबंध सीधे जनरेटिंग फ़ंक्शन की ओर भी ले जाता है

$\sum _{m,n=0}^{\infty }D(m,n)x^{m}y^{n}=(1-x-y-xy)^{-1}.$

सेंट्रल डेलानॉय संख्या

स्थानापन्न $m=n$ ऊपर दिए गए पहले बंद फॉर्म अभिव्यक्ति में, प्रतिस्थापित करना $k\leftrightarrow n-k$, और थोड़ा बीजगणित, देता है

$D(n)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}},$

जबकि उपरोक्त दूसरी अभिव्यक्ति उत्पन्न होती है

$D(n)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}2^{k}.$

केंद्रीय डेलानॉय संख्याएं आपस में तीन-अवधि के पुनरावृत्ति संबंध को भी संतुष्ट करती हैं,

$nD(n)=3(2n-1)D(n-1)-(n-1)D(n-2),$

और एक जनरेटिंग फ़ंक्शन है

$\sum _{n=0}^{\infty }D(n)x^{n}=(1-6x+x^{2})^{-1/2}.$

केंद्रीय डेलानॉय संख्याओं का प्रमुख स्पर्शोन्मुख व्यवहार दिया गया है

$D(n)={\frac {c\,\alpha ^{n}}{\sqrt {n}}}\,(1+O(n^{-1}))$

कहाँ

$\alpha =3+2{\sqrt {2}}\approx 5.828$

और

$c=(4\pi (3{\sqrt {2}}-4))^{-1/2}\approx 0.5727$.

यह भी देखें

• मोत्ज़किन संख्या
• नारायण संख्या

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Delannoy Number". MathWorld.