वीनर श्रृंखला

गणित में, वीनर श्रृंखला, या वीनर जी-फ़ंक्शनल विस्तार, नॉर्बर्ट वीनर की 1958 की पुस्तक से उत्पन्न हुआ है। यह गैर-रेखीय कार्यात्मक (गणित) के लिए ऑर्थोगोनल विस्तार है जो वोल्टेरा श्रृंखला से निकटता से संबंधित है और इसका ऑर्थोगोनल हर्माइट बहुपद विस्तार के समान संबंध है जो शक्ति श्रृंखला से संबंधित है। इस कारण इसे वीनर-हर्माइट विस्तार के रूप में भी जाना जाता है। गुणांकों के एनालॉग को वीनर कर्नेल कहा जाता है। श्वेत ध्वनि के सांख्यिकीय इनपुट के संबंध में श्रृंखला की शर्तें ऑर्थोगोनल (असंबद्ध) हैं। यह संपत्ति ली-शेटज़ेन विधि द्वारा अनुप्रयोगों में शर्तों को पहचानने की अनुमति देती है।

सिस्टम पहचान में वीनर श्रृंखला महत्वपूर्ण है। इस संदर्भ में, श्रृंखला किसी भी समय सिस्टम इनपुट के संपूर्ण इतिहास के साथ आउटपुट के कार्यात्मक संबंध का अनुमान लगाती है। वीनर श्रृंखला को अधिकतर जैविक प्रणालियों की पहचान के लिए प्रयुक्त किया गया है, विशेषकर तंत्रिका विज्ञान में।

वीनर श्रृंखला का नाम लगभग विशेष रूप से सिस्टम सिद्धांत में उपयोग किया जाता है। गणितीय साहित्य में यह इटो विस्तार (1951) के रूप में होता है जिसका अलग रूप है किन्तु यह पूरी तरह से इसके समकक्ष है।

वीनर श्रृंखला को विनीज़ फ़िल्टर के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो सिग्नल प्रोसेसिंग में उपयोग किए जाने वाले नॉर्बर्ट वीनर द्वारा विकसित और एल्गोरिदम है।

वीनर जी-कार्यात्मक अभिव्यक्ति

इनपुट/आउटपुट जोड़ी वाला सिस्टम दिया गया है $(x(t),y(t))$ जहां इनपुट शून्य माध्य मान और पावर ए के साथ सफेद ध्वनि है, हम सिस्टम के आउटपुट को वीनर जी-फ़ंक्शनल की श्रृंखला के योग के रूप में लिख सकते हैं $y(n)=\sum _{p}(G_{p}x)(n)$ निम्नलिखित में पांचवें क्रम तक जी-फंक्शनल के भाव दिए जाएंगे:

$(G_{0}x)(n)=k_{0}=E\left\{y(n)\right\};$

$(G_{1}x)(n)=\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{1}-1}k_{1}(\tau _{1})x(n-\tau _{1});$

$(G_{2}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{2})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})-A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{1});$

$(G_{3}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})-3A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{3}-1}\sum _{\tau _{2}=0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2})x(n-\tau _{1});$

${\begin{aligned}(G_{4}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{4}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})+{}\\[6pt]&{}-6A\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}\sum _{\tau _{3}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})+3A^{2}\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2});\end{aligned}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G_{5}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{5}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{5})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})x(n-\tau _{5})+{}\\[6pt]&{}-10A\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{4}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\t$

यह भी देखें

• वोल्टेरा श्रृंखला
• सिस्टम पहचान
• स्पाइक-ट्रिगर औसत

संदर्भ

• Wiener, Norbert (1958). Nonlinear Problems in Random Theory. Wiley and MIT Press.
• Lee and Schetzen; Schetzen‡, M. (1965). "Measurement of the Wiener kernels of a non-linear system by cross-correlation". International Journal of Control. First. 2 (3): 237–254. doi:10.1080/00207176508905543.
• Itô K "A multiple Wiener integral" J. Math. Soc. Jpn. 3 1951 157–169
• Marmarelis, P.Z.; Naka, K. (1972). "White-noise analysis of a neuron chain: an application of the Wiener theory". Science. 175 (4027): 1276–1278. doi:10.1126/science.175.4027.1276. PMID 5061252.
• Schetzen, Martin (1980). The Volterra and Wiener Theories of Nonlinear Systems. John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-04455-0.
• Marmarelis, P.Z. (1991). "Wiener Analysis of Nonlinear Feedback". Sensory Systems Annals of Biomedical Engineering. 19 (4): 345–382. doi:10.1007/BF02584316.
• Franz, M; Schölkopf, B. (2006). "A unifying view of Wiener and Volterra theory and polynomial kernel regression". Neural Computation. 18 (12): 3097–3118. doi:10.1162/neco.2006.18.12.3097.
• L.A. Zadeh On the representation of nonlinear operators. IRE Westcon Conv. Record pt.2 1957 105-113.