सदिशीकरण (गणित)

For other uses, see Vectorization.

गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित और मैट्रिक्स (गणित) में, मैट्रिक्स (गणित) का सदिशीकरण एक रैखिक परिवर्तन है जो मैट्रिक्स को एक वेक्टर (गणित और भौतिकी) में परिवर्तित करता है। विशेष रूप से, ए का वैश्वीकरण m × n मैट्रिक्स A, जिसे vec(A) दर्शाया गया है, है mn × 1 मैट्रिक्स ए के कॉलमों को एक दूसरे के ऊपर रखकर प्राप्त कॉलम वेक्टर:

$$\operatorname {vec} (A)=[a_{1,1},\ldots ,a_{m,1},a_{1,2},\ldots ,a_{m,2},\ldots ,a_{1,n},\ldots ,a_{m,n}]^{\mathrm {T} }$$

यहाँ, $a_{i,j}$ A, और सुपरस्क्रिप्ट की i-वीं पंक्ति और j-वें कॉलम में तत्व का प्रतिनिधित्व करता है ${}^{\mathrm {T} }$ स्थानान्तरण को दर्शाता है। वेक्टरीकरण, निर्देशांक के माध्यम से, समरूपता को व्यक्त करता है $\mathbf {R} ^{m\times n}:=\mathbf {R} ^{m}\otimes \mathbf {R} ^{n}\cong \mathbf {R} ^{mn}$ इनके बीच (अर्थात आव्यूहों और सदिशों के) सदिश स्थानों के रूप में।

उदाहरण के लिए, 2×2 मैट्रिक्स के लिए $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$, वैश्वीकरण है $\operatorname {vec} (A)={\begin{bmatrix}a\\c\\b\\d\end{bmatrix}}$.

सदिशकृत जोड़ का चित्रण वीडियो

ए के सदिशीकरण और उसके स्थानान्तरण के सदिशीकरण के बीच संबंध रूपान्तरण मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है।

क्रोनकर उत्पादों के साथ संगतता

मैट्रिक्स गुणन को मैट्रिक्स पर रैखिक परिवर्तन के रूप में व्यक्त करने के लिए क्रोनेकर उत्पाद के साथ वेक्टरीकरण का अक्सर उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से,

$$\operatorname {vec} (ABC)=(C^{\mathrm {T} }\otimes A)\operatorname {vec} (B)$$

आयाम k×l, l×m, और m×n के आव्यूह A, B, और C के लिए। उदाहरण के लिए, यदि $\operatorname {ad} _{A}(X)=AX-XA$ (ली बीजगणित का आसन्न एंडोमोर्फिज्म gl(n, C)संमिश्र संख्या प्रविष्टियों वाले सभी n×n आव्यूहों का), फिर $\operatorname {vec} (\operatorname {ad} _{A}(X))=(I_{n}\otimes A-A^{\mathrm {T} }\otimes I_{n}){\text{vec}}(X)$, कहाँ $I_{n}$ n×n पहचान मैट्रिक्स है।

दो अन्य उपयोगी सूत्रीकरण हैं:

$${\begin{aligned}\operatorname {vec} (ABC)&=(I_{n}\otimes AB)\operatorname {vec} (C)=(C^{\mathrm {T} }B^{\mathrm {T} }\otimes I_{k})\operatorname {vec} (A)\\\operatorname {vec} (AB)&=(I_{m}\otimes A)\operatorname {vec} (B)=(B^{\mathrm {T} }\otimes I_{k})\operatorname {vec} (A)\end{aligned}}$$

अधिक आम तौर पर, यह दिखाया गया है कि वेक्टराइजेशन किसी भी श्रेणी के मैट्रिक्स की मोनोइडल बंद संरचना में एक सहायक कारक|स्व-एडजंक्शन है।

हैडामर्ड उत्पादों के साथ संगतता

सदिशीकरण के स्थान से एक बीजगणित समरूपता है n × n हैडामर्ड उत्पाद के साथ मैट्रिक्स (मैट्रिसेस) (एंट्रीवाइज) उत्पाद से सी तकⁿ² अपने Hadamard उत्पाद के साथ:

$$\operatorname {vec} (A\circ B)=\operatorname {vec} (A)\circ \operatorname {vec} (B).$$

आंतरिक उत्पादों के साथ संगतता

वेक्टराइजेशन मैट्रिक्स मानदंड#फ्रोबेनियस मानदंड (या हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटर|हिल्बर्ट-श्मिट) आंतरिक उत्पाद के साथ n×n मैट्रिक्स के स्थान से 'सी' तक एक एकात्मक परिवर्तन है।ⁿ²:

$$\operatorname {tr} (A^{\dagger }B)=\operatorname {vec} (A)^{\dagger }\operatorname {vec} (B),$$

जहां सुपरस्क्रिप्ट ^†संयुग्म स्थानान्तरण को दर्शाता है।

एक रैखिक योग के रूप में सदिशीकरण

मैट्रिक्स वैश्वीकरण ऑपरेशन को एक रैखिक योग के रूप में लिखा जा सकता है। माना कि X एक है m × n मैट्रिक्स जिसे हम वेक्टराइज़ करना चाहते हैं, और ई दें_i एन-डायमेंशनल स्पेस के लिए आई-वें कैनोनिकल बेस वेक्टर बनें, यानी ${\textstyle \mathbf {e} _{i}=\left[0,\dots ,0,1,0,\dots ,0\right]^{\mathrm {T} }}$. चलो बी_i एक हो (mn) × m ब्लॉक मैट्रिक्स को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\mathbf {B} _{i}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\\vdots \\\mathbf {0} \\\mathbf {I} _{m}\\\mathbf {0} \\\vdots \\\mathbf {0} \end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {I} _{m}$$

बी_i आकार के n ब्लॉक मैट्रिक्स से मिलकर बनता है m × m, कॉलम-वार स्टैक्ड, और ये सभी मैट्रिक्स आई-वें को छोड़कर सभी-शून्य हैं, जो एक है m × m पहचान मैट्रिक्स I_m.

फिर X का सदिश संस्करण इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$\operatorname {vec} (\mathbf {X} )=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {B} _{i}\mathbf {X} \mathbf {e} _{i}$$

एक्स को ई से गुणा करना_i i-वें कॉलम को निकालता है, जबकि 'बी' से गुणा करता है_i इसे अंतिम वेक्टर में वांछित स्थिति में रखता है।

वैकल्पिक रूप से, रैखिक योग को क्रोनकर उत्पाद का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:

$$\operatorname {vec} (\mathbf {X} )=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {X} \mathbf {e} _{i}$$

अर्ध-वेक्टरीकरण

एक सममित मैट्रिक्स ए के लिए, वेक्टर vec(ए) में आवश्यकता से अधिक जानकारी होती है, क्योंकि मैट्रिक्स पूरी तरह से निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स भाग के साथ समरूपता द्वारा निर्धारित होता है, अर्थात, n(n + 1)/2 मुख्य विकर्ण पर और नीचे प्रविष्टियाँ। ऐसे मैट्रिक्स के लिए, अर्ध-वेक्टरीकरण कभी-कभी वैश्वीकरण की तुलना में अधिक उपयोगी होता है। एक सममिति का अर्ध-वेक्टरीकरण, वेच(ए)। n × n मैट्रिक्स ए है n(n + 1)/2 × 1 ए के केवल निचले त्रिकोणीय भाग को वेक्टराइज़ करके प्राप्त कॉलम वेक्टर:

$$\operatorname {vech} (A)=[A_{1,1},\ldots ,A_{n,1},A_{2,2},\ldots ,A_{n,2},\ldots ,A_{n-1,n-1},A_{n,n-1},A_{n,n}]^{\mathrm {T} }.$$

उदाहरण के लिए, 2×2 मैट्रिक्स के लिए $A={\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}$, अर्ध-वेक्टरीकरण है $\operatorname {vech} (A)={\begin{bmatrix}a\\b\\d\end{bmatrix}}$.

ऐसे अद्वितीय मैट्रिक्स मौजूद हैं जो मैट्रिक्स के आधे-वेक्टरीकरण को उसके वेक्टराइजेशन और इसके विपरीत में परिवर्तित करते हैं, जिन्हें क्रमशः दोहराव मैट्रिक्स और उन्मूलन मैट्रिक्स कहा जाता है।

प्रोग्रामिंग भाषा

मैट्रिसेस लागू करने वाली प्रोग्रामिंग भाषाओं में वेक्टरीकरण के आसान साधन हो सकते हैं। मैटलैब/जीएनयू ऑक्टेव में एक मैट्रिक्स A द्वारा वेक्टरकृत किया जा सकता है A(:). जीएनयू ऑक्टेव वैश्वीकरण और अर्ध-वेक्टरीकरण की भी अनुमति देता है vec(A) और vech(A) क्रमश। जूलिया (प्रोग्रामिंग भाषा) के पास है vec(A) कार्य भी करें. पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) में NumPy सरणियाँ लागू होती हैं flatten तरीका,जबकि आर प्रोग्रामिंग भाषा में वांछित प्रभाव इसके माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है c() या as.vector() कार्य. आर प्रोग्रामिंग भाषा में, फ़ंक्शन vec() पैकेज 'ks' वैश्वीकरण और कार्य की अनुमति देता है vech() 'ks' और 'sn' दोनों पैकेजों में लागू किया गया आधा-वेक्टरीकरण की अनुमति देता है।

यह भी देखें

• दोहराव और उन्मूलन मैट्रिक्स
• वोइगट संकेतन
• पैक्ड स्टोरेज मैट्रिक्स
• पंक्ति-प्रमुख क्रम|स्तंभ-प्रमुख क्रम
• मैट्रिकाइजेशन

संदर्भ

• Jan R. Magnus and Heinz Neudecker (1999), Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, 2nd Ed., Wiley. ISBN 0-471-98633-X.