हैंकेल आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, एक हेंकेल मैट्रिक्स (या उत्प्रेरक मैट्रिक्स), जिसका नाम हरमन हैंकेल के नाम पर रखा गया है, एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें बाएं से दाएं प्रत्येक आरोही तिरछा-विकर्ण स्थिर है, उदाहरण के लिए:

$$\qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.$$

अधिक सामान्यतः, हेंकेल मैट्रिक्स कोई भी होता है $n\times n$ आव्यूह $A$ रूप का

$$A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&&\vdots \\a_{2}&&&&&\vdots \\\vdots &&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.$$

घटकों के संदर्भ में, यदि $i,j$ का तत्व $A$ से दर्शाया गया है $A_{ij}$, और मान रहा हूँ $i\leq j$, तो हमारे पास हैं $A_{i,j}=A_{i+k,j-k}$ सभी के लिए $k=0,...,j-i.$

गुण

• हैंकेल मैट्रिक्स एक सममित मैट्रिक्स है।
• होने देना $J_{n}$ हो $n\times n$ विनिमय मैट्रिक्स. अगर $H$ एक है $m\times n$ हैंकेल मैट्रिक्स, फिर $H=TJ_{n}$ कहाँ $T$ एक है $m\times n$ टोएप्लिट्ज़ मैट्रिक्स।
  • अगर $T$ तो, वास्तविक संख्या सममित है $H=TJ_{n}$ के समान eigenvalues ​​होंगे $T$ हस्ताक्षर करने तक.
• हिल्बर्ट मैट्रिक्स हेंकेल मैट्रिक्स का एक उदाहरण है।

हैंकेल ऑपरेटर

हिल्बर्ट स्थान पर एक हेंकेल ऑपरेटर (गणित) वह है जिसका मैट्रिक्स ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में एक (संभवतः अनंत) हेंकेल मैट्रिक्स है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, एक हैंकेल मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसके एंटीडायगोनल्स के साथ स्थिर मान होते हैं, जिसका अर्थ है कि एक हैंकेल मैट्रिक्स $A$ सभी पंक्तियों के लिए संतुष्ट होना चाहिए $i$ और कॉलम $j$, $(A_{i,j})_{i,j\geq 1}$. ध्यान दें कि प्रत्येक प्रविष्टि $A_{i,j}$ पर ही निर्भर करता है $i+j$.

माना कि संगत हेंकेल ऑपरेटर है $H_{\alpha }$. हैंकेल मैट्रिक्स दिया गया है $A$, फिर संबंधित हैंकेल ऑपरेटर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $H_{\alpha }(u)=Au$.

हम अक्सर हेंकेल ऑपरेटरों में रुचि रखते हैं $H_{\alpha }:\ell ^{2}\left(\mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}\right)\rightarrow \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}\right)$ हिल्बर्ट स्थान के ऊपर $\ell ^{2}(\mathbf {Z} )$, वर्गाकार पूर्णांकीय द्विपक्षीय सम्मिश्र संख्या अनुक्रमों का स्थान। किसी के लिए $u\in \ell ^{2}(\mathbf {Z} )$, अपने पास

$$\|u\|_{\ell ^{2}(z)}^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|u_{n}\right|^{2}$$

हम अक्सर हेंकेल ऑपरेटरों के सन्निकटन में रुचि रखते हैं, संभवतः निम्न-ऑर्डर ऑपरेटरों द्वारा। ऑपरेटर के आउटपुट का अनुमान लगाने के लिए, हम अपने अनुमान की त्रुटि को मापने के लिए वर्णक्रमीय मानदंड (ऑपरेटर 2-मानदंड) का उपयोग कर सकते हैं। यह ऑपरेटर की कार्रवाई का अनुमान लगाने के लिए एक संभावित तकनीक के रूप में एकल मूल्य अपघटन का सुझाव देता है।

ध्यान दें कि मैट्रिक्स $A$ परिमित होना आवश्यक नहीं है. यदि यह अनंत है, तो व्यक्तिगत एकवचन वैक्टर की गणना के पारंपरिक तरीके सीधे काम नहीं करेंगे। हमें यह भी आवश्यक है कि सन्निकटन एक हेंकेल मैट्रिक्स हो, जिसे AAK सिद्धांत के साथ दिखाया जा सकता है।

हेंकेल मैट्रिक्स के निर्धारक को कैटेलेक्टिकेंट कहा जाता है।

हैंकेल मैट्रिक्स ट्रांसफॉर्म

Not to be confused with Hankel transform.

हेंकेल मैट्रिक्स ट्रांसफॉर्म, या बस हेंकेल ट्रांसफॉर्म, दिए गए अनुक्रम से गठित हेंकेल मैट्रिक्स के निर्धारकों के अनुक्रम का उत्पादन करता है। अर्थात् क्रम $\{h_{n}\}_{n\geq 0}$ अनुक्रम का हेंकेल रूपांतरण है $\{b_{n}\}_{n\geq 0}$ कब

$$h_{n}=\det(b_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n+1}.$$

किसी अनुक्रम के द्विपद परिवर्तन के अंतर्गत हेंकेल परिवर्तन अपरिवर्तनीय है। यानी अगर कोई लिखता है

$$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}$$

अनुक्रम के द्विपद परिवर्तन के रूप में $\{b_{n}\}$, तो एक के पास है

$$\det(b_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n+1}=\det(c_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n+1}.$$

हैंकेल मैट्रिसेस के अनुप्रयोग

हेंकेल मैट्रिसेस तब बनते हैं, जब आउटपुट डेटा के अनुक्रम को देखते हुए, एक अंतर्निहित राज्य-स्थान या छिपे छिपा हुआ मार्कोव मॉडल की प्राप्ति वांछित होती है। हैंकेल मैट्रिक्स का एकल मूल्य अपघटन ए, बी और सी मैट्रिक्स की गणना करने का एक साधन प्रदान करता है जो राज्य-स्थान प्राप्ति को परिभाषित करता है। सिग्नल से निर्मित हेंकेल मैट्रिक्स को गैर-स्थिर सिग्नलों के अपघटन और समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व के लिए उपयोगी पाया गया है।

बहुपद बंटन के लिए आघूर्णों की विधि

बहुपद वितरण पर लागू क्षणों (सांख्यिकी) की विधि के परिणामस्वरूप हेंकेल मैट्रिक्स बनता है जिसे बहुपद वितरण सन्निकटन के वजन मापदंडों को प्राप्त करने के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स की आवश्यकता होती है।

सकारात्मक हैंकेल मैट्रिसेस और हैमबर्गर क्षण समस्याएं

Further information: Hamburger moment problem

यह भी देखें

• टोप्लिट्ज़ मैट्रिक्स, एक उल्टा (यानी, पंक्ति-उलटा) हेंकेल मैट्रिक्स
• कॉची मैट्रिक्स
• वेंडरमोंडे मैट्रिक्स

संदर्भ

• Brent R.P. (1999), "Stability of fast algorithms for structured linear systems", Fast Reliable Algorithms for Matrices with Structure (editors—T. Kailath, A.H. Sayed), ch.4 (SIAM).
• Victor Y. Pan (2001). Structured matrices and polynomials: unified superfast algorithms. Birkhäuser. ISBN 0817642404.
• J.R. Partington (1988). An introduction to Hankel operators. LMS Student Texts. Vol. 13. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36791-3.