त्रिकोण तरंग

Triangle wave
A bandlimited triangle wave pictured in the time domain (top) and frequency domain (bottom). The fundamental is at 220 Hz (A3).
General information
सामान्य परिभाषा	$x(t)=4\left\vert t-\left\lfloor t+3/4\right\rfloor +1/4\right\vert -1$
आवेदन के क्षेत्र	Electronics, synthesizers
Domain, Codomain and Image
डोमेन	$\mathbb {R}$
कोडोमेन	$\left[-1,1\right]$
Basic features
समता	Odd
अवधि	1
Specific features
रूट	$\left\{{\tfrac {n}{2}}\right\},n\in \mathbb {Z}$
व्युत्पन्न	Square wave
फोरियर श्रेणी	$x(t)=-{\frac {8}{{\pi }^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}}{\left(2k-1\right)^{2}}}\sin \left(2\pi \left(2k-1\right)t\right)$

त्रिकोण तरंग या त्रिकोणीय तरंग गैर-साइनसॉइडल तरंगरूप होता है जिसका नाम इसके त्रिभुज आकार के कारण रखा गया है। यह वास्तविक चर का आवधिक कार्य, टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्य, निरंतर वास्तविक कार्य होते है।

वर्गाकार तरंग की भांति, त्रिभुज तरंग में केवल विषम लयबद्ध होते हैं। चूँकि, उच्च हार्मोनिक्स वर्ग तरंग की तुलना में अधिक तेजी से लुढ़कता है (केवल व्युत्क्रम के विपरीत हार्मोनिक संख्या के व्युत्क्रम वर्ग के आनुपातिक)।

परिभाषाएँ

साइन तरंग, वर्ग तरंग, त्रिकोण, और सॉटूथ तरंग तरंग रूप

परिभाषा

अवधि पी की त्रिकोण तरंग जो सीमा [0,1] तक फैली हुई है, इसको इस प्रकार परिभाषित किया गया है।

$$x(t)=2\left|{\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right|$$

जहाँ $\lfloor \,\ \rfloor$ फर्श और छत का कार्य होता है। इसे स्थानांतरित सॉटूथ तरंग के पूर्ण मान के रूप में देखा जा सकता है।

सीमा में फैली त्रिभुज तरंग के लिए [−1,1] अभिव्यक्ति बन जाती है।

$$x(t)=2\left|2\left({\frac {t}{p}}-\left\lfloor {t \over p}+{1 \over 2}\right\rfloor \right)\right|-1.$$

सामान्यतः आयाम वाली त्रिभुज तरंग के लिए अधिक सामान्य समीकरण $a$ और अवधि $p$ मॉड्यूलो ऑपरेशन और निरपेक्ष मान का उपयोग करना है।

आयाम=5, आवर्त=4 के साथ त्रिभुज तरंग

$$y(x)={\frac {4a}{p}}\left|\left(\left(x-{\frac {p}{4}}\right){\bmod {p}}\right)-{\frac {p}{2}}\right|-a.$$

उदाहरण के लिए, आयाम 5 और अवधि 4 वाली त्रिभुज तरंग के लिए:

$$y(x)=5{\bigl |}\left((x-1){\bmod {4}}\right)-2{\bigr |}-5.$$

इसके मान में परिवर्तन करके चरण परिवर्तन $-p/4$ प्राप्त किया जा सकता है जिसे शब्द, और ऊर्ध्वाधर ऑफसेट को $-a$ अवधि के मूल्य में परिवर्तन करके समायोजित किया जा सकता है।

चूँकि यह केवल मॉड्यूलो ऑपरेशन और निरपेक्ष मान का उपयोग करता है, इसका उपयोग हार्डवेयर इलेक्ट्रॉनिक्स पर त्रिकोण तरंग को क्रियान्वित करने के लिए किया जा सकता है।

ध्यान दीजिए कि अनेक प्रोग्रामिंग भाषाओं में, % ऑपरेटर शेष ऑपरेटर होता है (परिणाम लाभांश के समान चिह्न के साथ), मॉड्यूलो ऑपरेशन नहीं प्रोग्रामिंग भाषाओं में, मॉड्यूलो ऑपरेशन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है ((x % p) + p) % p की स्थान x % p. उदाहरण के लिए जावास्क्रिप्ट, इसका परिणाम फॉर्म का समीकरण होता है। 4*a/p * Math.abs((((x-p/4)%p)+p)%p - p/2) - a

वर्ग तरंग से संबंध

त्रिभुज तरंग को वर्ग तरंग के अभिन्न अंग के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

$$x(t)=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {u}{p}}\right)\,du.$$

त्रिकोणमितीय फलनों में अभिव्यक्ति

अवधि पी और आयाम ए के साथ त्रिकोण तरंग को उन लोगों के और आर्कसीन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है (जिसका मान −π/2 से π/2 तक होता है)।

$$y(x)={\frac {2a}{\pi }}\arcsin \left(\sin \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).$$

पहचान ${\textstyle \cos {x}=\sin \left({\frac {p}{4}}-x\right)}$ इसका उपयोग त्रिभुज साइन तरंग से त्रिकोणीय कोसाइन तरंग में परिवर्तित करने के लिए किया जा सकता है। इस चरण-स्थानांतरित त्रिभुज तरंग को कोसाइन और [[कोटिकोज्या]] के साथ भी व्यक्त किया जा सकता है।

$$y(x)=a-{\frac {2a}{\pi }}\arccos \left(\cos \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).$$

वैकल्पिक रैखिक कार्यों के रूप में व्यक्त

-1 से 1 तक की सीमा और अवधि पी के साथ त्रिकोण तरंग की और परिभाषा होती है।

$$x(t)={\frac {4}{p}}\left(t-{\frac {p}{2}}\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$$

हार्मोनिक्स

हार्मोनिक्स की बढ़ती संख्या के साथ त्रिकोण तरंग के योगात्मक संश्लेषण का एनीमेशन होता है। अतः गणितीय विवरण के लिए फूरियर रूपांतरण देखें।

प्रत्येक अन्य विषम हार्मोनिक को -1 से गुणा करते हुए (या, समकक्ष, इसके चरण को परिवर्तित करते हुए) मौलिक के विषम हार्मोनिक्स को जोड़कर योगात्मक संश्लेषण के साथ त्रिकोण तरंग π का अनुमान लगाना संभव है) और हार्मोनिक्स के आयाम को उनके मोड संख्या के वर्ग से गुणा करके, n (जो मौलिक आवृत्ति के सापेक्ष उनकी आवृत्ति के वर्ग के सामान्तर होती है)।

उपरोक्त को गणितीय रूप से निम्नानुसार संक्षेपित किया जा सकता हैπ

$${\begin{aligned}x_{\mathrm {triangle} }(t)&{}={\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{i=0}^{N-1}(-1)^{i}n^{-2}\sin \left(2\pi f_{0}nt\right)\end{aligned}}$$

जहाँ N सन्निकटन में सम्मिलित करने के लिए हार्मोनिक्स की संख्या $n=2i+1$ होती है, अतः t स्वतंत्र चर होता है (जैसे ध्वनि तरंगों के लिए समय), $f_{0}$ मौलिक आवृत्ति होती है, और i हार्मोनिक लेबल होता है जो इसके मोड नंबर से संबंधित होता है।

यह अनंत फूरियर श्रृंखला तेजी से त्रिभुज तरंग में परिवर्तित हो जाती है N अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, जैसा कि एनीमेशन में दिखाया गया है।

आर्क लंबाई

त्रिभुज तरंग के लिए प्रति आवर्त चाप की लंबाई, एस द्वारा निरूपित, आयाम ए और आवर्त लंबाई पी के संदर्भ में दी गई है।

$$s={\sqrt {(4a)^{2}+p^{2}}}.$$

यह भी देखें

• आवधिक कार्यों की सूची
• साइन लहर
• स्क्वेर तरंग
• सॉटूथ तरंग
• नाड़ी तरंग
• ध्वनि
• त्रिकोण फलन
• तरंग
• वक्र

संदर्भ

• Weisstein, Eric W. "Fourier Series - Triangle Wave". MathWorld.