तरंग सदिश

भौतिकी में, तरंग सदिश (या तरंग सदिश) एक ऐसा सदिश (ज्यामितीय) है जिसका उपयोग तरंग का वर्णन करने में किया जाता है, जिसकी विशिष्ट इकाई एक चक्र प्रति मीटर होती है। अतः इसमें यूक्लिडियन सदिश है। इसका परिमाण तरंग की तरंग संख्या (तरंगदैर्घ्य के व्युत्क्रमानुपाती) है, और इसकी दिशा तरंगाग्र के लंबवत है। समदैशिक मीडिया में, तरंग प्रसार की दिशा भी यही है।

इस प्रकार से एक निकट से संबंधित सदिश कोणीय तरंग सदिश (या कोणीय तरंग सदिश) है, जिसकी विशिष्ट इकाई रेडियन प्रति मीटर है। तरंग सदिश और कोणीय तरंग सदिश आनुपातिकता के एक निश्चित स्थिरांक, प्रति चक्र 2π रेडियन से पूर्ण रूप से संबंधित हैं।

अतः भौतिकी के कई क्षेत्रों में कोणीय तरंग सदिश को मात्र तरंग सदिश के रूप में संदर्भित करना सामान्य बात है, इस प्रकार से उदाहरण के लिए, क्रिस्टलोग्राफी के विपरीत। जो भी उपयोग में है उसके लिए प्रतीक k का उपयोग करना भी सामान्य है।

इस प्रकार से विशेष सापेक्षता के संदर्भ में, तरंग सदिश चार-सदिश को संदर्भित कर सकता है, जिसमें (कोणीय) तरंग सदिश और (कोणीय) आवृत्ति संयुक्त होती है।

परिभाषा

See also: यात्रा तरंग

ज्या तरंग की तरंग दैर्ध्य, λ, को एक ही चरण के साथ किन्हीं दो निरंतर बिंदुओं के बीच मापा जा सकता है, जैसे आसन्न शिखर, या गर्त, या पारगमन की समान दिशा के साथ आसन्न शून्य अनुप्रस्थ के बीच, जैसा कि दिखाया गया है।

अतः तरंग सदिश और कोणीय तरंग सदिश शब्दों के अलग-अलग अर्थ हैं। यहाँ, तरंग सदिश को ${\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ द्वारा और तरंग संख्या को ${\tilde {\nu }}=\left|{\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\right|$ द्वारा दर्शाया गया है। कोणीय तरंग सदिश को k द्वारा और कोणीय तरंग संख्या को k = |k| द्वारा दर्शाया जाता है। ये $\mathbf {k} =2\pi {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ द्वारा पूर्ण रूप से संबंधित हैं।

इस प्रकार से एक ज्यावक्रीय यात्रा तरंग समीकरण

$\psi (\mathbf {r} ,t)=A\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi )$

का अनुसरण करती है, जहाँ:

• r स्थिति है,
• t समय है,
• ψ, r और t का एक फलन है जो तरंग का वर्णन करने वाले विक्षोभ का वर्णन करता है (इस प्रकार से उदाहरण के लिए, एक समुद्र की लहर के लिए, ψ पानी की अतिरिक्त ऊंचाई होगी, या एक ध्वनि तरंग के लिए, ψ अतिरिक्त वायु दाब होगा)।
• A तरंग का आयाम है (दोलन का चरम परिमाण),
• φ चरण प्रतिसंतुलन है,
• ω तरंग की (अस्थायी) कोणीय आवृत्ति है, जो यह बताती है कि यह समय की प्रति इकाई कितने रेडियन को पार करती है, और समीकरण $\omega ={\tfrac {2\pi }{T}}$ द्वारा, अवधि (भौतिकी) t से संबंधित है।
• k तरंग का कोणीय तरंग सदिश है, जो बताता है कि यह प्रति इकाई दूरी तक कितने रेडियन को पार करती है, और समीकरण $|\mathbf {k} |={\tfrac {2\pi }{\lambda }}$ द्वारा तरंग दैर्ध्य से संबंधित है।

इस प्रकार से तरंग सदिश और आवृत्ति का उपयोग करते हुए समतुल्य समीकरण

$\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=A\cos \left(2\pi \left({\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\cdot {\mathbf {r} }-ft\right)+\varphi \right),$

है, जहाँ:

• $f$ आवृत्ति है
• ${\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ तरंग सदिश है

तरंग सदिश की दिशा

Main article: समूह वेग

अतः जिस दिशा में तरंग सदिश बिंदु होते हैं उसे तरंग प्रसार की दिशा से अलग किया जाना चाहिए। इस प्रकार से तरंग प्रसार की दिशा तरंग के ऊर्जा प्रवाह की दिशा है, और वह दिशा जिस पर छोटा तरंग पैकेट चलेगा, अर्थात समूह वेग की दिशा। निर्वात में प्रकाश तरंगों के लिए, यह पोयंटिंग सदिश की दिशा भी है। दूसरी ओर, तरंग सदिश चरण वेग की दिशा में इंगित करता है। दूसरे शब्दों में, तरंग सदिश, तरंगाग्र के सामान्य सतह पर पूर्ण रूप से इंगित करता है, जिसे तरंगाग्र भी कहा जाता है।

इस प्रकार से वायु, किसी गैस, किसी तरल, अनाकार ठोस (जैसे कांच), और घन क्रिस्टल जैसे क्षीणन समदैशिक में, तरंगसदिश की दिशा तरंग प्रसार की दिशा के समान होती है। यदि माध्यम विषमदैशिक है, तो तरंग सदिश सामान्य रूप से तरंग प्रसार के अतिरिक्त अन्य दिशाओं को पूर्ण रूप से इंगित करता है। अतः तरंग सदिश सदैव स्थिर चरण की सतहों के लंबवत होता है।

इस प्रकार से उदाहरण के लिए, जब तरंग असमदिग्वर्ती होने की दशा से होकर गुजरती है, जैसे कि क्रिस्टल प्रकाशिकी या तलछटी चट्टान के माध्यम से ध्वनि तरंगें, तो तरंग सदिश तरंग प्रसार की दिशा में यथार्थ रूप से इंगित नहीं कर सकता है।

ठोस अवस्था भौतिकी में

Main article: बलोच की प्रमेय

इस प्रकार से ठोस-अवस्था भौतिकी में, क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉन या इलेक्ट्रॉन छिद्र का तरंगसदिश (जिसे के-सदिश भी कहा जाता है) इसके क्वांटम यांत्रिकी तरंग क्रिया का तरंगसदिश होता है। अतः ये इलेक्ट्रॉन तरंगें सामान्य ज्यावक्रीय तरंगें नहीं हैं, परन्तु उनमें प्रकार का आवरण (तरंगें) होता है जो ज्यावक्रीय होता है, और तरंगसदिश को उस आवरण तरंग के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, सामान्यतः भौतिकी परिभाषा का उपयोग करके। अधिक सूचना के लिए बलोच की प्रमेय देखें।

विशेष सापेक्षता में

विशेष सापेक्षता में गतिशील तरंग सतह को समष्टि काल में ऊनविम पृष्ठ (एक 3डी उपसमष्टि) के रूप में माना जा सकता है, जो तरंग सतह से गुजरने वाली सभी घटनाओं से बनता है। तरंगावली (कुछ चर X द्वारा चिह्नित) को समष्टि काल में ऐसे ऊनविम पृष्ठ के एक-पैरामीटर वर्ग के रूप में माना जा सकता है। यह चर X समष्टि काल में स्थिति का अदिश फलन है। इस अदिश का व्युत्पन्न सदिश है जो तरंग, चार-तरंगसदिश की विशेषता बताता है।

इस प्रकार से चार-तरंगसदिश तरंग चार-सदिश है जिसे मिन्कोवस्की समष्टि में इस प्रकार इसे पूर्ण रूप से परिभाषित किया गया है:

$K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {n}}\right)=\left({\frac {2\pi }{cT}},{\frac {2\pi {\hat {n}}}{\lambda }}\right)\,$

जहां कोणीय आवृत्ति ${\tfrac {\omega }{c}}$ अस्थायी घटक और तरंगसंख्या सदिश ${\vec {k}}$ स्थानिक घटक है।

वैकल्पिक रूप से, तरंग संख्या k को चरण-वेग v_p द्वारा विभाजित कोणीय आवृत्ति ω के रूप में या व्युत्क्रम अवधि T और व्युत्क्रम तरंग दैर्ध्य λ के संदर्भ में लिखा जा सकता है।

इस प्रकार से जब स्पष्ट रूप से लिखा जाता है तो इसके सहप्रसरण और सदिशों के प्रतिप्रसरण और सदिशों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण रूप इस प्रकार हैं:

${\begin{aligned}K^{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,\\[4pt]K_{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right)\end{aligned}}$

सामान्यतः, इस प्रकार से तरंग चार-सदिश का लोरेंत्ज़ अदिश परिमाण है:

$K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=\left({\frac {\omega _{o}}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}$

अतः चार-तरंगसदिश द्रव्यमान रहित कण (फोटोनिक) कणों के लिए कारण संरचना स्पर्शरेखा सदिश है, जहां शेष द्रव्यमान $m_{o}=0$ है।

इस प्रकार से शून्य चार-तरंगसदिश का उदाहरण सुसंगत, एकरंगा प्रकाश की किरण होगी, जिसमें चरण-वेग $v_{p}=c$ है।

$K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{c}}{\hat {n}}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {n}}\right)\,$ {प्रकाश-जैसा/शून्य के लिए}

जिसमें चार-तरंग सदिश के स्थानिक भाग की आवृत्ति और परिमाण के बीच निम्नलिखित संबंध होगा:

$K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=0$ {प्रकाश-जैसा/शून्य के लिए}

इस प्रकार से चार-तरंगसदिश चार-संवेग से इस प्रकार संबंधित है:

$P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)$

चार-तरंगसदिश चार-आवृत्ति से इस प्रकार पूर्ण रूप से संबंधित है:

$K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)N^{\mu }=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)\left(\nu ,\nu {\vec {n}}\right)$

चार-तरंगसदिश चार-वेग से इस प्रकार संबंधित है:

$K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)U^{\mu }=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)$

लोरेंत्ज़ परिवर्तन

इस प्रकार से चार-तरंगसदिश का लोरेंत्ज़ परिवर्तन लेना सापेक्षवादी डॉपलर प्रभाव प्राप्त करने की एक विधि है। अतः लोरेंत्ज़ आव्यूह को

$\Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &\ 0\ &\ 0\ \\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

ऐसी स्थिति में जहां तीव्र गति से चलने वाले स्रोत द्वारा प्रकाश उत्सर्जित किया जा रहा है और कोई पृथ्वी (प्रयोगशाला) फ्रेम में पाए गए प्रकाश की आवृत्ति जानना चाहता है, हम लोरेंत्ज़ परिवर्तन को निम्नानुसार लागू करेंगे। ध्यान दें कि स्रोत एक फ्रेम S^s में है और पृथ्वी अवलोकन फ्रेम, S^obs में है। इस प्रकार से लोरेंत्ज़ परिवर्तन को तरंग सदिश

$k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }$

पर लागू करने और मात्र $\mu =0$ घटक को देखने के लिए चयन करने से

${\begin{aligned}k_{s}^{0}&=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\\[3pt]{\frac {\omega _{s}}{c}}&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\\&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta .\end{aligned}}$

प्राप्त होता है, जहां $\cos \theta$ के संबंध में $k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta$ $k^{1}$ की दिशा कोटिज्या है।

इसलिए,

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta \cos \theta )}}$

स्रोत दूर जा रहा है (रेडशिफ्ट)

इस प्रकार से उदाहरण के रूप में, इसे ऐसी स्थिति में लागू करने के लिए जहां स्रोत सीधे पर्यवेक्षक ($\theta =\pi$) से दूर जा रहा है, यह बन जाता है:

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}$

स्रोत (ब्लूशिफ्ट) की ओर बढ़ रहा है

अतः इसे ऐसी स्थिति में लागू करने के लिए जहां स्रोत सीधे पर्यवेक्षक (θ = 0) की ओर बढ़ रहा है, यह बन जाता है:

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}$

स्रोत स्पर्शरेखीय रूप से घूम रहा है (अनुप्रस्थ डॉपलर प्रभाव)

इस प्रकार से इसे ऐसी स्थिति में लागू करने के लिए जहां स्रोत पर्यवेक्षक (θ = π/2) के संबंध में अनुप्रस्थ रूप से घूम रहा है, यह बन जाता है:

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-0)}}={\frac {1}{\gamma }}$

यह भी देखें

• समतल तरंग विस्तार
• घटना का तल

अग्रिम पठन

• Brau, Charles A. (2004). Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-514665-3.