हाइपरेलिप्टिक वक्र

चित्र 1: हाइपरेलिप्टिक वक्र का ग्राफ $C:y^{2}=f(x)$ कहाँ

$$f(x)=x^{5}-2x^{4}-7x^{3}+8x^{2}+12x=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2).$$

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक हाइपरेलिप्टिक वक्र जीनस (गणित) g> 1 का एक बीजगणितीय वक्र है, जो फार्म के समीकरण द्वारा दिया जाता है।

$$y^{2}+h(x)y=f(x)$$

जहाँ f(x) घात n = 2g + 1 > 4 या n = 2g + 2 > 4 का एक बहुपद है जिसका n विशिष्ट मूल है, और h(x) घात <g + 2 का एक बहुपद है (यदि ग्राउंड फील्ड 2 नहीं है, कोई h(x) = 0) ले सकता है।

एक 'अण्डाकार समारोह' ऐसे वक्र की बीजगणितीय विविधता या वक्र पर जैकोबियन विविधता के फ़ंक्शन फ़ील्ड का एक तत्व है; ये दो अवधारणाएं अण्डाकार कार्यों के लिए समान हैं, लेकिन हाइपरेलिप्टिक कार्यों के लिए भिन्न हैं।

जीनस

बहुपद की डिग्री वक्र के जीनस को निर्धारित करती है: डिग्री 2g + 1 या 2g + 2 का बहुपद जीनस g का वक्र देता है। जब डिग्री 2g + 1 के बराबर होती है, तो वक्र को एक काल्पनिक हाइपरेलिप्टिक वक्र कहा जाता है। इस बीच, डिग्री 2g + 2 के वक्र को वास्तविक हाइपरेलिप्टिक वक्र कहा जाता है। जीनस के बारे में यह कथन जी = 0 या 1 के लिए सही रहता है, लेकिन उन विशेष मामलों को हाइपरेलिप्टिक नहीं कहा जाता है। मामले में जी = 1 (यदि कोई विशिष्ट बिंदु चुनता है), तो ऐसे वक्र को दीर्घवृत्तीय वक्र कहा जाता है।

निरूपण और मॉडल का चुनाव

जबकि यह मॉडल हाइपरेलिप्टिक वक्रों का वर्णन करने का सबसे सरल तरीका है, इस तरह के समीकरण में प्रक्षेपी विमान में अनंत पर एक गणितीय विलक्षणता होगी। यह विशेषता मामले n> 3 के लिए विशिष्ट है। इसलिए, एक गैर-एकवचन वक्र निर्दिष्ट करने के लिए इस तरह के समीकरण देने में, यह लगभग हमेशा माना जाता है कि एक गैर-एकवचन मॉडल (जिसे चिकनी पूर्णता भी कहा जाता है), के अर्थ में समकक्ष द्विभाजित ज्यामिति , का मतलब है।

अधिक सटीक होने के लिए, समीकरण 'सी' (एक्स) के द्विघात विस्तार को परिभाषित करता है, और यह वह कार्य क्षेत्र है जिसका मतलब है। सामान्यीकरण (अभिन्न समापन) प्रक्रिया द्वारा अनंत पर एकवचन बिंदु को हटाया जा सकता है (चूंकि यह एक वक्र है)। यह पता चला है कि ऐसा करने के बाद, दो एफ़िन चार्ट द्वारा वक्र का एक खुला कवर होता है: पहले से ही दिया गया एक

$$y^{2}=f(x)$$

और दूसरा द्वारा दिया गया

$$w^{2}=v^{2g+2}f(1/v).$$

दो चार्टों के बीच चिपकाने वाले मानचित्र किसके द्वारा दिए गए हैं

$$(x,y)\mapsto (1/x,y/x^{g+1})$$

और

$$(v,w)\mapsto (1/v,w/v^{g+1}),$$

जहां भी उन्हें परिभाषित किया गया है।

वास्तव में ज्यामितीय आशुलिपि को ग्रहण किया जाता है, वक्र C को प्रक्षेप्य रेखा के एक रेमिफाइड डबल कवर के रूप में परिभाषित किया जाता है, f की जड़ों पर होने वाली रेमीफिकेशन (गणित), और अनंत पर बिंदु पर विषम n के लिए भी। इस तरह मामले n = 2g + 1 और 2g + 2 को एकीकृत किया जा सकता है, क्योंकि हम प्रक्षेपी विमान के एक automorphism का उपयोग अनंत से दूर किसी भी शाखा बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए कर सकते हैं।

रीमैन-हर्विट्ज फॉर्मूला का उपयोग करना

Riemann-Hurwitz सूत्र का उपयोग करते हुए, जीनस g के साथ हाइपरेलिप्टिक वक्र को डिग्री n = 2g + 2 के साथ एक समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है। मान लीजिए f : X → P¹ एक शाखित आवरण है, जिसमें रेमीफिकेशन डिग्री 2 है, जहाँ X जीनस g और P के साथ एक वक्र है¹ रीमैन गोला है। चलो जी₁ = जी और जी₀ P की जाति हो¹ (= 0), तो रीमैन-हर्वित्ज़ सूत्र निकला

$2-2g_{1}=2(2-2g_{0})-\sum _{s\in X}(e_{s}-1)$

जहाँ s, X के सभी शाखा बिंदुओं से अधिक है। शाखा बिंदुओं की संख्या n है, इसलिए n = 2g + 2।

घटना और अनुप्रयोग

जीनस 2 के सभी वक्र हाइपरेलिप्टिक हैं, लेकिन जीनस ≥ 3 के लिए सामान्य वक्र हाइपरेलिप्टिक नहीं है। इसे मॉड्यूलि स्पेस डायमेंशन चेक द्वारा ह्यूरिस्टिक रूप से देखा जाता है। n = 2g + 2 के साथ स्थिरांक की गणना, प्रक्षेपी रेखा के ऑटोमोर्फिज्म की क्रिया के अधीन n बिंदुओं का संग्रह (2g + 2) -3 स्वतंत्रता की डिग्री है, जो कि 3g - 3 से कम है, मापांक की संख्या जीनस जी के वक्र का, जब तक कि जी 2 न हो। कर्व्स या एबेलियन किस्मों के मोडुली स्पेस में हाइपरेलिप्टिक लोकस के बारे में बहुत कुछ जाना जाता है, हालांकि सरल मॉडलों के साथ सामान्य गैर-हाइपरलिप्टिक वक्रों को प्रदर्शित करना कठिन है। हाइपरेलिप्टिक वक्रों का एक ज्यामितीय लक्षण वर्णन वेइरस्ट्रास बिंदुओं के माध्यम से होता है। गैर-हाइपरलिप्टिक वक्रों की अधिक विस्तृत ज्यामिति विहित वक्रों के सिद्धांत से पढ़ी जाती है, विहित बंडल # विहित मानचित्र हाइपरेलिप्टिक वक्रों पर 2-से-1 होते हैं लेकिन 1-से-1 अन्यथा जी> 2 के लिए। त्रिकोणीय वक्र वे होते हैं जो मेल खाते हैं एक बहुपद के वर्गमूल के बजाय घनमूल लेने के लिए।

परिमेय फलन क्षेत्र के द्विघात विस्तार द्वारा परिभाषा विशेषता 2 को छोड़कर सामान्य रूप से क्षेत्रों के लिए काम करती है; सभी मामलों में ज्यामितीय परिभाषा प्रोजेक्टिव लाइन के एक रेमिफाइड डबल कवर के रूप में उपलब्ध है, अगर विस्तार को वियोज्य माना जाता है।

असतत लघुगणक समस्या के आधार पर क्रिप्टोसिस्टम के लिए हाइपरेलिप्टिक वक्र क्रिप्टोग्राफी में हाइपरेलिप्टिक वक्र का उपयोग किया जा सकता है।

हाइपरेलिप्टिक वक्र भी एबेलियन डिफरेंशियल के मॉडुलि स्पेस के कुछ स्तरों के पूरे जुड़े हुए घटकों को बनाते हुए दिखाई देते हैं। जीनस = 1 के भरने के मामले में मिखाइल लियोनिदोविच ग्रोमोव के फिलिंग एरिया अनुमान को साबित करने के लिए जीनस -2 कर्व्स की हाइपरेलिप्टिसिटी का इस्तेमाल किया गया था।

वर्गीकरण

दिए गए जीनस जी के हाइपरेलिप्टिक वक्र में मॉड्यूलि स्पेस होता है, जो डिग्री 2 जी + 2 के बाइनरी फॉर्म के इनवेरिएंट की अंगूठी से निकटता से संबंधित होता है।

इतिहास

हाइपरेलिप्टिक फ़ंक्शंस पहले प्रकाशित किए गए थे एडॉल्फ गोपेल (1812-1847) द्वारा अपने अंतिम पेपर एबेलियन ट्रांसेंडेंट्स ऑफ फर्स्ट ऑर्डर में (क्रेले के जर्नल में, खंड 35, 1847)। स्वतंत्र रूप से जोहान जी. रोसेनहैन ने उस मामले पर काम किया और पहली तरह के अल्ट्राएलिप्टिक इंटीग्रल के व्युत्क्रम प्रकाशित किए (मेमोइरेस डेस सावंत आदि में, वॉल्यूम 11, 1851)।

यह भी देखें

• बोल्ज़ा सतह
• सुपरएलिप्टिक वक्र

संदर्भ

• "Hyper-elliptic curve", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• A user's guide to the local arithmetic of hyperelliptic curves

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