कम्प्यूटेशनल एयरोकॉस्टिक्स

कम्प्यूटेशनल aeroacoustics एयरोकॉस्टिक्स की एक शाखा है जिसका उद्देश्य संख्यात्मक तरीकों के माध्यम से अशांति प्रवाह द्वारा शोर की पीढ़ी का विश्लेषण करना है।

इतिहास

कम्प्यूटेशनल एयरोकॉस्टिक्स की उत्पत्ति संभवतः 1980 के दशक के मध्य में, हार्डिन और लैमकिन के प्रकाशन से की जा सकती है।^[1] जिसने दावा किया, वह <ब्लॉककोट>

[...] कम्प्यूटेशनल तरल यांत्रिकी का क्षेत्र पिछले कुछ वर्षों में तेजी से आगे बढ़ रहा है और अब यह आशा प्रदान करता है कि कम्प्यूटेशनल एयरोकॉस्टिक्स, जहां शोर की गणना सीधे पहले सिद्धांतों से की जाती है जो निरंतर वेग और भंवर क्षेत्रों का निर्धारण करते हैं, संभव हो सकता है, [...]

</ब्लॉककोट> बाद में 1986 में एक प्रकाशन में^[2] उन्हीं लेखकों ने संक्षिप्त नाम CAA पेश किया। इस शब्द का उपयोग शुरू में कम मैक संख्या दृष्टिकोण (एक असम्पीडित प्रवाह के बारे में ध्वनिक गड़बड़ी क्षेत्र का विस्तार) के लिए किया गया था, जैसा कि कम्प्यूटेशनल एरोकॉस्टिक्स#ईआईएफ के तहत वर्णित है। बाद में 1990 के दशक की शुरुआत में बढ़ते सीएए समुदाय ने इस शब्द को अपनाया और बड़े पैमाने पर किसी भी प्रकार की संख्यात्मक विधि के लिए इसका इस्तेमाल किया, जो किसी एयरोकॉस्टिक स्रोत से शोर विकिरण या एक अमानवीय प्रवाह क्षेत्र में ध्वनि तरंगों के प्रसार का वर्णन करता है। ऐसी संख्यात्मक विधियाँ सुदूर क्षेत्र एकीकरण विधियाँ हो सकती हैं (उदा. FW-H^[3]^[4]) साथ ही समाधानों के लिए अनुकूलित प्रत्यक्ष संख्यात्मक तरीके (उदाहरण के लिए)^[5]) वायुगतिकीय शोर उत्पादन और/या प्रसार का वर्णन करने वाला एक गणितीय मॉडल। कम्प्यूटेशनल संसाधनों के तेजी से विकास के साथ पिछले तीन दशकों के दौरान इस क्षेत्र में शानदार प्रगति हुई है।

तरीके

सीएए के लिए प्रत्यक्ष संख्यात्मक सिमुलेशन (डीएनएस) दृष्टिकोण

संपीड़ित नेवियर-स्टोक्स समीकरण प्रवाह क्षेत्र और वायुगतिकीय रूप से उत्पन्न ध्वनिक क्षेत्र दोनों का वर्णन करता है। इस प्रकार दोनों को सीधे तौर पर हल किया जा सकता है। ध्वनिक चर और प्रवाह चर के बीच मौजूद लंबाई पैमाने में बड़े अंतर के कारण इसके लिए बहुत उच्च संख्यात्मक रिज़ॉल्यूशन की आवश्यकता होती है। यह कम्प्यूटेशनल रूप से बहुत अधिक मांग वाला है और किसी भी व्यावसायिक उपयोग के लिए अनुपयुक्त है।

हाइब्रिड दृष्टिकोण

इस दृष्टिकोण में कम्प्यूटेशनल डोमेन को विभिन्न क्षेत्रों में विभाजित किया गया है, ताकि नियंत्रित ध्वनिक या प्रवाह क्षेत्र को विभिन्न समीकरणों और संख्यात्मक तकनीकों के साथ हल किया जा सके। इसमें दो अलग-अलग संख्यात्मक सॉल्वर का उपयोग करना शामिल होगा, पहला एक समर्पित कम्प्यूटेशनल तरल गतिशीलता (सीएफडी) उपकरण और दूसरा एक ध्वनिक सॉल्वर। फिर प्रवाह क्षेत्र का उपयोग ध्वनिक स्रोतों की गणना के लिए किया जाता है। स्थिर अवस्था (RANS, SNGR (स्टोकेस्टिक शोर सृजन और विकिरण), ...) और क्षणिक (DNS, LES, DES, URANS, ...) द्रव क्षेत्र समाधान दोनों का उपयोग किया जा सकता है। ये ध्वनिक स्रोत दूसरे सॉल्वर को प्रदान किए जाते हैं जो ध्वनिक प्रसार की गणना करता है। ध्वनिक प्रसार की गणना निम्न विधियों में से किसी एक का उपयोग करके की जा सकती है:

अभिन्न विधियाँ
1. लाइटहिल की उपमा
2. किरचॉफ इंटीग्रल
3. एफडब्ल्यू-एच
ली
स्यूडोस्पेक्ट्रल
ईआईएफ
बंदर

अभिन्न विधियाँ

ध्वनि स्रोत के ध्वनिक सुदूर क्षेत्र की गणना करने के लिए कई विधियाँ हैं, जो ध्वनिक तरंग समीकरण के ज्ञात समाधान पर आधारित हैं। क्योंकि मुक्त स्थान में तरंग प्रसार के लिए एक सामान्य समाधान को सभी स्रोतों पर एक अभिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, इन समाधानों को अभिन्न तरीकों के रूप में संक्षेपित किया गया है। ध्वनिक स्रोतों को कुछ अलग स्रोतों से जाना जाना चाहिए (उदाहरण के लिए एक चलती यांत्रिक प्रणाली का एक परिमित तत्व सिमुलेशन या एक चलती माध्यम में स्रोतों का एक द्रव गतिशील सीएफडी सिमुलेशन)। इंटीग्रल को मंद समय (स्रोत समय) पर सभी स्रोतों पर ले लिया जाता है, जो वह समय होता है जब स्रोत को सिग्नल भेजा जाता है, जो अब किसी दिए गए पर्यवेक्षक की स्थिति में आता है। सभी अभिन्न तरीकों में सामान्य बात यह है कि वे ध्वनि की गति या स्रोत और पर्यवेक्षक स्थिति के बीच औसत प्रवाह गति में परिवर्तन का हिसाब नहीं दे सकते क्योंकि वे तरंग समीकरण के सैद्धांतिक समाधान का उपयोग करते हैं। लाइटहिल के सिद्धांत को लागू करते समय ^[6]^[7] द्रव यांत्रिकी के नेवियर स्टोक्स समीकरणों में से एक वॉल्यूमेट्रिक स्रोत प्राप्त करता है, जबकि अन्य दो सादृश्य सतह अभिन्न के आधार पर दूर क्षेत्र की जानकारी प्रदान करते हैं। ध्वनिक उपमाएँ बहुत कुशल और तेज़ हो सकती हैं, क्योंकि तरंग समीकरण के ज्ञात समाधान का उपयोग किया जाता है। एक दूर स्थित पर्यवेक्षक को एक बहुत करीबी पर्यवेक्षक जितना ही समय लगता है। सभी उपमाओं के अनुप्रयोग के लिए आम बात बड़ी संख्या में योगदानों पर एकीकरण है, जिससे अतिरिक्त संख्यात्मक समस्याएं हो सकती हैं (शून्य के करीब परिणाम के साथ कई बड़ी संख्याओं का जोड़/घटाव।) इसके अलावा, एक अभिन्न विधि लागू करते समय, आमतौर पर स्रोत डोमेन किसी तरह सीमित है। जबकि सिद्धांत रूप में बाहर के स्रोतों को शून्य होना चाहिए, एप्लिकेशन हमेशा इस शर्त को पूरा नहीं कर सकता है। विशेष रूप से सीएफडी सिमुलेशन के संबंध में, इससे बड़ी कट-ऑफ त्रुटियां होती हैं। डोमेन के बाहर निकलने पर स्रोत को धीरे-धीरे शून्य करके या इस अंतिम प्रभाव को ठीक करने के लिए कुछ अतिरिक्त शब्द जोड़कर, इन कट-ऑफ त्रुटियों को कम किया जा सकता है।

लाइटहिल की सादृश्यता

इसे 'ध्वनिक सादृश्य' भी कहा जाता है। लाइटहिल की एयरोकॉस्टिक सादृश्य प्राप्त करने के लिए गवर्निंग नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित किया गया है। बायीं ओर एक तरंग ऑपरेटर है, जिसे क्रमशः घनत्व गड़बड़ी या दबाव गड़बड़ी पर लागू किया जाता है। दाहिनी ओर की पहचान द्रव प्रवाह में ध्वनिक स्रोतों के रूप में की जाती है। चूँकि लाइटहिल की सादृश्यता बिना सरलीकरण के सीधे नेवियर-स्टोक्स समीकरणों से अनुसरण करती है, सभी स्रोत मौजूद हैं। फिर कुछ स्रोतों की पहचान अशांत या लामिना शोर के रूप में की जाती है। दूर-क्षेत्र का ध्वनि दबाव तब ध्वनि स्रोत वाले डोमेन पर वॉल्यूम इंटीग्रल के संदर्भ में दिया जाता है। स्रोत शब्द में हमेशा भौतिक स्रोत और ऐसे स्रोत शामिल होते हैं, जो एक अमानवीय माध्यम में प्रसार का वर्णन करते हैं।

लाइटहिल की सादृश्यता का तरंग संचालक स्रोत क्षेत्र के बाहर निरंतर प्रवाह स्थितियों तक सीमित है। घनत्व, ध्वनि की गति और मच संख्या में कोई बदलाव की अनुमति नहीं है। एक बार जब कोई ध्वनिक तरंग इसके पास से गुजरती है, तो सादृश्य द्वारा विपरीत संकेत वाले मजबूत स्रोतों के रूप में विभिन्न माध्य प्रवाह स्थितियों की पहचान की जाती है। ध्वनिक तरंग का एक भाग एक स्रोत द्वारा हटा दिया जाता है और विभिन्न तरंग गति को ठीक करने के लिए एक नई तरंग उत्सर्जित की जाती है। यह अक्सर मजबूत स्रोतों के साथ बहुत बड़ी मात्रा में होता है। ध्वनि-प्रवाह अंतःक्रिया या अन्य प्रभावों को ध्यान में रखते हुए लाइटहिल के मूल सिद्धांत में कई संशोधन प्रस्तावित किए गए हैं। लाइटहिल की सादृश्यता को बेहतर बनाने के लिए तरंग संचालक के अंदर विभिन्न मात्राओं के साथ-साथ विभिन्न तरंग संचालकों पर निम्नलिखित उपमाओं द्वारा विचार किया जाता है। वे सभी संशोधित स्रोत शब्द प्राप्त करते हैं, जो कभी-कभी वास्तविक स्रोतों पर अधिक स्पष्ट दृष्टि की अनुमति देते हैं। लिली की ध्वनिक उपमाएँ,^[8] पियर्स,^[9] होवे^[10] और मोहरिंग^[11] लाइटहिल के विचारों पर आधारित एयरोकॉस्टिक उपमाओं के कुछ उदाहरण मात्र हैं। सभी ध्वनिक उपमाओं को स्रोत शब्द पर वॉल्यूम एकीकरण की आवश्यकता होती है।

हालाँकि, ध्वनिक सादृश्य के साथ बड़ी कठिनाई यह है कि ध्वनि स्रोत सुपरसोनिक प्रवाह में कॉम्पैक्ट नहीं है। ध्वनि क्षेत्र की गणना करने में त्रुटियां सामने आ सकती हैं, जब तक कि कम्प्यूटेशनल डोमेन को उस स्थान से परे डाउनस्ट्रीम दिशा में नहीं बढ़ाया जा सकता जहां ध्वनि स्रोत पूरी तरह से नष्ट हो गया है। इसके अलावा, मंद समय-प्रभाव के सटीक खाते के लिए ध्वनि स्रोत के एकत्रित समाधानों के समय-इतिहास का एक लंबा रिकॉर्ड रखने की आवश्यकता होती है, जो फिर से एक भंडारण समस्या का प्रतिनिधित्व करता है। यथार्थवादी समस्याओं के लिए, आवश्यक भंडारण 1 टेराबाइट डेटा के क्रम तक पहुँच सकता है।

किरचॉफ इंटीग्रल

गुस्ताव किरचॉफ और हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ ने दिखाया कि एक सीमित स्रोत क्षेत्र से ध्वनि के विकिरण को इस स्रोत क्षेत्र को एक नियंत्रण सतह - तथाकथित किरचॉफ सतह - से घेरकर वर्णित किया जा सकता है। फिर सतह के अंदर या बाहर ध्वनि क्षेत्र, जहां किसी भी स्रोत की अनुमति नहीं है और बाईं ओर तरंग ऑपरेटर लागू होता है, को सतह पर मोनोपोल और डिपोल के सुपरपोजिशन के रूप में उत्पादित किया जा सकता है। सिद्धांत सीधे तरंग समीकरण से अनुसरण करता है। सतह पर मोनोपोल और द्विध्रुव की स्रोत शक्ति की गणना की जा सकती है यदि सतह पर सामान्य वेग (मोनोपोल के लिए) और दबाव (द्विध्रुव के लिए) क्रमशः ज्ञात हो। विधि का एक संशोधन केवल सामान्य वेग के आधार पर सतह पर दबाव की गणना करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, सामान्य वेग किसी गतिशील संरचना के FE-सिमुलेशन द्वारा दिया जा सकता है। हालाँकि, ज्ञात होने वाली सतह पर ध्वनिक दबाव से बचने के लिए किए गए संशोधन से गुंजयमान आवृत्तियों पर एक संलग्न मात्रा पर विचार करते समय समस्याएं पैदा होती हैं, जो उनकी पद्धति के कार्यान्वयन का एक प्रमुख मुद्दा है। उदाहरण के लिए, किरचॉफ इंटीग्रल विधि का उपयोग सीमा तत्व विधियों (बीईएम) में किया जाता है। एक गैर-शून्य प्रवाह वेग का हिसाब बाहरी प्रवाह गति के साथ एक गतिशील संदर्भ फ्रेम पर विचार करके लगाया जाता है, जिसमें ध्वनिक तरंग का प्रसार होता है। विधि का बार-बार उपयोग बाधाओं का कारण बन सकता है। सबसे पहले बाधा की सतह पर ध्वनि क्षेत्र की गणना की जाती है और फिर बाधा की सतह पर सामान्य वेग को रद्द करने के लिए इसकी सतह पर स्रोत जोड़कर बाधा को पेश किया जाता है। औसत प्रवाह क्षेत्र (ध्वनि की गति, घनत्व और वेग) की भिन्नता को एक समान विधि (उदाहरण के लिए दोहरी पारस्परिकता बीईएम) द्वारा ध्यान में रखा जा सकता है।

एफडब्ल्यू-एच

जॉन फ़फ़ॉक्स विलियम्स और हॉकिंग्स की एकीकरण पद्धति लाइटहिल की ध्वनिक सादृश्य पर आधारित है। हालाँकि, एक सीमित स्रोत क्षेत्र की धारणा के तहत कुछ गणितीय संशोधनों द्वारा, जो एक नियंत्रण सतह (एफडब्ल्यू-एच सतह) से घिरा होता है, वॉल्यूम इंटीग्रल से बचा जाता है। मोनोपोल और द्विध्रुव स्रोतों पर सतही अभिन्न अंग बने रहते हैं। किरचॉफ पद्धति से भिन्न, ये स्रोत लाइटहिल की सादृश्यता के माध्यम से सीधे नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का अनुसरण करते हैं। एफडब्ल्यू-एच सतह के बाहर के स्रोतों को लाइटहिल टेन्सर से प्राप्त चौगुनी स्रोतों पर एक अतिरिक्त वॉल्यूम इंटीग्रल द्वारा जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। हालाँकि, जब किरचॉफ के रैखिक सिद्धांत के समान मान्यताओं पर विचार किया जाता है, तो एफडब्ल्यू-एच विधि किरचॉफ विधि के बराबर होती है।

रैखिकीकृत यूलर समीकरण

घनत्व के एक समान माध्य प्रवाह पर आरोपित छोटी-छोटी गड़बड़ियों पर विचार करना $\rho _{0}$ , दबाव $p_{0}$ और x-अक्ष पर वेग $u_{0}$ , दो आयामी मॉडल के लिए यूलर समीकरण इस प्रकार प्रस्तुत किया गया है:

{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {G} }{\partial y}}=\mathbf {S}

,

कहाँ

\mathbf {U} ={\begin{bmatrix}\rho \\u\\v\\p\\\end{bmatrix}}\ ,\ \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\rho _{0}u+\rho u_{0}\\u_{0}u+p/\rho _{0}\\u_{0}v\\u_{0}p+\gamma p_{0}u\\\end{bmatrix}}\ ,\ \mathbf {G} ={\begin{bmatrix}\rho _{0}v\\0\\p/\rho _{0}\\\gamma p_{0}v\\\end{bmatrix}},

कहाँ $\rho$ , $u$ , $v$ और $p$ ध्वनिक क्षेत्र चर हैं, $\gamma$ विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $c_{p}/c_{v}$ , 20°C पर हवा के लिए $c_{p}/c_{v}=1.4$ , और स्रोत शब्द $\mathbf {S}$ दाईं ओर वितरित अस्थिर स्रोतों का प्रतिनिधित्व करता है। एलईई का अनुप्रयोग इंजन शोर अध्ययन में पाया जा सकता है।^[12] संपीड़ित शासनों में उच्च मैक संख्या प्रवाह के लिए, ध्वनिक प्रसार गैर-रैखिकता से प्रभावित हो सकता है और एलईई अब उपयुक्त गणितीय मॉडल नहीं हो सकता है।

स्यूडोस्पेक्ट्रल

कम्प्यूटेशनल एयरोकॉस्टिक्स से संबंधित तरंग प्रसार समस्याओं के लिए फूरियर स्यूडोस्पेक्ट्रल टाइम-डोमेन विधि लागू की जा सकती है। फूरियर छद्म वर्णक्रमीय समय डोमेन विधि का मूल एल्गोरिदम भौतिक सीमाओं के साथ बातचीत के बिना आवधिक समस्याओं के लिए काम करता है। कुछ गैर-आवधिक एयरोकॉस्टिक समस्याओं को हल करने के लिए बफर ज़ोन तकनीक के साथ संयुक्त एक स्लिप वॉल सीमा स्थिति प्रस्तावित की गई है।^[13] अन्य कम्प्यूटेशनल तरीकों की तुलना में, स्यूडोस्पेक्ट्रल विधि को इसकी उच्च-क्रम सटीकता के लिए पसंद किया जाता है।

ईआईएफ

असंपीड्य प्रवाह के बारे में विस्तार

एपीई

ध्वनिक गड़बड़ी समीकरण

R.Ewert और W.Schroder द्वारा स्रोत फ़िल्टरिंग के माध्यम से प्रवाह अपघटन पर आधारित ध्वनिक गड़बड़ी समीकरणों के पेपर का संदर्भ लें।^[14]

यह भी देखें

वायुध्वनिकी
ध्वनिक सिद्धांत

संदर्भ

↑ Hardin, J.C. and Lamkin, S. L., "Aeroacoustic Computation of Cylinder Wake Flow," AIAA Journal, 22(1):51-57, 1984
↑ Hardin, J. C. and Lamkin, S. L., "Computational aeroacoustics - Present status and future promise," IN: Aero- and hydro-acoustics; Proceedings of the Symposium, Ecully, France, July 3–6, 1985 (A87-13585 03-71). Berlin and New York, Springer-Verlag, 1986, p. 253-259.
↑ Ffowcs Williams, "The Noise from Turbulence Convected at High Speed", Philosophical Transactions of the Royal Society, Vol. A255, 1963, pp. 496-503
↑ Ffowcs Williams, J. E., and Hawkings, D. L., "Sound Generated by Turbulence and Surfaces in Arbitrary Motion", Philosophical Transactions of the Royal Society, Vol. A264, 1969, pp. 321-342
↑ C. K. W. Tam, and J. C. Webb, "Dispersion-Relation-Preserving Finite Difference Schemes for Computational Acoustics", Journal of Computational Physics, Vol. 107, 1993, pp. 262-281
↑ Lighthill, M. J., "On Sound Generated Aerodynamically, i", Proc. Roy. Soc. A, Vol. 211, 1952, pp 564-587
↑ Lighthill, M. J., "On Sound Generated Aerodynamically, ii", Proc. Roy. Soc. A, Vol. 222, 1954, pp 1-32
↑ Lilley, G. M., "On the noise from air jets",AGARD CP 131, 13.1-13.12
↑ Pierce, A. D., "Wave equation for the sound in fluids with unsteady inhomogeneous flow", J. Acoust. Soc. Am., 87:2292-2299, 1990
↑ Howe, M. S., "Contributions to the theory of aerodynamic sound, with application to excess jet noise and the theory of the flute", J. Fluid Mech., 71:625-673, 1975
↑ Mohring, W. A well posed acoustic analogy based on a moving acoustic medium. 2010, arXiv preprint arXiv:1009.3766.
↑ X. X. Chen, X. Huang and X. Zhang, "Sound Radiation from a Bypass Duct with Bifurcations", AIAA Journal, Vol. 47, No. 2, 2009. pp.429-436.
↑ X. Huang and X. Zhang, "A Fourier Pseudospectral Method for Some Computational Aeroacoustics Problems", International Journal of Aeroacoustics, Vol 5, No 3, 2006. pp.279-294.
↑ Ewert, R.; Schröder, W. (July 2003). "स्रोत फ़िल्टरिंग के माध्यम से प्रवाह अपघटन पर आधारित ध्वनिक गड़बड़ी समीकरण". Journal of Computational Physics. 188 (2): 365–398. Bibcode:2003JCoPh.188..365E. doi:10.1016/S0021-9991(03)00168-2.

स्रोत

लाइटहिल, एम.जे., ए जनरल इंट्रोडक्शन टू एरोअकॉस्टिक्स एंड एटमॉस्फेरिक साउंड्स, आईसीएएसई रिपोर्ट 92-52, नासा लैंगली रिसर्च सेंटर, हैम्पटन, वीए, 1992

बाहरी संबंध

[1] Hardin, J.C. and Lamkin, S. L., "Aeroacoustic Computation of Cylinder Wake Flow," AIAA Journal, 22(1):51-57, 1984

[2] Hardin, J. C. and Lamkin, S. L., "Computational aeroacoustics - Present status and future promise," IN: Aero- and hydro-acoustics; Proceedings of the Symposium, Ecully, France, July 3–6, 1985 (A87-13585 03-71). Berlin and New York, Springer-Verlag, 1986, p. 253-259.

[3] Ffowcs Williams, "The Noise from Turbulence Convected at High Speed", Philosophical Transactions of the Royal Society, Vol. A255, 1963, pp. 496-503

[4] Ffowcs Williams, J. E., and Hawkings, D. L., "Sound Generated by Turbulence and Surfaces in Arbitrary Motion", Philosophical Transactions of the Royal Society, Vol. A264, 1969, pp. 321-342

[5] C. K. W. Tam, and J. C. Webb, "Dispersion-Relation-Preserving Finite Difference Schemes for Computational Acoustics", Journal of Computational Physics, Vol. 107, 1993, pp. 262-281

[Lighthill1952-6] Lighthill, M. J., "On Sound Generated Aerodynamically, i", Proc. Roy. Soc. A, Vol. 211, 1952, pp 564-587

[Lighthill1954-7] Lighthill, M. J., "On Sound Generated Aerodynamically, ii", Proc. Roy. Soc. A, Vol. 222, 1954, pp 1-32

[8] Lilley, G. M., "On the noise from air jets",AGARD CP 131, 13.1-13.12

[9] Pierce, A. D., "Wave equation for the sound in fluids with unsteady inhomogeneous flow", J. Acoust. Soc. Am., 87:2292-2299, 1990

[10] Howe, M. S., "Contributions to the theory of aerodynamic sound, with application to excess jet noise and the theory of the flute", J. Fluid Mech., 71:625-673, 1975

[11] Mohring, W. A well posed acoustic analogy based on a moving acoustic medium. 2010, arXiv preprint arXiv:1009.3766.

[12] X. X. Chen, X. Huang and X. Zhang, "Sound Radiation from a Bypass Duct with Bifurcations", AIAA Journal, Vol. 47, No. 2, 2009. pp.429-436.

[13] X. Huang and X. Zhang, "A Fourier Pseudospectral Method for Some Computational Aeroacoustics Problems", International Journal of Aeroacoustics, Vol 5, No 3, 2006. pp.279-294.

[14] Ewert, R.; Schröder, W. (July 2003). "स्रोत फ़िल्टरिंग के माध्यम से प्रवाह अपघटन पर आधारित ध्वनिक गड़बड़ी समीकरण". Journal of Computational Physics. 188 (2): 365–398. Bibcode:2003JCoPh.188..365E. doi:10.1016/S0021-9991(03)00168-2.

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