तंत्र डिज़ाइन

ऊपर दिया गया स्टैनली रेइटर आरेख तंत्र डिज़ाइन के खेल को दर्शाता है। ऊपरी बाएँ स्थान $\Theta$ प्रकार स्थान और ऊपरी-दाएँ स्थान X परिणामों के स्थान को दर्शाता है। सामाजिक चयन समारोह $f(\theta )$ किसी परिणाम के लिए एक प्रकार की प्रोफ़ाइल मैप करता है। तंत्र डिज़ाइन के खेलों में, एजेंट संदेश भेजते हैं $M$ खेल के माहौल में $g$. खेल में संतुलन $\xi (M,g,\theta )$ कुछ सामाजिक चयन फ़ंक्शन को कार्यान्वित करने के लिए डिज़ाइन किया जा सकता है $f(\theta )$.

तंत्र डिजाइन अर्थशास्त्र और खेल सिद्धांत में एक क्षेत्र है जो रणनीतिक सेटिंग्स में, वांछित उद्देश्यों की ओर, आर्थिक तंत्र या प्रोत्साहन को डिजाइन करने के लिए एक उद्देश्य-प्रथम दृष्टिकोण लेता है, जहां खिलाड़ी तर्कसंगत रूप से कार्य करते हैं। क्योंकि यह खेल के अंत में शुरू होता है, फिर पीछे की ओर जाता है, इसे रिवर्स गेम थ्योरी भी कहा जाता है। इसमें अर्थशास्त्र और राजनीति से लेकर बाजार डिजाइन, नीलामी सिद्धांत और सामाजिक विकल्प सिद्धांत से लेकर नेटवर्क-सिस्टम (इंटरनेट इंटरडोमेन रूटिंग, प्रायोजित खोज नीलामी) जैसे क्षेत्रों में व्यापक अनुप्रयोग हैं।

मैकेनिज्म डिज़ाइन निजी-सूचना खेलों के एक वर्ग के लिए समाधान अवधारणाओं का अध्ययन करता है। लियोनिद हर्विक्ज़ बताते हैं कि 'एक डिज़ाइन समस्या में, लक्ष्य फ़ंक्शन मुख्य दिया गया है, जबकि तंत्र अज्ञात है. इसलिए, डिज़ाइन समस्या पारंपरिक आर्थिक सिद्धांत का उलटा है, जो आम तौर पर किसी दिए गए तंत्र के प्रदर्शन के विश्लेषण के लिए समर्पित है।' तो, इन खेलों की दो विशिष्ट विशेषताएं हैं:

• कि एक गेम डिज़ाइनर किसी गेम को विरासत में लेने के बजाय गेम संरचना को चुनता है
• कि डिज़ाइनर को खेल के परिणाम में रुचि है

2007 में आर्थिक विज्ञान में नोबेल मेमोरियल पुरस्कार लियोनिद हरविक्ज़, एरिक मास्किन और रोजर मायर्सन को तंत्र डिजाइन सिद्धांत की नींव रखने के लिए प्रदान किया गया था।

अंतर्ज्ञान

बायेसियन खेलों की एक दिलचस्प कक्षा में, एक खिलाड़ी, जिसे प्रिंसिपल कहा जाता है, अन्य खिलाड़ियों को निजी तौर पर ज्ञात जानकारी के आधार पर अपने व्यवहार को नियंत्रित करना चाहेगा। उदाहरण के लिए, प्रिंसिपल यह जानना चाहेंगे कि सेल्समैन जिस पुरानी कार के बारे में बता रहा है, उसकी वास्तविक गुणवत्ता क्या है। वह सिर्फ सेल्समैन से पूछकर कुछ नहीं सीख सकता, क्योंकि सच्चाई को तोड़-मरोड़कर पेश करना सेल्समैन के हित में है। हालाँकि, तंत्र डिज़ाइन में प्रिंसिपल को एक फायदा होता है: वह एक गेम डिज़ाइन कर सकता है जिसके नियम दूसरों को उस तरह से कार्य करने के लिए प्रभावित कर सकते हैं जैसा वह चाहता है।

तंत्र डिज़ाइन सिद्धांत के बिना, प्रिंसिपल की समस्या को हल करना मुश्किल होगा। उसे सभी संभावित खेलों पर विचार करना होगा और उसे चुनना होगा जो अन्य खिलाड़ियों की रणनीति पर सबसे अच्छा प्रभाव डालता है। इसके अलावा, प्रिंसिपल को उन एजेंटों से निष्कर्ष निकालना होगा जो उससे झूठ बोल सकते हैं। तंत्र डिज़ाइन और विशेष रूप से रहस्योद्घाटन सिद्धांत के लिए धन्यवाद, प्रिंसिपल को केवल उन खेलों पर विचार करने की आवश्यकता है जिनमें एजेंट अपनी निजी जानकारी को सच्चाई से रिपोर्ट करते हैं।

नींव

तंत्र

तंत्र डिज़ाइन का खेल निजी जानकारी का खेल है जिसमें एजेंटों में से एक, जिसे प्रिंसिपल कहा जाता है, भुगतान संरचना चुनता है। अगले Harsanyi (1967), एजेंटों को प्रकृति से गुप्त संदेश प्राप्त होते हैं जिनमें भुगतान से संबंधित जानकारी होती है। उदाहरण के लिए, किसी संदेश में उनकी प्राथमिकताओं या बिक्री के लिए किसी वस्तु की गुणवत्ता के बारे में जानकारी हो सकती है। हम इस जानकारी को एजेंट का प्रकार कहते हैं (आमतौर पर नोट किया जाता है)। $\theta$ और तदनुसार प्रकारों का स्थान $\Theta$). फिर एजेंट प्रिंसिपल को एक प्रकार की रिपोर्ट करते हैं (आमतौर पर टोपी के साथ नोट किया जाता है)। ${\hat {\theta }}$) यह एक रणनीतिक झूठ हो सकता है। रिपोर्ट के बाद, प्रिंसिपल और एजेंटों को प्रिंसिपल द्वारा चुनी गई भुगतान संरचना के अनुसार भुगतान किया जाता है।

खेल का समय है:

1. प्रिंसिपल एक तंत्र के लिए प्रतिबद्ध है $y()$ जो परिणाम देता है $y$ रिपोर्ट किए गए प्रकार के एक फ़ंक्शन के रूप में
2. एजेंट, संभवतः बेईमानी से, एक प्रकार की प्रोफ़ाइल की रिपोर्ट करते हैं ${\hat {\theta }}$
3. तंत्र निष्पादित होता है (एजेंट परिणाम प्राप्त करते हैं $y({\hat {\theta }})$)

यह समझने के लिए कि किसे क्या मिलता है, परिणाम को विभाजित करना आम बात है $y$ माल आवंटन और धन हस्तांतरण में, $y(\theta )=\{x(\theta ),t(\theta )\},\ x\in X,t\in T$ कहाँ $x$ प्रकार के कार्य के रूप में प्रदान की गई या प्राप्त की गई वस्तुओं के आवंटन के लिए खड़ा है, और $t$ एक प्रकार के कार्य के रूप में मौद्रिक हस्तांतरण को दर्शाता है।

एक बेंचमार्क के रूप में डिजाइनर अक्सर यह परिभाषित करते हैं कि पूरी जानकारी के तहत क्या होगा। ए को परिभाषित करेंsocial choice function $f(\theta )$ प्राप्त या प्रदान किए गए माल के आवंटन के लिए (सही) प्रकार की प्रोफ़ाइल को सीधे मैप करना,

$f(\theta ):\Theta \rightarrow X$

इसके विपरीत एक तंत्र रिपोर्ट प्रकार की प्रोफ़ाइल को परिणाम (फिर से, माल आवंटन दोनों) में मैप करता है $x$ और एक धन हस्तांतरण $t$)

$y({\hat {\theta }}):\Theta \rightarrow Y$

रहस्योद्घाटन सिद्धांत

Main article: Revelation principle

एक प्रस्तावित तंत्र एक बायेसियन गेम (निजी जानकारी का एक गेम) का गठन करता है, और यदि यह अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है तो गेम में बायेसियन नैश संतुलन होता है। संतुलन पर एजेंट प्रकार के कार्य के रूप में रणनीतिक रूप से अपनी रिपोर्ट चुनते हैं

${\hat {\theta }}(\theta )$

ऐसी सेटिंग में बायेसियन संतुलन को हल करना मुश्किल है क्योंकि इसमें एजेंटों की सर्वोत्तम-प्रतिक्रिया रणनीतियों और संभावित रणनीतिक झूठ से सर्वोत्तम अनुमान को हल करना शामिल है। एक व्यापक परिणाम के लिए धन्यवाद, जिसे रहस्योद्घाटन सिद्धांत कहा जाता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि एक डिजाइनर कोई भी तंत्र बना सकता है संतुलन पर ध्यान केंद्रित करें जिसमें एजेंट सच्चाई से प्रकार की रिपोर्ट करते हैं। रहस्योद्घाटन सिद्धांत कहता है: प्रत्येक बायेसियन नैश संतुलन के लिए एक बायेसियन गेम समान संतुलन परिणाम के साथ मेल खाता है लेकिन जिसमें खिलाड़ी सच्चाई से रिपोर्ट प्रकार करते हैं।

यह अत्यंत उपयोगी है. सिद्धांत सभी खिलाड़ियों को सच्चाई से रिपोर्ट प्रकार (एक प्रोत्साहन अनुकूलता बाधा के अधीन) मानकर बायेसियन संतुलन को हल करने की अनुमति देता है। एक झटके में यह रणनीतिक व्यवहार या झूठ पर विचार करने की आवश्यकता को समाप्त कर देता है।

इसका प्रमाण बिल्कुल प्रत्यक्ष है. एक बायेसियन गेम मान लें जिसमें एजेंट की रणनीति और भुगतान उसके प्रकार के कार्य हैं और अन्य क्या करते हैं, $u_{i}\left(s_{i}(\theta _{i}),s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)$. परिभाषा के अनुसार एजेंट I की संतुलन रणनीति $s(\theta _{i})$ क्या नैश अपेक्षित उपयोगिता में है:

$s_{i}(\theta _{i})\in \arg \max _{s'_{i}\in S_{i}}\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(s'_{i},s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)$

बस एक तंत्र को परिभाषित करें जो एजेंटों को समान संतुलन चुनने के लिए प्रेरित करेगा। परिभाषित करने के लिए सबसे आसान तरीका यह है कि तंत्र उनके लिए एजेंटों की संतुलन रणनीतियों को निभाने के लिए प्रतिबद्ध हो।

$y({\hat {\theta }}):\Theta \rightarrow S(\Theta )\rightarrow Y$

ऐसे तंत्र के तहत एजेंटों को निश्चित रूप से प्रकार प्रकट करना इष्टतम लगता है क्योंकि तंत्र उन रणनीतियों को खेलता है जिन्हें वे वैसे भी इष्टतम पाते हैं। औपचारिक रूप से, चुनें $y(\theta )$ ऐसा है कि

${\begin{aligned}\theta _{i}\in {}&\arg \max _{\theta '_{i}\in \Theta }\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(y(\theta '_{i},\theta _{-i}),\theta _{i}\right)\\[5pt]&=\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(s_{i}(\theta ),s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)\end{aligned}}$

कार्यान्वयनशीलता

किसी तंत्र का डिज़ाइनर आम तौर पर या तो आशा करता है

• एक तंत्र डिज़ाइन करना $y()$ जो एक सामाजिक चयन फ़ंक्शन को कार्यान्वित करता है
• तंत्र खोजने के लिए $y()$ जो कुछ मूल्य मानदंड को अधिकतम करता है (जैसे लाभ)

सामाजिक चयन समारोह को कार्यान्वित करना $f(\theta )$ कुछ ढूंढना है $t(\theta )$ स्थानांतरण फ़ंक्शन जो एजेंटों को चुनने के लिए प्रेरित करता है $f(\theta )$. औपचारिक रूप से, यदि तंत्र के तहत संतुलन रणनीति प्रोफ़ाइल सामाजिक चयन फ़ंक्शन के समान सामान आवंटन पर मैप करती है,

$f(\theta )=x\left({\hat {\theta }}(\theta )\right)$

हम कहते हैं कि तंत्र सामाजिक चयन फ़ंक्शन को कार्यान्वित करता है।

रहस्योद्घाटन सिद्धांत के लिए धन्यवाद, डिजाइनर आमतौर पर एक स्थानांतरण फ़ंक्शन ढूंढ सकता है $t(\theta )$ संबंधित सत्य कथन खेल को हल करके एक सामाजिक विकल्प को लागू करना। यदि एजेंटों को सत्यतापूर्वक रिपोर्ट प्रकार देना सर्वोत्तम लगता है,

${\hat {\theta }}(\theta )=\theta$

हम कहते हैं कि ऐसा तंत्र सचमुच कार्यान्वयन योग्य है (या बस कार्यान्वयन योग्य है)। फिर कार्य को सत्यतापूर्वक कार्यान्वयन के लिए हल करना है $t(\theta )$ और इस स्थानांतरण फ़ंक्शन को मूल गेम में लागू करें। एक आवंटन $x(\theta )$ यदि कोई स्थानांतरण फ़ंक्शन मौजूद है तो यह वास्तव में कार्यान्वयन योग्य है $t(\theta )$ ऐसा है कि

$u(x(\theta ),t(\theta ),\theta )\geq u(x({\hat {\theta }}),t({\hat {\theta }}),\theta )\ \forall \theta ,{\hat {\theta }}\in \Theta$

जिसे प्रोत्साहन अनुकूलता (आईसी) बाधा भी कहा जाता है।

अनुप्रयोगों में, आईसी स्थिति आकार का वर्णन करने की कुंजी है $t(\theta )$ किसी भी उपयोगी तरीके से. कुछ शर्तों के तहत यह स्थानांतरण फ़ंक्शन को विश्लेषणात्मक रूप से अलग भी कर सकता है। इसके अतिरिक्त, यदि एजेंटों के पास नहीं खेलने का विकल्प होता है तो कभी-कभी भागीदारी (व्यक्तिगत तर्कसंगतता) बाधा भी जोड़ी जाती है।

आवश्यकता

एक ऐसी सेटिंग पर विचार करें जिसमें सभी एजेंटों के पास एक प्रकार-आकस्मिक उपयोगिता फ़ंक्शन हो $u(x,t,\theta )$. माल आवंटन पर भी विचार करें $x(\theta )$ वह वेक्टर-मूल्यवान और आकार है $k$ (जो अनुमति देता है $k$ वस्तुओं की संख्या) और मान लें कि यह अपने तर्कों के संबंध में टुकड़ों में निरंतर है।

कार्यक्रम $x(\theta )$ कार्यान्वयन तभी संभव है जब

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\frac {\partial u/\partial x_{k}}{\left|\partial u/\partial t\right|}}\right){\frac {\partial x}{\partial \theta }}\geq 0$

जब कभी भी $x=x(\theta )$ और $t=t(\theta )$ और x निरंतर है $\theta$. यह एक आवश्यक शर्त है और सत्य-कथन को मानते हुए एजेंट की अनुकूलन समस्या के पहले और दूसरे क्रम की स्थितियों से ली गई है।

इसका अर्थ दो टुकड़ों में समझा जा सकता है. पहला भाग कहता है कि एजेंट की प्रतिस्थापन की सीमांत दर (एमआरएस) प्रकार के एक फ़ंक्शन के रूप में बढ़ती है,

${\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\frac {\partial u/\partial x_{k}}{\left|\partial u/\partial t\right|}}\right)={\frac {\partial }{\partial \theta }}\mathrm {MRS} _{x,t}$

संक्षेप में, यदि तंत्र उच्च प्रकार के एजेंट को बेहतर सौदा प्रदान नहीं करता है तो एजेंट सच नहीं बताएंगे। अन्यथा, किसी भी तंत्र का सामना करने वाले उच्च प्रकार, जो रिपोर्टिंग के लिए उच्च प्रकार को दंडित करते हैं, झूठ बोलेंगे और घोषणा करेंगे कि वे निम्न प्रकार के हैं, सत्य बताने वाली आईसी बाधा का उल्लंघन करेंगे। दूसरा भाग एक एकरसता की स्थिति है जो घटित होने की प्रतीक्षा कर रही है,

${\frac {\partial x}{\partial \theta }}$

जिसका, सकारात्मक होने का मतलब है कि उच्च प्रकारों को अधिक अच्छाई दी जानी चाहिए।

दोनों टुकड़ों के बीच बातचीत की संभावना है। यदि किसी प्रकार की श्रेणी के लिए अनुबंध में उच्च प्रकार की तुलना में कम मात्रा की पेशकश की जाती है $\partial x/\partial \theta <0$, यह संभव है कि तंत्र उच्च प्रकार की छूट देकर क्षतिपूर्ति कर सके। लेकिन निम्न-प्रकार के एजेंटों के लिए ऐसा अनुबंध पहले से मौजूद है, इसलिए यह समाधान रोगविज्ञानी है। ऐसा समाधान कभी-कभी किसी तंत्र के समाधान की प्रक्रिया में होता है। इन मामलों में यह मैकेनिज्म डिजाइन#मायर्सन इस्त्री होना चाहिए। बहु-अच्छे वातावरण में डिज़ाइनर के लिए यह भी संभव है कि वह एजेंट को किसी अन्य वस्तु के कम के स्थान पर अधिक वस्तु देकर पुरस्कृत करे (जैसे [[नकली मक्खन]] के लिए मक्खन)। तंत्र डिजाइन सिद्धांत में बहु-अच्छे तंत्र एक सतत समस्या हैं।

पर्याप्तता

कार्यान्वयन सुनिश्चित करने के लिए तंत्र डिज़ाइन पेपर आमतौर पर दो धारणाएँ बनाते हैं:

1. ${\frac {\partial }{\partial \theta }}{\frac {\partial u/\partial x_{k}}{\left|\partial u/\partial t\right|}}>0\ \forall k$

इसे कई नामों से जाना जाता है: सिंगल-क्रॉसिंग स्थिति, सॉर्टिंग स्थिति और स्पेंस-मिर्लीज़ स्थिति। इसका मतलब है कि उपयोगिता फ़ंक्शन इस प्रकार का है कि एजेंट की एमआरएस प्रकार में वृद्धि हो रही है।

1. <ली मान= 2 >$\exists K_{0},K_{1}{\text{ such that }}\left|{\frac {\partial u/\partial x_{k}}{\partial u/\partial t}}\right|\leq K_{0}+K_{1}|t|$

यह एमआरएस की वृद्धि दर को सीमित करने वाली एक तकनीकी स्थिति है।

ये धारणाएँ किसी भी एकरसता प्रदान करने के लिए पर्याप्त हैं $x(\theta )$ कार्यान्वयन योग्य है (ए $t(\theta )$ मौजूद है जो इसे कार्यान्वित कर सकता है)। इसके अलावा, एकल-अच्छी सेटिंग में एकल-क्रॉसिंग स्थिति केवल एक मोनोटोनिक प्रदान करने के लिए पर्याप्त है $x(\theta )$ कार्यान्वयन योग्य है, इसलिए डिज़ाइनर अपनी खोज को एक मोनोटोनिक तक सीमित कर सकता है $x(\theta )$.

हाइलाइट किए गए परिणाम

राजस्व तुल्यता प्रमेय

Main article: Revenue equivalence

Vickrey (1961) एक प्रतिष्ठित परिणाम देता है कि नीलामी के एक बड़े वर्ग का कोई भी सदस्य विक्रेता को समान अपेक्षित राजस्व का आश्वासन देता है और यह कि अपेक्षित राजस्व विक्रेता के लिए सबसे अच्छा है। यही स्थिति है यदि

1. खरीदारों के पास समान मूल्यांकन कार्य हैं (जो एक प्रकार का कार्य हो सकता है)
2. खरीदारों के प्रकार स्वतंत्र रूप से वितरित किए जाते हैं
3. खरीदार प्रकार सतत वितरण # सतत संभाव्यता वितरण से लिए गए हैं
4. प्रकार वितरण में मोनोटोन जोखिम दर गुण होता है
5. तंत्र उच्चतम मूल्यांकन वाले खरीदार को सामान बेचता है

अंतिम शर्त प्रमेय के लिए महत्वपूर्ण है। एक निहितार्थ यह है कि विक्रेता को अधिक राजस्व प्राप्त करने के लिए कम मूल्यांकन वाले एजेंट को वस्तु देने का मौका लेना चाहिए। आमतौर पर इसका मतलब यह है कि उसे वस्तु बिल्कुल भी न बेचने का जोखिम उठाना होगा।

विक्रे-क्लार्क-ग्रोव्स तंत्र

Main article: Vickrey–Clarke–Groves mechanism

विक्की (1961) नीलामी मॉडल का बाद में विस्तार किया गया Clarke (1971) और ग्रूव्स एक सार्वजनिक पसंद की समस्या का इलाज करते हैं जिसमें एक सार्वजनिक परियोजना की लागत सभी एजेंटों द्वारा वहन की जाती है, उदाहरण के लिए। क्या नगरपालिका पुल बनाना है। परिणामी विकी-क्लार्क-ग्रोव्स तंत्र एजेंटों को जनता की भलाई के सामाजिक रूप से कुशल आवंटन को चुनने के लिए प्रेरित कर सकता है, भले ही एजेंटों के पास निजी तौर पर ज्ञात मूल्यांकन हो। दूसरे शब्दों में, यह आम लोगों की त्रासदी को हल कर सकता है - कुछ शर्तों के तहत, विशेष रूप से क्वासिलिनियर उपयोगिता में या यदि बजट संतुलन की आवश्यकता नहीं है।

जिसमें एक सेटिंग पर विचार करें $I$ कई एजेंटों के पास निजी मूल्यांकन के साथ चतुर्रेखीय उपयोगिता है $v(x,t,\theta )$ मुद्रा कहां है $t$ रैखिक रूप से मूल्यांकित किया जाता है। वीसीजी डिज़ाइनर वास्तविक प्रकार की प्रोफ़ाइल प्राप्त करने के लिए एक प्रोत्साहन संगत (इसलिए सच्चाई से कार्यान्वयन योग्य) तंत्र डिज़ाइन करता है, जिससे डिज़ाइनर सामाजिक रूप से इष्टतम आवंटन लागू करता है

$x_{I}^{*}(\theta )\in {\underset {x\in X}{\operatorname {argmax} }}\sum _{i\in I}v(x,\theta _{i})$

वीसीजी तंत्र की चतुराई वह तरीका है जिससे यह सत्य रहस्योद्घाटन को प्रेरित करता है। यह किसी भी एजेंट को उसके कारण होने वाली विकृति की कीमत पर दंडित करके गलत रिपोर्ट करने के प्रोत्साहन को समाप्त करता है। एजेंट जो रिपोर्ट बना सकता है, उनमें से वीसीजी तंत्र एक अशक्त रिपोर्ट की अनुमति देता है जिसमें कहा गया है कि वह जनता की भलाई के प्रति उदासीन है और केवल धन हस्तांतरण की परवाह करता है। यह प्रभावी रूप से एजेंट को खेल से हटा देता है। यदि कोई एजेंट किसी प्रकार की रिपोर्ट करना चुनता है, तो वीसीजी तंत्र एजेंट से शुल्क लेता है यदि उसकी रिपोर्ट महत्वपूर्ण है, अर्थात यदि उसकी रिपोर्ट अन्य एजेंटों को नुकसान पहुंचाने के लिए इष्टतम आवंटन x को बदल देती है। भुगतान की गणना की जाती है

$t_{i}({\hat {\theta }})=\sum _{j\in I-i}v_{j}(x_{I-i}^{*}(\theta _{I-i}),\theta _{j})-\sum _{j\in I-i}v_{j}(x_{I}^{*}({\hat {\theta }}_{i},\theta _{I}),\theta _{j})$

जो एक एजेंट की रिपोर्टिंग के कारण अन्य एजेंटों (और उसके अपने नहीं) की उपयोगिताओं में आई विकृति का सारांश देता है।

गिब्बार्ड-सैटरथवेट प्रमेय

Main article: Gibbard–Satterthwaite theorem

Gibbard (1973) और Satterthwaite (1975) एरो की असंभवता प्रमेय की भावना के समान एक असंभवता परिणाम दें। खेलों के एक बहुत ही सामान्य वर्ग के लिए, केवल तानाशाही सामाजिक चयन कार्यों को लागू किया जा सकता है।

एक सामाजिक चयन फ़ंक्शन f() 'तानाशाहीपूर्ण' है यदि एक एजेंट को हमेशा अपना सबसे पसंदीदा सामान आवंटन प्राप्त होता है,

${\text{for }}f(\Theta ){\text{, }}\exists i\in I{\text{ such that }}u_{i}(x,\theta _{i})\geq u_{i}(x',\theta _{i})\ \forall x'\in X$

प्रमेय में कहा गया है कि सामान्य परिस्थितियों में कोई भी सत्यतापूर्वक कार्यान्वयन योग्य सामाजिक चयन कार्य तानाशाही होना चाहिए यदि,

1. X परिमित है और इसमें कम से कम तीन तत्व हैं
2. प्राथमिकताएँ तर्कसंगत हैं
3. $f(\Theta )=X$

मायर्सन-सैटरथवेट प्रमेय

Main article: Myerson–Satterthwaite theorem

Myerson and Satterthwaite (1983)दिखाता है कि दो पार्टियों के लिए किसी वस्तु का व्यापार करने का कोई प्रभावी तरीका नहीं है, जब उनमें से प्रत्येक के पास इसके लिए गुप्त और संभावित रूप से अलग-अलग मूल्यांकन हों, बिना किसी एक पार्टी को घाटे में व्यापार करने के लिए मजबूर करने के जोखिम के बिना। यह अर्थशास्त्र में सबसे उल्लेखनीय नकारात्मक परिणामों में से एक है - कल्याणकारी अर्थशास्त्र के मूलभूत प्रमेयों का एक प्रकार का नकारात्मक दर्पण।

शेपली मान

Main article: Shapley value

फिलिप्स और मार्डेन (2018) ने साबित किया कि अवतल लागत कार्यों के साथ लागत-साझाकरण गेम के लिए, इष्टतम लागत-साझाकरण नियम जो सबसे पहले एक गेम में सबसे खराब स्थिति की अक्षमताओं (अराजकता की कीमत) को अनुकूलित करता है, और फिर दूसरे सबसे अच्छे मामले को अनुकूलित करता है। परिणाम (स्थिरता की कीमत), बिल्कुल शेपली मूल्य लागत-साझाकरण नियम है। एक सममित कथन उत्तल उपयोगिता कार्यों के साथ उपयोगिता-साझाकरण गेम के लिए समान रूप से मान्य है।

उदाहरण

मूल्य भेदभाव

Mirrlees (1971) एक ऐसी सेटिंग पेश करता है जिसमें ट्रांसफर फ़ंक्शन t() को हल करना आसान है। अपनी प्रासंगिकता और सुगमता के कारण यह साहित्य में एक सामान्य सेटिंग है। एकल-अच्छी, एकल-एजेंट सेटिंग पर विचार करें जिसमें एजेंट के पास अज्ञात प्रकार के पैरामीटर के साथ क्वासिलिनियर उपयोगिता है $\theta$

$u(x,t,\theta )=V(x,\theta )-t$

और जिसमें प्रिंसिपल के पास एजेंट के प्रकार पर पूर्व संचयी वितरण फ़ंक्शन होता है $P(\theta )$. प्रिंसिपल उत्तल सीमांत लागत c(x) पर माल का उत्पादन कर सकता है और लेनदेन से अपेक्षित लाभ को अधिकतम करना चाहता है

$\max _{x(\theta ),t(\theta )}\mathbb {E} _{\theta }\left[t(\theta )-c\left(x(\theta )\right)\right]$

आईसी और आईआर शर्तों के अधीन

$u(x(\theta ),t(\theta ),\theta )\geq u(x(\theta '),t(\theta '),\theta )\ \forall \theta ,\theta '$

$u(x(\theta ),t(\theta ),\theta )\geq {\underline {u}}(\theta )\ \forall \theta$

यहां प्रिंसिपल एक एकाधिकारवादी है जो लाभ-अधिकतम मूल्य योजना निर्धारित करने की कोशिश कर रहा है जिसमें वह ग्राहक के प्रकार की पहचान नहीं कर सकता है। एक सामान्य उदाहरण व्यवसाय, अवकाश और छात्र यात्रियों के लिए किराया निर्धारित करने वाली एयरलाइन है। आईआर शर्त के कारण इसे भागीदारी को प्रेरित करने के लिए हर प्रकार को पर्याप्त अच्छा सौदा देना पड़ता है। आईसी शर्त के कारण इसे प्रत्येक प्रकार को इतना अच्छा सौदा देना होता है कि वह प्रकार किसी अन्य प्रकार के सौदे को प्राथमिकता दे।

मिर्लीज़ (1971) द्वारा दी गई एक तरकीब यह है कि ट्रांसफर फ़ंक्शन को अधिकतम होने की उम्मीद से खत्म करने के लिए लिफ़ाफ़ा प्रमेय का उपयोग किया जाए,

${\text{let }}U(\theta )=\max _{\theta '}u\left(x(\theta '),t(\theta '),\theta \right)$

${\frac {dU}{d\theta }}={\frac {\partial u}{\partial \theta }}={\frac {\partial V}{\partial \theta }}$

एकीकरण,

$U(\theta )={\underline {u}}(\theta _{0})+\int _{\theta _{0}}^{\theta }{\frac {\partial V}{\partial {\tilde {\theta }}}}d{\tilde {\theta }}$

कहाँ $\theta _{0}$ कुछ सूचकांक प्रकार है. प्रोत्साहन-संगत की जगह $t(\theta )=V(x(\theta ),\theta )-U(\theta )$ अधिकतम में,

${\begin{aligned}&\mathbb {E} _{\theta }\left[V(x(\theta ),\theta )-{\underline {u}}(\theta _{0})-\int _{\theta _{0}}^{\theta }{\frac {\partial V}{\partial {\tilde {\theta }}}}d{\tilde {\theta }}-c\left(x(\theta )\right)\right]\\&{}=\mathbb {E} _{\theta }\left[V(x(\theta ),\theta )-{\underline {u}}(\theta _{0})-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial V}{\partial \theta }}-c\left(x(\theta )\right)\right]\end{aligned}}$

भागों द्वारा एकीकरण के बाद. इस फ़ंक्शन को बिंदुवार अधिकतम किया जा सकता है.

क्योंकि $U(\theta )$ प्रोत्साहन-संगत है पहले से ही डिजाइनर आईसी बाधा को हटा सकता है। यदि उपयोगिता फ़ंक्शन स्पेंस-मिर्लीज़ स्थिति को संतुष्ट करता है तो एक मोनोटोनिक $x(\theta )$ फ़ंक्शन मौजूद है. आईआर बाधा को संतुलन पर जांचा जा सकता है और शुल्क अनुसूची को तदनुसार बढ़ाया या घटाया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, अभिव्यक्ति में खतरे की दर की उपस्थिति पर ध्यान दें। यदि प्रकार वितरण में मोनोटोन खतरा अनुपात गुण होता है, तो FOC t() को हल करने के लिए पर्याप्त है। यदि नहीं, तो यह जांचना आवश्यक है कि आवंटन और शुल्क अनुसूचियों के दौरान एकरसता बाधा (ऊपर तंत्र डिजाइन#पर्याप्तता देखें) हर जगह संतुष्ट है या नहीं। यदि नहीं, तो डिज़ाइनर को मायर्सन इस्त्री का उपयोग करना चाहिए।

मायर्सन इस्त्री

ऐसे सामान या मूल्य अनुसूची का समाधान करना संभव है जो प्रथम-क्रम की शर्तों को पूरा करता हो फिर भी एकरस न हो। यदि ऐसा है तो फ़ंक्शन को समतल करने के लिए कुछ मान चुनकर शेड्यूल को इस्त्री करना आवश्यक है।

कुछ अनुप्रयोगों में डिज़ाइनर मूल्य और आवंटन शेड्यूल के लिए प्रथम-क्रम की शर्तों को हल कर सकता है, फिर भी उन्हें पता चलता है कि वे मोनोटोनिक नहीं हैं। उदाहरण के लिए, क्वासिलिनियर सेटिंग में यह अक्सर तब होता है जब खतरा अनुपात स्वयं एक समान नहीं होता है। स्पेंस-मिर्लीज़ शर्त के अनुसार इष्टतम मूल्य और आवंटन कार्यक्रम एकरस होना चाहिए, इसलिए डिज़ाइनर को किसी भी अंतराल को समाप्त करना होगा जिस पर शेड्यूल समतल करके दिशा बदलता है।

सहज रूप से, जो चल रहा है वह यह है कि डिजाइनर को कुछ प्रकारों को एक साथ जोड़ना और उन्हें एक ही अनुबंध देना सबसे अच्छा लगता है। आम तौर पर डिज़ाइनर उच्च प्रकारों को बेहतर डील देकर उन्हें अलग दिखने के लिए प्रेरित करते हैं। यदि मार्जिन पर अपर्याप्त रूप से कुछ उच्च प्रकार हैं तो डिज़ाइनर को उच्च प्रकार के विशिष्ट अनुबंध पर शुल्क लगाने के लिए निम्न प्रकार की रियायत (जिसे उनका सूचना किराया कहा जाता है) देना उचित नहीं लगता है।

ऊपर दिए गए उदाहरण में, एक एकाधिकारवादी प्रिंसिपल को क्वासिलिनियर उपयोगिता वाले एजेंटों को बेचने पर विचार करें। मान लीजिए आवंटन अनुसूची $x(\theta )$ प्रथम-क्रम की शर्तों को संतुष्ट करने पर एकल आंतरिक शिखर होता है $\theta _{1}$ और एक आंतरिक गर्त $\theta _{2}>\theta _{1}$, दाईं ओर चित्रित।

• मायरसन (1981) का अनुसरण करते हुए इसे चुनकर समतल करें $x$ संतुष्टि देने वाला
  $$\int _{\phi _{2}(x)}^{\phi _{1}(x)}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}(x,\theta )-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \theta \,\partial x}}(x,\theta )-{\frac {\partial c}{\partial x}}(x)\right)d\theta =0$$
  कहाँ $\phi _{1}(x)$ x मैपिंग का व्युत्क्रम कार्य है $\theta \leq \theta _{1}$ और $\phi _{2}(x)$x मैपिंग का व्युत्क्रम कार्य है $\theta \geq \theta _{2}$. वह है, $\phi _{1}$ रिटर्न ए $\theta$ आंतरिक शिखर से पहले और $\phi _{2}$ रिटर्न ए $\theta$ आंतरिक गर्त के बाद.
• यदि गैरमोनोटोनिक क्षेत्र $x(\theta )$ टाइप स्पेस के किनारे को बॉर्डर करें, बस उपयुक्त सेट करें $\phi (x)$ सीमा प्रकार के लिए फ़ंक्शन (या दोनों)। यदि कई क्षेत्र हैं, तो पुनरावृत्तीय प्रक्रिया के लिए पाठ्यपुस्तक देखें; ऐसा हो सकता है कि एक से अधिक कुंडों को एक साथ इस्त्री किया जाना चाहिए।

प्रमाण

प्रमाण इष्टतम नियंत्रण के सिद्धांत का उपयोग करता है। यह अंतरालों के समुच्चय पर विचार करता है $\left[{\underline {\theta }},{\overline {\theta }}\right]$ के नॉनमोनोटोनिक क्षेत्र में $x(\theta )$ जिस पर यह शेड्यूल को समतल कर सकता है। इसके बाद यह आवश्यक शर्तों को प्राप्त करने के लिए एक हैमिल्टनियन लिखता है $x(\theta )$ अंतराल के भीतर

1. जो एकरसता को संतुष्ट करता है
2. जिसके लिए एकरसता बाधा अंतराल की सीमाओं पर बाध्यकारी नहीं है

शर्त दो यह सुनिश्चित करती है कि $x(\theta )$ इष्टतम नियंत्रण समस्या को संतुष्ट करने से अंतराल सीमाओं पर मूल समस्या में शेड्यूल फिर से जुड़ जाता है (कोई छलांग नहीं)। कोई $x(\theta )$ आवश्यक शर्तों को पूरा करना समतल होना चाहिए क्योंकि यह एकरस होना चाहिए और फिर भी सीमाओं पर पुनः जुड़ना चाहिए।

पहले की तरह, मूलधन की अपेक्षित अदायगी को अधिकतम करें, लेकिन इस बार एकरसता की बाधा के अधीन

${\frac {\partial x}{\partial \theta }}\geq 0$

और इसे करने के लिए छाया मूल्य के साथ हैमिल्टनियन का उपयोग करें $\nu (\theta )$

$H=\left(V(x,\theta )-{\underline {u}}(\theta _{0})-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial V}{\partial \theta }}(x,\theta )-c(x)\right)p(\theta )+\nu (\theta ){\frac {\partial x}{\partial \theta }}$

कहाँ $x$ एक राज्य चर है और $\partial x/\partial \theta$ द कंट्रोल। इष्टतम नियंत्रण में हमेशा की तरह लागत विकास समीकरण को संतुष्ट करना होगा

${\frac {\partial \nu }{\partial \theta }}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}=-\left({\frac {\partial V}{\partial x}}(x,\theta )-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \theta \,\partial x}}(x,\theta )-{\frac {\partial c}{\partial x}}(x)\right)p(\theta )$

शर्त 2 का लाभ उठाते हुए, ध्यान दें कि एकरसता बाधा की सीमाओं पर बाध्यकारी नहीं है $\theta$ मध्यान्तर,

$\nu ({\underline {\theta }})=\nu ({\overline {\theta }})=0$

जिसका अर्थ है कि लागत परिवर्तनीय स्थिति को एकीकृत किया जा सकता है और यह 0 के बराबर भी है

$\int _{\underline {\theta }}^{\overline {\theta }}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}(x,\theta )-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \theta \,\partial x}}(x,\theta )-{\frac {\partial c}{\partial x}}(x)\right)p(\theta )\,d\theta =0$

मूलधन के अधिशेष का औसत विरूपण 0 होना चाहिए। शेड्यूल को समतल करने के लिए, एक खोजें $x$ इस तरह कि इसकी उलटी छवि एक पर मैप होती है $\theta$ उपरोक्त शर्त को संतुष्ट करने वाला अंतराल।

यह भी देखें

• एल्गोरिदमिक तंत्र डिजाइन
• एल्विन ई. रोथ - नोबेल पुरस्कार, बाज़ार डिज़ाइन
• असाइनमेंट समस्या
• अनुबंध सिद्धांत
• कार्यान्वयन सिद्धांत
• प्रोत्साहन अनुकूलता
• रहस्योद्घाटन सिद्धांत
• स्मार्ट बाज़ार
• मेटागेम

संदर्भ

• Clarke, Edward H. (1971). "Multipart Pricing of Public Goods" (PDF). Public Choice. 11 (1): 17–33. doi:10.1007/BF01726210. JSTOR 30022651. S2CID 154860771.
• Gibbard, Allan (1973). "Manipulation of voting schemes: A general result" (PDF). Econometrica. 41 (4): 587–601. doi:10.2307/1914083. JSTOR 1914083.
• Groves, Theodore (1973). "Incentives in Teams" (PDF). Econometrica. 41 (4): 617–631. doi:10.2307/1914085. JSTOR 1914085.
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• Vickrey, William (1961). "Counterspeculation, Auctions, and Competitive Sealed Tenders" (PDF). The Journal of Finance. 16 (1): 8–37. doi:10.1111/j.1540-6261.1961.tb02789.x.

अग्रिम पठन

• Chapter 7 of Fudenberg, Drew; Tirole, Jean (1991), Game Theory, Boston: MIT Press, ISBN 978-0-262-06141-4. A standard text for graduate game theory.
• Chapter 23 of Mas-Colell; Whinston; Green (1995), Microeconomic Theory, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-507340-9. A standard text for graduate microeconomics.
• Milgrom, Paul (2004), Putting Auction Theory to Work, New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55184-7. Applications of mechanism design principles in the context of auctions.
• Noam Nisan. A Google tech talk on mechanism design.
• Legros, Patrick; Cantillon, Estelle (2007). "What is mechanism design and why does it matter for policy-making?". Centre for Economic Policy Research.
• Roger B. Myerson (2008). "Mechanism Design," The New Palgrave Dictionary of Economics Online, Abstract.
• Diamantaras, Dimitrios (2009), A Toolbox for Economic Design, New York: Palgrave Macmillan, ISBN 978-0-230-61060-6. A graduate text specifically focused on mechanism design.

बाहरी संबंध

• Eric Maskin "Nobel Prize Lecture" delivered on 8 December 2007 at Aula Magna, Stockholm University.