वीकेंड वीक फॉर्म

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वीकेंड वीक फॉर्म (या W2 फॉर्म)[1] इसका उपयोग मेशफ्री विधियों और/या फिनिट एलिमेंट विधि सेटिंग्स के आधार पर सामान्य संख्यात्मक विधियों के निर्माण में किया जाता है। यह संख्यात्मक विधियाँ ठोस यांत्रिकी के साथ-साथ फ्लूइड डायनामिक समस्याओं पर भी प्रयुक्त होती हैं।

विवरण

सरलता के लिए हम अपनी विचार के लिए लोच समस्याओं (द्वितीय क्रम पीडीई) को चुनते हैं।[2] हमारी विचार प्रसिद्ध वीक सूत्रीकरण के संदर्भ में भी सबसे सुविधाजनक है। अनुमानित समाधान के लिए सशक्त सूत्रीकरण में, हमें उन विस्थापन कार्यों को मानने की आवश्यकता है जो दूसरे क्रम में भिन्न हैं। वीक सूत्रीकरण में, हम रैखिक और द्विरेखीय रूप बनाते हैं और फिर विशेष फ़ंक्शन (एक अनुमानित समाधान) की खोज करते हैं जो वीक कथन को संतुष्ट करता है। बिलिनियर फॉर्म फ़ंक्शंस के ग्रेडिएंट का उपयोग करता है जिसमें केवल प्रथम क्रम का विभेदन होता है। इसलिए, कल्पित विस्थापन कार्यों की निरंतरता की आवश्यकता सशक्त सूत्रीकरण की तुलना में वीक है। पृथक् रूप में (जैसे कि फिनिट एलिमेंट विधि, या एफईएम), कल्पित विस्थापन फ़ंक्शन के लिए पर्याप्त आवश्यकता संपूर्ण समस्या डोमेन पर टुकड़े-टुकड़े निरंतर होती है। यह हमें एलिमेंट का उपयोग करके फ़ंक्शन का निर्माण करने की अनुमति देता है (किन्तु यह सुनिश्चित करता है कि यह सभी एलिमेंट के इंटरफ़ेस को निरंतर बनाए रखता है), जिससे शक्तिशाली फेम प्राप्त होता है।

अब, वीक वीकेंड (W2) सूत्रीकरण में, हम आवश्यकता को और कम कर देते हैं। हम केवल कल्पित फ़ंक्शन (ग्रेडिएंट का भी नहीं) का उपयोग करके द्विरेखीय रूप बनाते हैं। यह तथाकथित सामान्यीकृत ग्रेडिएंट स्मूथिंग तकनीक का उपयोग करके किया जाता है,[3] जिसके साथ कोई निश्चित वर्ग के असंतत कार्यों के लिए विस्थापन कार्यों के ग्रेडिएंट का अनुमान लगा सकता है, जब तक कि वह उचित G स्थान पर होंते है।[4] चूँकि हमें वास्तव में कल्पित विस्थापन फ़ंक्शंस का पहला विभेदन भी नहीं करना है, फ़ंक्शंस की संगति की आवश्यकता और भी कम हो जाती है, और इसलिए वीकेंड वीक या W2 सूत्रीकरण होता है।

इतिहास

वीकेंड वीक फॉर्म के व्यवस्थित सिद्धांत का विकास मेशफ्री विधियों पर कार्य से प्रारंभ हुआ था।[2] यह अपेक्षाकृत नया है, किन्तु पिछले कुछ वर्षों में इसका बहुत तेजी से विकास हुआ है।

W2 सूत्रीकरण की विशेषताएं

  1. W2 सूत्रीकरण विभिन्न (समान रूप से) सॉफ्ट मॉडल तैयार करने की संभावनाएं प्रदान करता है जो त्रिकोणीय मेष के साथ अच्छी तरह से कार्य करता है। चूँकि त्रिकोणीय मेष स्वचालित रूप से उत्पन्न किया जा सकता है, इसलिए इसे पुनः मेष करना बहुत सरल हो जाता है और इसलिए मॉडलिंग और सिमुलेशन में स्वचालन होता है। यह पूरी तरह से स्वचालित कम्प्यूटेशनल विधियों के विकास के हमारे दीर्घकालिक लक्ष्य के लिए बहुत महत्वपूर्ण है।
  2. इसके अतिरिक्त, ऊपरी सीमा समाधान (फ़ोर्स-ड्राइविंग समस्याओं के लिए) उत्पन्न करने के लिए W2 मॉडल को पर्याप्त सॉफ्ट (समान फैशन में) बनाया जा सकता है। कठोर मॉडल (जैसे कि पूर्णतः संगत एफईएम मॉडल) के साथ, समाधान को दोनों तरफ से सरलता से बांधा जा सकता है। यह सामान्यतः काम्प्लेक्स समस्याओं के लिए सरल एरर अनुमान की अनुमति देता है, जब तक कि त्रिकोणीय मेष उत्पन्न किया जा सकता है। तथाकथित प्रमाणित समाधान तैयार करने के लिए यह महत्वपूर्ण है।
  3. W2 मॉडल को वॉल्यूमेट्रिक लॉकिंग से मुक्त और संभवतः अन्य प्रकार की लॉकिंग घटनाओं से मुक्त बनाया जा सकता है।
  4. W2 मॉडल, अति-स्पष्ट और सुपर-कन्वर्जेन्स मॉडल के लिए अवसर प्रदान करते हुए, विस्थापन कार्यों के विस्थापन शील्ड को पृथक् से मानने की स्वतंत्रता प्रदान करते हैं। 2 की ऊर्जा कन्वर्जेन्स दर के साथ रैखिक मॉडल का निर्माण संभव हो सकता है।
  5. W2 मॉडल अधिकांशतः मेष विरूपण के प्रति कम संवेदनशील पाए जाते हैं।
  6. W2 मॉडल निम्न क्रम विधियों के लिए प्रभावी पाए गए हैं

वर्तमान W2 मॉडल

विशिष्ट W2 मॉडल स्मूथ पॉइंट इंटरपोलेशन विधियाँ (या एस पीआईएम) हैं।[5] एस-पीआईएम नोड-आधारित हो सकता है (एनएस-पीआईएम या एलसी-पीआईएम के रूप में जाना जाता है),[6] एज-आधारित (ईएस-पीआईएम),[7] और सेल-आधारित (सीएस-पीआईएम)।[8] एनएस-पीआईएम को तथाकथित एससीएनआई तकनीक का उपयोग करके विकसित किया गया था।[9] तब यह पता चला कि एनएस-पीआईएम ऊपरी सीमा समाधान और वॉल्यूमेट्रिक लॉकिंग मुक्त उत्पादन करने में सक्षम है।[10] ईएस-पीआईएम सटीकता में उत्तम पाया गया है, और सीएस-पीआईएम एनएस-पीआईएम और ईएस-पीआईएम के मध्य व्यवहार करता है। इसके अतिरिक्त, W2 सूत्रीकरण आकार कार्यों के निर्माण में बहुपद और रेडियल आधार कार्यों के उपयोग की अनुमति देता है (जब तक यह G1 स्थान में है, यह असंतत विस्थापन कार्यों को समायोजित करता है), जो भविष्य के विकास के लिए और अवसर प्रदान करता है।

एस-एफईएम अधिक सीमा तक एस-पीआईएम का रैखिक वर्जन है, किन्तु एस-पीआईएम के अधिकांश गुणों के साथ और बहुत सरल है। इसमें एनएस-फेम, ई.एस-फेम और सीएस-फेम की विविधताएँ भी हैं। एस पीआईएम की प्रमुख प्रोपर्टी S-फेम में भी पाई जा सकती है।[11] एस-एफईएम मॉडल हैं:

अनुप्रयोग

W2 मॉडल के कुछ अनुप्रयोग हैं:

  1. ठोस, संरचना और पीज़ोइलेक्ट्रिक्स के लिए यांत्रिकी;[22][23]
  2. फ्रैक्चर यांत्रिकी और क्रैक प्रसार;[24][25][26][27]
  3. ऊष्मा स्थानांतरण;[28][29]
  4. संरचनात्मक ध्वनि की;[30][31][32]
  5. अरैखिक और संपर्क समस्याएँ;[33][34]
  6. स्टोकेस्टिक विश्लेषण;[35]
  7. अनुकूली विश्लेषण;[36][18]
  8. फेज परिवर्तन की समस्या;[37]
  9. क्रिस्टल प्लास्टिसिटी मॉडलिंग।[38]
  10. सीमित विश्लेषण.[39]

यह भी देखें

  • सीमित एलिमेंट विधि
  • मेशफ्री विधि
  • स्मूथ फिनिट एलिमेंट विधि

संदर्भ

  1. ↑ G.R. Liu. "A G space theory and a weakened weak (W2) form for a unified formulation of compatible and incompatible methods: Part I theory and Part II applications to solid mechanics problems". International Journal for Numerical Methods in Engineering, 81: 1093–1126, 2010
  2. ↑ 2.0 2.1 Liu, G.R. 2nd edn: 2009 Mesh Free Methods, CRC Press. 978-1-4200-8209-9
  3. ↑ Liu GR, "A Generalized Gradient Smoothing Technique and the Smoothed Bilinear Form for Galerkin Formulation of a Wide Class of Computational Methods", International Journal of Computational Methods Vol.5 Issue: 2, 199–236, 2008
  4. ↑ Liu GR, "On G Space Theory", International Journal of Computational Methods, Vol. 6 Issue: 2, 257–289, 2009
  5. ↑ Liu, G.R. 2nd edn: 2009 Mesh Free Methods, CRC Press. 978-1-4200-8209-9
  6. ↑ Liu GR, Zhang GY, Dai KY, Wang YY, Zhong ZH, Li GY and Han X, "A linearly conforming point interpolation method (LC-PIM) for 2D solid mechanics problems", International Journal of Computational Methods, 2(4): 645–665, 2005.
  7. ↑ G.R. Liu, G.R. Zhang. "Edge-based Smoothed Point Interpolation Methods". International Journal of Computational Methods, 5(4): 621–646, 2008
  8. ↑ G.R. Liu, G.R. Zhang. "A normed G space and weakened weak (W2) formulation of a cell-based Smoothed Point Interpolation Method". International Journal of Computational Methods, 6(1): 147–179, 2009
  9. ↑ Chen, J. S., Wu, C. T., Yoon, S. and You, Y. (2001). "A stabilized conforming nodal integration for Galerkin mesh-free methods". International Journal for Numerical Methods in Engineering. 50: 435–466.
  10. ↑ G. R. Liu and G. Y. Zhang. Upper bound solution to elasticity problems: A unique property of the linearly conforming point interpolation method (LC-PIM). International Journal for Numerical Methods in Engineering, 74: 1128–1161, 2008.
  11. ↑ Zhang ZQ, Liu GR, "Upper and lower bounds for natural frequencies: A property of the smoothed finite element methods", International Journal for Numerical Methods in Engineering Vol. 84 Issue: 2, 149–178, 2010
  12. ↑ Liu GR, Nguyen-Thoi T, Nguyen-Xuan H, Lam KY (2009) "A node-based smoothed finite element method (NS-FEM) for upper bound solutions to solid mechanics problems". Computers and Structures; 87: 14–26.
  13. ↑ Liu GR, Nguyen-Thoi T, Lam KY (2009) "An edge-based smoothed finite element method (ES-FEM) for static, free and forced vibration analyses in solids". Journal of Sound and Vibration; 320: 1100–1130.
  14. ↑ Nguyen-Thoi T, Liu GR, Lam KY, GY Zhang (2009) "A Face-based Smoothed Finite Element Method (FS-FEM) for 3D linear and nonlinear solid mechanics problems using 4-node tetrahedral elements". International Journal for Numerical Methods in Engineering; 78: 324–353
  15. ↑ Liu GR, Dai KY, Nguyen-Thoi T (2007) "A smoothed finite element method for mechanics problems". Computational Mechanics; 39: 859–877
  16. ↑ Dai KY, Liu GR (2007) "Free and forced vibration analysis using the smoothed finite element method (SFEM)". Journal of Sound and Vibration; 301: 803–820.
  17. ↑ Dai KY, Liu GR, Nguyen-Thoi T (2007) "An n-sided polygonal smoothed finite element method (nSFEM) for solid mechanics". Finite Elements in Analysis and Design; 43: 847－860.
  18. ↑ 18.0 18.1 Li Y, Liu GR, Zhang GY, "An adaptive NS/ES-FEM approach for 2D contact problems using triangular elements", Finite Elements in Analysis and Design Vol.47 Issue: 3, 256–275, 2011
  19. ↑ Liu GR, Nguyen-Thoi T, Lam KY (2009) "A novel FEM by scaling the gradient of strains with factor α (αFEM)". Computational Mechanics; 43: 369–391
  20. ↑ Liu GR, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Thoi T, Xu X (2009) "A novel weak form and a superconvergent alpha finite element method (SαFEM) for mechanics problems using triangular meshes". Journal of Computational Physics; 228: 4055–4087
  21. ↑ Zeng W, Liu GR, Li D, Dong XW (2016) A smoothing technique based beta finite element method (βFEM) for crystal plasticity modeling. Computers and Structures; 162: 48-67
  22. ↑ Cui XY, Liu GR, Li GY, et al. A thin plate formulation without rotation DOFs based on the radial point interpolation method and triangular cells, International Journal for Numerical Methods in Engineering Vol.85 Issue: 8 , 958–986, 2011
  23. ↑ Liu GR, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Thoi T, A theoretical study on the smoothed FEM (S-FEM) models: Properties, accuracy and convergence rates, International Journal for Numerical Methods in Engineering Vol. 84 Issue: 10, 1222–1256, 2010
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  27. ↑ Zeng W, Liu GR, Jiang C, Dong XW, Chen HD, Bao Y, Jiang Y. "An effective fracture analysis method based on the virtual crack closure-integral technique implemented in CS-FEM", Applied Mathematical Modelling Vol. 40, Issue: 5-6, 3783-3800, 2016
  28. ↑ Zhang ZB, Wu SC, Liu GR, et al. "Nonlinear Transient Heat Transfer Problems using the Meshfree ES-PIM", International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation Vol.11 Issue: 12, 1077–1091, 2010
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  36. ↑ Nguyen-Thoi T, Liu GR, Nguyen-Xuan H, et al. "Adaptive analysis using the node-based smoothed finite element method (NS-FEM)", International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering Vol. 27 Issue: 2, 198–218, 2011
  37. ↑ Li E, Liu GR, Tan V, et al. "An efficient algorithm for phase change problem in tumor treatment using alpha FEM", International Journal of Thermal Sciences Vol.49 Issue: 10, 1954–1967, 2010
  38. ↑ Zeng W, Larsen JM, Liu GR. Smoothing technique based crystal plasticity finite element modeling of crystalline materials, International Journal of Plasticity Vol.65, 250-268, 2015
  39. ↑ Tran TN, Liu GR, Nguyen-Xuan H, et al. "An edge-based smoothed finite element method for primal-dual shakedown analysis of structures", International Journal for Numerical Methods in Engineering Vol.82 Issue: 7, 917–938, 2010

बाहरी संबंध

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