ऊर्जा संचालक

Main article: Operator (physics)

क्वांटम यांत्रिकी में, ऊर्जा को ऊर्जा ऑपरेटर के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जो समय अनुवाद समरूपता के परिणामस्वरूप सिस्टम के तरंग फ़ंक्शन पर कार्य करता है।

परिभाषा

यह इसके द्वारा दिया गया है:

$${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$$

यह तरंग फ़ंक्शन (सिस्टम के विभिन्न कॉन्फ़िगरेशन स्थान (भौतिकी) के लिए संभाव्यता आयाम) पर कार्य करता है

$$\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)$$

आवेदन

किसी सिस्टम की पूर्ण ऊर्जा के लिए ऊर्जा ऑपरेटर पत्राचार सिद्धांत। श्रोडिंगर समीकरण एक मात्रा प्रणाली के धीमी गति से बदलते (सापेक्षता के गैर-सिद्धांत) तरंग फ़ंक्शन की स्थान- और समय-निर्भरता का वर्णन करता है। एक बाध्य प्रणाली के लिए इस समीकरण का समाधान अलग है (अनुमत राज्यों का एक सेट, प्रत्येक ऊर्जा स्तर द्वारा विशेषता) जिसके परिणामस्वरूप क्वांटम की अवधारणा उत्पन्न होती है।

श्रोडिंगर समीकरण

श्रोडिंगर समीकरण के लिए ऊर्जा ऑपरेटर का उपयोग करना:

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$$

प्राप्त किया जा सकता है:

$${\hat {E}}\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$$

जहां i काल्पनिक इकाई है, ħ घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है, और ${\hat {H}}$ हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) ऑपरेटर (भौतिकी) है।

निरंतर ऊर्जा

परिभाषा से काम करते हुए, स्थिर ऊर्जा वाले कण के तरंग फ़ंक्शन के लिए आंशिक समाधान का निर्माण किया जा सकता है। यदि तरंगफलन को वियोज्य माना जाता है, तो समय निर्भरता को इस प्रकार कहा जा सकता है $e^{-iEt/\hbar }$, जहाँ E स्थिर ऊर्जा है। पूरे में,

$$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }$$

कहाँ $\psi (\mathbf {r} )$ स्थिति पर निर्भर तरंगफलन का आंशिक समाधान है। ऊर्जा ऑपरेटर को लागू करते हुए, हमारे पास है

$${\hat {E}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=i\hbar \left({\frac {-iE}{\hbar }}\right)\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=E\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=E\Psi (\mathbf {r} ,t).$$

इसे स्थिर अवस्था के रूप में भी जाना जाता है, और इसका उपयोग समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है:

$$E\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$$

जहाँ E ऊर्जा का एक प्रतिमान मान है।

क्लेन-गॉर्डन समीकरण

विशेष सापेक्षता में द्रव्यमान#सापेक्षतावादी ऊर्जा-संवेग समीकरण|सापेक्षतावादी द्रव्यमान-ऊर्जा संबंध:

$$E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}$$

जहां फिर से E = कुल ऊर्जा, p = कण का कुल 3-संवेग, m = अपरिवर्तनीय द्रव्यमान, और c = [[प्रकाश की गति]], इसी तरह क्लेन-गॉर्डन समीकरण प्राप्त कर सकते हैं:

$${\begin{aligned}&{\hat {E}}^{2}=c^{2}{\hat {p}}^{2}+(mc^{2})^{2}\\&{\hat {E}}^{2}\Psi =c^{2}{\hat {p}}^{2}\Psi +(mc^{2})^{2}\Psi \\\end{aligned}}$$

कहाँ ${\hat {p}}$ संवेग संचालक है. वह है:

$${\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\Psi -\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\Psi$$

व्युत्पत्ति

ऊर्जा ऑपरेटर आसानी से मुक्त कण तरंग फ़ंक्शन (श्रोडिंगर के समीकरण के लिए विमान तरंग समाधान) का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। एक आयाम में प्रारंभ तरंग फ़ंक्शन है

$$\Psi =e^{i(kx-\omega t)}$$

का समय व्युत्पन्न Ψ है

$${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-i\omega e^{i(kx-\omega t)}=-i\omega \Psi .$$

डी ब्रोगली संबंध द्वारा:

$$E=\hbar \omega ,$$

अपने पास

$${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-i{\frac {E}{\hbar }}\Psi .$$

समीकरण को पुनः व्यवस्थित करने से होता है

$$E\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},$$

जहां ऊर्जा कारक ई एक अदिश (गणित) मान है, कण में जो ऊर्जा है और जो मान मापा जाता है। आंशिक व्युत्पन्न एक रैखिक संचालिका है इसलिए यह अभिव्यक्ति ऊर्जा के लिए संचालिका है:

$${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}.$$

यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि अदिश ई संचालिका का स्वदेशी मान है, जबकि ${\hat {E}}$ ऑपरेटर है. इन परिणामों का सारांश:

$${\hat {E}}\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =E\Psi$$

3-डी समतल तरंग के लिए

$$\Psi =e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$$

व्युत्पत्ति बिल्कुल समान है, क्योंकि समय और इसलिए समय व्युत्पत्ति सहित पद में कोई परिवर्तन नहीं किया गया है। चूंकि रैखिक ऑपरेटर, वे समतल तरंगों के किसी भी रैखिक संयोजन के लिए मान्य हैं, और इसलिए वे तरंग फ़ंक्शन या ऑपरेटरों के गुणों को प्रभावित किए बिना किसी भी तरंग फ़ंक्शन पर कार्य कर सकते हैं। इसलिए यह किसी भी तरंग फ़ंक्शन के लिए सत्य होना चाहिए। यह उपरोक्त क्लेन-गॉर्डन समीकरण जैसे सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी में भी काम करता है।

यह भी देखें

• समय अनुवाद समरूपता
• प्लैंक स्थिरांक
• श्रोडिंगर समीकरण
• मोमेंटम ऑपरेटर
• हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)
• ऊर्जा संरक्षण
• जटिल संख्या
• स्थिर अवस्था