माध्य-संरक्षण प्रसार

संभाव्यता और सांख्यिकी में, एक माध्य-संरक्षण प्रसार (MPS) एक प्रायिकता वितरण A से दूसरे संभाव्यता वितरण B में परिवर्तन है, जहाँ माध्य (अपेक्षित मान) को अपरिवर्तित छोड़ते हुए A के प्रायिकता घनत्व फलन या प्रायिकता द्रव्यमान फलन के एक या अधिक भागों को फैलाकर B बनाया जाता है। इस प्रकार, माध्य-संरक्षण प्रसार की अवधारणा उनके जोखिम की डिग्री के अनुसार समान-माध्य जुआ (संभाव्यता वितरण) का एक स्टोकेस्टिक क्रम प्रदान करती है; यह क्रम आंशिक रूप से निर्धारित सेट है, जिसका अर्थ है कि दो समान-मतलब के जुए, यह जरूरी नहीं है कि या तो दूसरे का मतलब-संरक्षण प्रसार हो। वितरण A को B का माध्य-संरक्षण संकुचन कहा जाता है यदि B, A का माध्य-संरक्षण प्रसार है।

मीन-प्रिजर्विंग स्प्रेड द्वारा रैंकिंग जुआ दूसरे क्रम के स्टोकेस्टिक प्रभुत्व द्वारा रैंकिंग जुआ का एक विशेष मामला है - अर्थात्, समान साधनों का विशेष मामला: यदि B, A का माध्य-संरक्षण प्रसार है, तो A दूसरे क्रम का स्टोकेस्टिक रूप से प्रभावी है। बी; और गर्भपात # उदाहरण धारण करता है यदि ए और बी के बराबर साधन हैं।

यदि B, A का माध्य-संरक्षण प्रसार है, तो B में A की तुलना में अधिक भिन्नता है और A और B के अपेक्षित मान समान हैं; लेकिन इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है, क्योंकि विचरण एक पूर्ण क्रम है, जबकि माध्य-संरक्षण प्रसार द्वारा आदेश केवल आंशिक है।

उदाहरण

इस उदाहरण से पता चलता है कि माध्य-संरक्षण प्रसार के लिए यह आवश्यक नहीं है कि सभी या अधिकांश संभाव्यता द्रव्यमान माध्य से दूर चले जाएं। माना A की प्रायिकता बराबर है $1/100$ प्रत्येक परिणाम पर $x_{Ai}$ , साथ $x_{Ai}=198$ के लिए $i=1,\dots ,50$ और $x_{Ai}=202$ के लिए $i=51,\dots ,100$; और B को समान संभावनाएँ दें $1/100$ प्रत्येक परिणाम पर $x_{Bi}$, साथ $x_{B1}=100$, $x_{Bi}=200$ के लिए $i=2,\dots ,99$, और $x_{B100}=300$. यहाँ B का निर्माण A से 198 से 100 तक 1% प्रायिकता का एक हिस्सा और 198 से 200 तक 49 प्रायिकता चंक को स्थानांतरित करके किया गया है, और फिर एक प्रायिकता चंक को 202 से 300 तक ले जाकर और 49 प्रायिकता चंक को 202 से 200 तक ले जाकर बनाया गया है। यह दो माध्य-संरक्षण प्रसार का अनुक्रम स्वयं एक माध्य-संरक्षण प्रसार है, इस तथ्य के बावजूद कि प्रायिकता द्रव्यमान का 98% माध्य (200) तक चला गया है।

गणितीय परिभाषाएँ

होने देना $x_{A}$ और $x_{B}$ जुए ए और बी से जुड़े यादृच्छिक चर हो। फिर बी ए का एक मतलब-संरक्षण प्रसार है अगर और केवल अगर $x_{B}{\overset {d}{=}}(x_{A}+z)$ कुछ यादृच्छिक चर के लिए $z$ रखना $E(z\mid x_{A})=0$ के सभी मूल्यों के लिए $x_{A}$. यहाँ ${\overset {d}{=}}$ का अर्थ है Random_variable#Equality_in_distribution (अर्थात, के समान वितरण है)।

माध्य-संरक्षण प्रसार को संचयी वितरण कार्यों के संदर्भ में भी परिभाषित किया जा सकता है $F_{A}$ और $F_{B}$ A और B का। यदि A और B के समान साधन हैं, तो B, A का माध्य-संरक्षण प्रसार है यदि और केवल यदि क्षेत्र के अंतर्गत $F_{A}$ शून्य से अनंत तक $x$ के तहत उससे कम या उसके बराबर है $F_{B}$ शून्य से अनंत तक $x$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए $x$, कुछ में सख्त असमानता के साथ $x$.

ये दोनों गणितीय परिभाषाएँ समान साधनों के मामले में दूसरे क्रम के स्टोकेस्टिक प्रभुत्व को दोहराती हैं।

अपेक्षित उपयोगिता सिद्धांत से संबंध

यदि B, A का माध्य-संरक्षण फैलाव है, तो अवतल उपयोगिता वाले सभी अपेक्षित उपयोगिता परिकल्पना अधिकतमकर्ताओं द्वारा A को प्राथमिकता दी जाएगी। आक्षेप भी धारण करता है: यदि ए और बी के समान साधन हैं और अवतल उपयोगिता वाले सभी अपेक्षित उपयोगिता अधिकतमकर्ताओं द्वारा ए को प्राथमिकता दी जाती है, तो बी ए का एक औसत-संरक्षण प्रसार है।

यह भी देखें

• स्टोकेस्टिक ऑर्डरिंग
• जोखिम (सांख्यिकी)
• स्केल पैरामीटर

अग्रिम पठन

• Mas-Colell, A.; Whinston, M. D.; Green, J. R. (1995). Microeconomic Theory. New York: Oxford University Press. pp. 197–199. ISBN 0-19-510268-1 – via Google Books.