वेक्टर बीजगणित संबंध

See also: Vector calculus identities

वेक्टर बीजगणित में निम्नलिखित महत्वपूर्ण पहचान हैं। वे पहचान जिनमें एक वेक्टर का परिमाण शामिल होता है $\|\mathbf {A} \|$, या दो वैक्टर A·B का डॉट उत्पाद (स्केलर उत्पाद), किसी भी आयाम में वैक्टर पर लागू होता है। क्रॉस उत्पाद (वेक्टर उत्पाद) ए × बी का उपयोग करने वाली पहचान केवल तीन आयामों में परिभाषित की जाती है।

परिमाण

वेक्टर A का परिमाण डॉट उत्पाद का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:

$\|\mathbf {A} \|^{2}=\mathbf {A\cdot A}$

त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, एक वेक्टर का परिमाण पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके उसके तीन घटकों से निर्धारित किया जाता है:

$\|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}$

असमानताएं

• कॉची-श्वार्ज़ असमानता: $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \leq \left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|$
• त्रिभुज असमानता: $\|\mathbf {A+B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|$
• त्रिकोण_असमानता#विपरीत_त्रिकोण_असमानता : $\|\mathbf {A-B} \|\geq {\Bigl |}\|\mathbf {A} \|-\|\mathbf {B} \|{\Bigr |}$

कोण

सदिश गुणनफल और दो सदिशों का अदिश गुणन उनके बीच के कोण को परिभाषित करते हैं, मान लीजिए θ:

$\sin \theta ={\frac {\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \|}{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )$

दाएं हाथ के नियम को संतुष्ट करने के लिए, सकारात्मक θ के लिए, वेक्टर 'बी' 'ए' से वामावर्त है, और नकारात्मक θ के लिए यह दक्षिणावर्त है।

$\cos \theta ={\frac {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )$

पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय पहचान तब प्रदान करती है:

$\left\|\mathbf {A\times B} \right\|^{2}+(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}=\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}$

यदि एक सदिश A = (A_x, ए_y, ए_z) x-, y- और z-अक्षों के ऑर्थोगोनल सेट के साथ कोण α, β, γ बनाता है, फिर:

$\cos \alpha ={\frac {A_{x}}{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}}={\frac {A_{x}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,$

और कोण β, γ के लिए समान रूप से। फलस्वरूप:

$\mathbf {A} =\left\|\mathbf {A} \right\|\left(\cos \alpha \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \beta \ {\hat {\mathbf {j} }}+\cos \gamma \ {\hat {\mathbf {k} }}\right),$

साथ ${\hat {\mathbf {i} }},\ {\hat {\mathbf {j} }},\ {\hat {\mathbf {k} }}$ अक्ष दिशाओं के अनुदिश इकाई सदिश।

क्षेत्रफल और आयतन

भुजाओं A और B वाले कोण θ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल Σ है:

$\Sigma =AB\sin \theta ,$

जिसे समांतर चतुर्भुज के किनारों पर स्थित वैक्टर ए और बी के वेक्टर क्रॉस उत्पाद के परिमाण के रूप में पहचाना जाएगा। वह है:

$\Sigma =\left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}-\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}}\ .$

(यदि ए, बी द्वि-आयामी वेक्टर हैं, तो यह पंक्तियों ए, बी के साथ 2 × 2 मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर है।) इस अभिव्यक्ति का वर्ग है:

$\Sigma ^{2}=(\mathbf {A\cdot A} )(\mathbf {B\cdot B} )-(\mathbf {A\cdot B} )(\mathbf {B\cdot A} )=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )\ ,$

जहां Γ(ए, बी) ए और बी का ग्राम निर्धारक है:

$\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} \end{vmatrix}}\ .$

इसी प्रकार, तीन सदिशों 'ए', 'बी', 'सी' द्वारा फैले एक समानांतर चतुर्भुज का वर्ग आयतन V तीन सदिशों के ग्राम निर्धारक द्वारा दिया जाता है::$V^{2}=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} ,\ \mathbf {C} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} &\mathbf {A\cdot C} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} &\mathbf {B\cdot C} \\\mathbf {C\cdot A} &\mathbf {C\cdot B} &\mathbf {C\cdot C} \end{vmatrix}}\ ,$ चूँकि A, B, C त्रि-आयामी सदिश हैं, यह अदिश त्रिगुण गुणनफल के वर्ग के बराबर है $\det[\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ]=|\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} |$ नीचे।

इस प्रक्रिया को n-आयामों तक बढ़ाया जा सकता है।

सदिशों का जोड़ और गुणा

• जोड़ की क्रमपरिवर्तनशीलता: $\mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A}$.
• अदिश उत्पाद की क्रमपरिवर्तनशीलता: $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A}$.
• क्रॉस उत्पाद की प्रतिसंक्रामकता: $\mathbf {A} \times \mathbf {B} =\mathbf {-B} \times \mathbf {A}$.
• जोड़ पर एक अदिश द्वारा गुणन की वितरणशीलता: $c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf {B}$.
• जोड़ पर अदिश उत्पाद का वितरण: $\left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C}$.
• जोड़ पर वेक्टर उत्पाद का वितरण: $(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times \mathbf {C} +\mathbf {B} \times \mathbf {C}$.
• अदिश त्रिगुण उत्पाद:
  $$\mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |={\begin{vmatrix}A_{x}&B_{x}&C_{x}\\A_{y}&B_{y}&C_{y}\\A_{z}&B_{z}&C_{z}\end{vmatrix}}.$$
• वेक्टर ट्रिपल उत्पाद: $\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C}$.
• जैकोबी पहचान:
  $$\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {0} .$$
• बिनेट-कॉची पहचान:
  $$\mathbf {\left(A\times B\right)\cdot } \left(\mathbf {C} \times \mathbf {D} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)-\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} \right).$$
• लैग्रेंज की पहचान: $|\mathbf {A} \times \mathbf {B} |^{2}=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}$.
• वेक्टर चतुर्गुण उत्पाद:
  $$(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\times (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )\ =\ |\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {C} \,-\,|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |\,\mathbf {D} \ =\ |\mathbf {A} \,\mathbf {C} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {B} \,-\,|\mathbf {B} \,\mathbf {C} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {A} .$$
• पिछले समीकरण का परिणाम:
  $$|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |\,\mathbf {D} =(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )\left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {C} \times \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {C} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right).$$
• 3 आयामों में, एक वेक्टर D को आधार वैक्टर {A,B,C} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
  $$\mathbf {D} \ =\ {\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {A} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {B} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {C} .$$

यह भी देखें

• सदिश स्थल
• ज्यामितीय बीजगणित