उचित अंतरण फलन

नियंत्रण सिद्धांत में, एक उचित अंतरण फलन एक अंतरण फलन होता है जिसमें अंश के बहुपद की डिग्री हर की डिग्री से अधिक नहीं होती है। एक दृढ़ाता से उचित अंतरण फलन एक अंतरण फलन है जहां अंश की डिग्री हर की डिग्री से कम होती है।

हर की डिग्री (ध्रुवों की संख्या) और अंश की डिग्री (शून्य की संख्या) के मध्य का अंतर अंतरण फलन की सापेक्ष डिग्री है।

उदाहरण

निम्नलिखित अंतरण फलन है:

${\textbf {G}}(s)={\frac {{\textbf {N}}(s)}{{\textbf {D}}(s)}}={\frac {s^{4}+n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}$

उचित है, क्योंकि

$\deg({\textbf {N}}(s))=4\leq \deg({\textbf {D}}(s))=4$.

द्विगुणित है, क्योंकि

$\deg({\textbf {N}}(s))=4=\deg({\textbf {D}}(s))=4$.

किंतु पूरी तरह से उचित नहीं है, क्योंकि

$\deg({\textbf {N}}(s))=4\nless \deg({\textbf {D}}(s))=4$.

निम्नलिखित अंतरण फलन उचित नहीं है (या पूरी तरह से उचित है)

${\textbf {G}}(s)={\frac {{\textbf {N}}(s)}{{\textbf {D}}(s)}}={\frac {s^{4}+n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}$

क्योंकि

$\deg({\textbf {N}}(s))=4\nleq \deg({\textbf {D}}(s))=3$.

लंबे विभाजन की विधि का उपयोग करते है जिसमे यह एक अनुचित अंतरण फलन को उचित बनाया जा सकता है।

जिसमे यह निम्नलिखित अंतरण फलन पूरी तरह से उचित है

${\textbf {G}}(s)={\frac {{\textbf {N}}(s)}{{\textbf {D}}(s)}}={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}$

क्योंकि

$\deg({\textbf {N}}(s))=3<\deg({\textbf {D}}(s))=4$.

निहितार्थ

जैसे-जैसे आवृत्ति अनंत तक पहुंचती है, एक उचित अंतरण फलन कभी भी असीमित नहीं होगा:

$|{\textbf {G}}(\pm j\infty )|<\infty$

जैसे-जैसे आवृत्ति अनंत तक पहुंचती है, एक दृढ़ाता से उचित अंतरण फलन शून्य तक पहुंच जाएगा (जो सभी भौतिक प्रक्रियाओं के लिए सच है):

${\textbf {G}}(\pm j\infty )=0$

इसी के साथ ही, दृढ़ाता से उचित अंतरण फलन के वास्तविक भाग का अभिन्न अंग शून्य होता है।

संदर्भ

• Transfer functions - ECE 486: Control Systems Spring 2015, University of Illinois
• ELEC ENG 4CL4: Control System Design Notes for Lecture #9, 2004, Dr. Ian C. Bruce, McMaster University