बंडल मानचित्र

गणित में, बंडल मानचित्र फाइबर बंडलों की श्रेणी में एक आकारिता होता है। इसके दो अलग-अलग, परंतु मजबूत रूप में संबंधित, बंडल मैप के भाव होते हैं, जो इस पर निर्भर करते हैं कि क्या सवाल में दिए गए फाइबर बंडलों के पास एक सामान्य आधार समष्टि है। इसके अतिरिक्त, यह केवल उपलब्ध फाइबर बंडलों की कौन सी श्रेणी पर विचार किया जा रहा है, इसके आधार पर कई विभिन्न रूपांतरण हैं। पहले तीन खंडों में, हम संस्थानिक समष्टियो की श्रेणी में सामान्य फाइबर बंडलों को विचार करेंगे। पुनः चौथे खंड में, कुछ अन्य उदाहरण दिए जाएंगे।

सामान्य आधार के ऊपर बंडल मानचित्र

यदि $\pi _{E}\colon E\to M$ और $\pi _{F}\colon F\to M$ एक स्थान M पर फाइबर बंडल हों, तो एक बंडल मैप 'E' से 'F' 'पर 'M' के लिए एक नियमित मानचित्र $\varphi \colon E\to F$ होती है जिसका पालमूल $\pi _{F}\circ \varphi =\pi _{E}$ माना जाता है। अर्थात, यह आरेख होता है:

समघटक आरेख परिपथ में सहेजता है। समतुल्य रूप से, किसी भी बिंदु x के लिए, $\varphi$ नियमित मानचित्र के बिंदु $E_{x}=\pi _{E}^{-1}({x})$ को बिंदु $F_{x}=\pi _{F}^{-1}({x})$ परिपथ में आरेखित करता है।

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रेशा बंडलों की सामान्य आकृतियाँ

यदि $\pi _{E}:E\to M$ और $\pi _{F}:F\to N$ स्थानों M और N पर फाइबर बंडल हों, तो एक नियमित नक्शा $\varphi :E\to F$ एक बंडल मैप कहलाता है अगर एक ऐसा नियमित नक्शा $f:M\to N$ हो जिससे चित्रण होता है:

समतुल्यता का चित्रण, अर्थात् $\pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}$ होता है। दूसरे शब्दों में, $\varphi$ फाइबर-संरक्षणकारी होता है, और f E के फाइबरों की जगह के नक्शे पर उत्पन्न होने वाला मैप होता है: क्योंकि $\pi _{E}$ प्रतिकूलक होता है, इसलिए $\varphi$ द्वारा अनुबंधित किया जाता है। एक दिए गए f के लिए, ऐसा एक बंडल मैप $\varphi$ कहलाता है जिसे फाइबर कवरिंग f' कहा जाता है।

दो धारणाओं के बीच संबंध

"यह परिभाषाओं से सीधे प्राप्त होता है कि M पर एक बंडल मानचित्र वही वस्तु है जो M के विशेषण को आच्छादन करने वाला एक बंडल मानचित्र है।"

"विपरीत रूप से, सामान्य बंडल मानचित्रों को निश्चित आधार स्थान पर बंडल मानचित्रों में पुलबैक बंडल के धारणा का उपयोग करके घटाया जा सकता है, यदि π_F: F → N एक N पर रेशा बंडल है और f:M → N एक नियमित मानचित्र है, तो fF को F का पुलबैक बंडल कहते हैं जो M पर एक रेशा बंडल होता है, जिसका रेशा x पर (fF)_x = F_f(x) दिया गया होता है। तब यह फालोट उत्पन्न होता है कि E से F तक किसी भी बंडल मानचित्र को M पर f^*F तक किसी भी बंडल मानचित्र के रूप में कवर करना एक जैसा ही होता है।"

विकल्प और सामान्यीकरण

बंडल मानचित्र की सामान्य अवधारणा में दो प्रकार की भिन्नताएँ हैं।

"पहले, व्यक्तियों की अलग श्रेणी में रेशा बंडल का विचार किया जा सकता है। इससे, उदाहरण के लिए, स्मूथ मानचित्र के ऊपर स्मूथ रेशा बंडलों के बीच एक स्मूथ बंडल मानचित्र के धारणा तक पहुंचा जाता है।"

"दूसरे, रेशा बंडलों में अतिरिक्त संरचना के साथ विचार किया जा सकता है, और इन रेशा को सुरक्षित करने वाले बंडल मानचित्रों पर ध्यान केंद्रित किया जा सकता है। इससे, उदाहरण के लिए, सदिश स्थानों के साथ रेशा बंडलों के बीच एक सदिश बंडल समान्तर की धारणा तक पहुंचा जाता है, जिसमें बंडल मानचित्र φ को प्रत्येक रेशा पर एक रैखिक मानचित्र के रूप में होने की आवश्यकता होती है। इस स्थिति में, ऐसे बंडल मानचित्र φ को सदिश बंडल होम(E, f^*F) का भी एक सेक्शन माना जा सकता है, जिसका मानचित्र होम (E_x, F_f(x)) होता है, जो रैखिक मानचित्र को 'E_x' से F_f(x) भी दर्शाया गया है।