लैटिस मॉडल (भौतिकी)

For other uses, see Lattice model (disambiguation).

दो अणुओं A और B से भरा एक त्रि-आयामी जाली, यहाँ काले और सफेद गोले के रूप में दिखाया गया है। इस तरह के जाली का उपयोग किया जाता है - उदाहरण के लिए - फ्लोरी-हगिंस समाधान सिद्धांत में

गणितीय भौतिकी में, एक जाली मॉडल एक भौतिक प्रणाली का एक गणितीय मॉडल है जिसे एक जाली (समूह) पर परिभाषित किया जाता है, जो एक सातत्य (सिद्धांत) के विपरीत होता है, जैसे कि अंतरिक्ष या अंतरिक्ष-समय की निरंतरता। जाली मॉडल मूल रूप से संघनित पदार्थ भौतिकी के संदर्भ में हुए, जहां एक क्रिस्टल के परमाणु स्वचालित रूप से एक जाली बनाते हैं। वर्तमान में, कई कारणों से जाली मॉडल सैद्धांतिक भौतिकी में काफी लोकप्रिय हैं। कुछ मॉडल बिल्कुल हल करने योग्य हैं, और इस प्रकार गड़बड़ी सिद्धांत से जो सीखा जा सकता है उससे परे भौतिकी में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। कम्प्यूटेशनल भौतिकी के तरीकों से अध्ययन के लिए जाली मॉडल भी आदर्श हैं, क्योंकि किसी भी सातत्य मॉडल का विवेक स्वचालित रूप से इसे जाली मॉडल में बदल देता है। इनमें से कई मॉडलों के सटीक समाधान (जब वे हल करने योग्य होते हैं) में सॉलिटन की उपस्थिति शामिल होती है। इन्हें हल करने की तकनीकों में व्युत्क्रम प्रकीर्णन रूपांतरण और लैक्स जोड़े की विधि, यांग-बैक्सटर समीकरण और क्वांटम समूह शामिल हैं। इन मॉडलों के समाधान ने चरण संक्रमण, चुंबकीयकरण और स्केलिंग व्यवहार की प्रकृति के साथ-साथ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की प्रकृति में अंतर्दृष्टि प्रदान की है। भौतिक जाली मॉडल अक्सर एक निरंतरता सिद्धांत के सन्निकटन के रूप में होते हैं, या तो विचलन को रोकने या संख्यात्मक विश्लेषण करने के लिए सिद्धांत को एक पराबैंगनी कटऑफ देने के लिए। जाली मॉडल द्वारा व्यापक रूप से अध्ययन किए जाने वाले सातत्य सिद्धांत का एक उदाहरण QCD जाली मॉडल है, जो क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स का विवेक है। हालांकि, डिजिटल भौतिकी प्रकृति को मौलिक रूप से प्लैंक पैमाने पर असतत मानती है, जो टॉक: बेकेनस्टीन बाउंड # सेल्युलर ऑटोमेटा, उर्फ ​​​​होलोग्राफिक सिद्धांत # सूचना घनत्व पर सीमा लगाती है। अधिक आम तौर पर, जाली गेज सिद्धांत और जाली क्षेत्र सिद्धांत अध्ययन के क्षेत्र हैं। पॉलिमर की संरचना और गतिशीलता को अनुकरण करने के लिए जाली मॉडल का भी उपयोग किया जाता है।

गणितीय विवरण

निम्नलिखित डेटा द्वारा कई जाली मॉडल का वर्णन किया जा सकता है: <उल>

एक जाली (समूह) $\Lambda$, अक्सर एक जाली के रूप में लिया जाता है $d$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{d}$ या $d$-आयामी टोरस अगर जाली आवधिक है। ठोस रूप से, $\Lambda$ अक्सर पूर्णांक जाली होती है। यदि जाली पर दो बिंदुओं को 'निकटतम पड़ोसी' माना जाता है, तो जाली को जाली ग्राफ में बदलकर, उन्हें किनारे से जोड़ा जा सकता है। के शिखर $\Lambda$ कभी-कभी साइटों के रूप में जाना जाता है।

एक स्पिन-वैरिएबल स्पेस $S$. विन्यास स्थान ${\mathcal {C}}$ संभावित सिस्टम राज्यों का तब कार्यों का स्थान है $\sigma :\Lambda \rightarrow S$. कुछ मॉडलों के लिए, हम इसके बजाय कार्यों के स्थान पर विचार कर सकते हैं $\sigma :E\rightarrow S$ कहाँ $E$ ऊपर परिभाषित ग्राफ का किनारा सेट है।

एक ऊर्जा कार्यात्मक $E:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R}$, जो अतिरिक्त पैरामीटर या 'युग्मन स्थिरांक' के सेट पर निर्भर हो सकता है $\{g_{i}\}$.

उदाहरण

आइसिंग मॉडल सामान्य क्यूबिक जाली ग्राफ द्वारा दिया गया है $G=(\Lambda ,E)$ कहाँ $\Lambda$ में एक अनंत घन जाली है $\mathbb {R} ^{d}$ या एक अवधि $n$ घन जाली में $T^{d}$, और $E$ निकटतम पड़ोसियों का किनारा सेट है (ऊर्जा कार्यात्मक के लिए एक ही अक्षर का उपयोग किया जाता है लेकिन विभिन्न उपयोग संदर्भ के आधार पर अलग-अलग होते हैं)। स्पिन-वैरिएबल स्पेस है $S=\{+1,-1\}=\mathbb {Z} _{2}$. ऊर्जा कार्यात्मक है

$E(\sigma )=-H\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)-J\sum _{\{v_{1},v_{2}\}\in E}\sigma (v_{1})\sigma (v_{2}).$

स्पिन-वैरिएबल स्पेस को अक्सर सह समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पॉट्स मॉडल के लिए हमारे पास है $S=\mathbb {Z} _{n}$. सीमा में $n\rightarrow \infty$, हम XY मॉडल प्राप्त करते हैं जिसमें है $S=SO(2)$. उच्च आयामों के लिए XY मॉडल का सामान्यीकरण देता है $n$-वेक्टर मॉडल जिसमें है $S=S^{n}=SO(n+1)/SO(n)$.

हल करने योग्य मॉडल

हम अंकों की एक सीमित संख्या और एक परिमित स्पिन-वैरिएबल स्पेस के साथ जाली के विशेषज्ञ हैं। यह अवधि के साथ जाली को आवधिक बनाकर प्राप्त किया जा सकता है $n$ में $d$ आयाम। फिर कॉन्फ़िगरेशन स्पेस ${\mathcal {C}}$ परिमित भी है। हम विभाजन समारोह (सांख्यिकीय यांत्रिकी) को परिभाषित कर सकते हैं

$Z=\sum _{\sigma \in {\mathcal {C}}}\exp(-\beta E(\sigma ))$

और अभिसरण के कोई मुद्दे नहीं हैं (जैसे वे जो क्षेत्र सिद्धांत में उभर कर आते हैं) क्योंकि राशि परिमित है। सिद्धांत रूप में, इस राशि की गणना एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए की जा सकती है जो केवल मापदंडों पर निर्भर है $\{g_{i}\}$ और $\beta$. व्यवहार में, साइटों के बीच गैर-रेखीय अंतःक्रियाओं के कारण यह अक्सर कठिन होता है। विभाजन फ़ंक्शन के लिए बंद-रूप अभिव्यक्ति वाले मॉडल को बिल्कुल हल करने योग्य के रूप में जाना जाता है।

सटीक रूप से हल करने योग्य मॉडल के उदाहरण आवधिक 1D आइसिंग मॉडल हैं, और आवधिक 2D आइसिंग मॉडल गायब बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के साथ हैं, $H=0,$ लेकिन आयाम के लिए $d>2$, ईज़िंग मॉडल अनसुलझा रहता है।

माध्य क्षेत्र सिद्धांत

सटीक समाधान निकालने में कठिनाई के कारण, विश्लेषणात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए हमें अक्सर माध्य क्षेत्र सिद्धांत का सहारा लेना पड़ता है। यह औसत क्षेत्र स्थानिक रूप से भिन्न या वैश्विक हो सकता है।

ग्लोबल मीन फील्ड

विन्यास स्थान ${\mathcal {C}}$ कार्यों का $\sigma$ स्पिन स्थान के उत्तल पतवार द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $S$, कब $S$ के एक उपसमुच्चय के संदर्भ में एक बोध है $\mathbb {R} ^{m}$. हम इसे द्वारा निरूपित करेंगे $\langle {\mathcal {C}}\rangle$. यह हमारे पास क्षेत्र के औसत मूल्य पर जाने के रूप में उत्पन्न होता है $\sigma \mapsto \langle \sigma \rangle :={\frac {1}{|\Lambda |}}\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)$.

जाली साइटों की संख्या के रूप में $N=|\Lambda |\rightarrow \infty$, के संभावित मान $\langle \sigma \rangle$ का उत्तल पतवार भरें $S$. एक उपयुक्त सन्निकटन करने से, कार्यात्मक ऊर्जा माध्य क्षेत्र का एक कार्य बन जाती है, अर्थात $E(\sigma )\mapsto E(\langle \sigma \rangle ).$ विभाजन समारोह तब बन जाता है

$Z=\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-\beta E(\langle \sigma \rangle )}\Omega (\langle \sigma \rangle )=:\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle )}.$

जैसा $N\rightarrow \infty$, अर्थात्, थर्मोडायनामिक सीमा में, सैडल पॉइंट सन्निकटन हमें बताता है कि इंटीग्रल एसिम्प्टोटिक रूप से उस मूल्य पर हावी है जिस पर $f(\langle \sigma \rangle )$ न्यूनतम किया गया है:

$Z\sim e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle _{0})}$

कहाँ $\langle \sigma \rangle _{0}$ कम करने वाला तर्क है $f$.

एक सरल, लेकिन कम गणितीय रूप से कठोर दृष्टिकोण जो फिर भी कभी-कभी सही परिणाम देता है, माध्य क्षेत्र के बारे में सिद्धांत को रैखिक बनाने से आता है $\langle \sigma \rangle$. विन्यास लेखन के रूप में $\sigma (v)=\langle \sigma \rangle +\Delta \sigma (v)$, छंटनी की शर्तें ${\mathcal {O}}(\Delta \sigma ^{2})$ फिर कॉन्फ़िगरेशन पर योग विभाजन फ़ंक्शन की गणना की अनुमति देता है।

में आवधिक आइसिंग मॉडल के लिए ऐसा दृष्टिकोण $d$ आयाम चरण संक्रमणों में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

स्थानिक रूप से भिन्न माध्य क्षेत्र

जाली की सातत्य सीमा मान लीजिए $\Lambda$ है $\mathbb {R} ^{d}$. सभी पर औसत करने के बजाय $\Lambda$, हम के आस-पड़ोस में औसत हैं $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}$. यह स्थानिक रूप से भिन्न माध्य क्षेत्र देता है $\langle \sigma \rangle :\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \langle {\mathcal {C}}\rangle$. हम पुनः लेबल करते हैं $\langle \sigma \rangle$ साथ $\phi$ क्षेत्र सिद्धांत के करीब अंकन लाने के लिए। इससे पार्टीशन फंक्शन को पथ अभिन्न सूत्रीकरण के रूप में लिखा जा सकता है

$Z=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\beta F[\phi ]}$

जहां मुक्त ऊर्जा $F[\phi ]$ क्वांटम फील्ड थ्योरी में कार्रवाई का एक बाती घुमाई वर्जन है।

उदाहरण

संघनित पदार्थ भौतिकी

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आइज़िंग मॉडल

पॉट्स मॉडल

चिरल पॉट्स मॉडल

XY मॉडल

शास्त्रीय हाइजेनबर्ग मॉडल

एन-वेक्टर मॉडल

वर्टेक्स मॉडल

टोडा जाली

पॉलिमर भौतिकी

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बॉन्ड उतार-चढ़ाव मॉडल

दूसरा मॉडल

उच्च ऊर्जा भौतिकी

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QCD जाली मॉडल

यह भी देखें

• क्रिस्टल की संरचना
• स्केलिंग सीमा
• क्यूसीडी मामला
• जालीदार गैस

संदर्भ

• Baxter, Rodney J. (1982), Exactly solved models in statistical mechanics (PDF), London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, MR 0690578