रूलेट (वक्र)

वक्र की विभेदक ज्यामिति में, रूलेट एक प्रकार का वक्र होता है, जो साइक्लॉइड, अधिचक्रवात, हाइपोसाइक्लोइड, ट्रोचोइड्स, एपिट्रोकोइड, हाइपोट्रोकोइड और इनवॉल्यूट्स को सामान्यीकृत करता है।

ड्स, एपिट्रोकोइड, हाइपोट्रोकोइड और इनवॉल्यूट्स को सामान्यीकृत करता है।जो साइक्लॉइड,

परिभाषा

अनौपचारिक परिभाषा

एक हरा परवलय समान नीले परवलय के अनुदिश लुढ़कता है जो स्थिर रहता है। जनरेटर रोलिंग परवलय का शीर्ष है और रूलेट का वर्णन करता है, जिसे लाल रंग में दिखाया गया है। इस स्थितियों में रूलेट डायोकल्स का सिसॉइड है।

सामान्यतः कहें तो, रूलेट किसी दिए गए वक्र से जुड़े बिंदु (जिसे जनरेटर या पोल कहा जाता है) द्वारा वर्णित वक्र है क्योंकि वह वक्र बिना फिसले, दूसरे दिए गए वक्र के साथ घूमता है जो स्थिर है। अधिक स्पष्ट रूप से, विमान से जुड़ा वक्र दिया गया है जो घूम रहा है जिससे वक्र बिना फिसले, उसी स्थान पर रहने वाले निश्चित विमान से जुड़कर दिए गए वक्र के साथ घूम सके, फिर गतिमान तल से जुड़ा एक बिंदु स्थिर तल में एक वक्र का वर्णन करता है, जिसे रूलेट कहा जाता है।

विशेष स्थितियों और संबंधित अवधारणाएँ

ऐसी स्थितियों में जहां रोलिंग वक्र रेखा (ज्यामिति) है और जनरेटर रेखा पर बिंदु है, इस प्रकार रूलेट को निश्चित वक्र का इनवॉल्व कहा जाता है। यदि रोलिंग वक्र वृत्त है और स्थिर वक्र रेखा है तो रूलेट ट्रोचॉइड है। यदि, इस स्थिति में, बिंदु वृत्त पर स्थित है तो रूलेट साइक्लॉइड है।

एक संबंधित अवधारणा ग्लिसेट है, किसी दिए गए वक्र से जुड़े बिंदु द्वारा वर्णित वक्र जब यह दो (या अधिक) दिए गए वक्रों के साथ स्लाइड करता है।

औपचारिक परिभाषा

औपचारिक रूप से कहें तो, वक्र यूक्लिडियन विमान में अवकलनीय फलन वक्र होने चाहिए। स्थिर वक्र को अपरिवर्तनीय रखा जाता है; रोलिंग वक्र सतत कार्य सर्वांगसमता (ज्यामिति) परिवर्तन के अधीन है, जैसे कि हर समय वक्र संपर्क के बिंदु पर स्पर्शरेखा होते हैं जो किसी भी वक्र के साथ ले जाने पर समान गति से चलते हैं (इस बाधा को व्यक्त करने की दूसरी विधि यह है कि बिंदु दो वक्रों के संपर्क का सर्वांगसम परिवर्तन के घूर्णन का तात्कालिक केंद्र है)। परिणामी रूलेट जनरेटर के लोकस (गणित) द्वारा सर्वांगसम परिवर्तनों के समान समुच्चय के अधीन बनता है।

मूल वक्रों को जटिल तल में वक्रों के रूप में मॉडलिंग करते हुए, $r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ को रोलिंग ($r$) और निश्चित ($f$) वक्रों के दो प्राकृतिक पैरामीटर होने दें, जैसे कि सभी $r(0)=f(0)$, $r'(0)=f'(0)$ के लिए $|r'(t)|=|f'(t)|\neq 0$, और $t$। जनरेटर $p\in \mathbb {C}$ का रूलेट $r$ के रूप में $f$ पर घुमाया जाता है, फिर मैपिंग द्वारा दिया जाता है:

आइए मूल वक्रों को जटिल तल में वक्रों के रूप में मॉडलिंग करें $r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ वक्रों की दो विभेदक ज्यामिति हो#रोलिंग की लंबाई और प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन ($r$) और तय किया गया ($f$) वक्र, ऐसे कि $r(0)=f(0)$, $r'(0)=f'(0)$, और $|r'(t)|=|f'(t)|\neq 0$ सभी के लिए $t$. जनरेटर का रूलेट $p\in \mathbb {C}$ जैसा $r$ चालू किया गया है $f$ फिर मैपिंग द्वारा दिया गया है:

$t\mapsto f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}.$

सामान्यीकरण

यदि, बिंदु को रोलिंग वक्र से जुड़े होने के बजाय, एक और दिए गए वक्र को गतिशील विमान के साथ ले जाया जाता है, तो सर्वांगसम वक्रों का परिवार उत्पन्न होता है। इस परिवार के लिफाफे को रूलेट भी कहा जा सकता है।

उच्च स्थानों में रूलेट्स की निश्चित रूप से कल्पना की जा सकती है, लेकिन स्पर्शरेखाओं से कहीं अधिक संरेखित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण

यदि स्थिर वक्र ज़ंजीर का है और रोलिंग वक्र रेखा (गणित) है, तो हमारे पास है:

$f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)$

$f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).$

लाइन का मानकीकरण इसलिए चुना गया है

$|f'(t)|={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}=|r'(t)|.$

उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर हमें प्राप्त होता है:

$f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.$

यदि p = −i अभिव्यक्ति में स्थिर काल्पनिक भाग है (अर्थात् −i) और रूलेट क्षैतिज रेखा है। इसका दिलचस्प अनुप्रयोग यह है कि चौकोर पहिया सड़क पर बिना उछले घूम सकता है जो कि कैटेनरी आर्क की सुमेलित श्रृंखला है।

रूलेट्स की सूची

Fixed curve	Rolling curve	Generating point	Roulette
Any curve	Line	Point on the line	Involute of the curve
Line	Any	Any	Cyclogon
Line	Circle	Any	Trochoid
Line	Circle	Point on the circle	Cycloid
Line	Conic section	Center of the conic	Sturm roulette
Line	Conic section	Focus of the conic	Delaunay roulette
Line	Parabola	Focus of the parabola	Catenary
Line	Ellipse	Focus of the ellipse	Elliptic catenary
Line	Hyperbola	Focus of the hyperbola	Hyperbolic catenary
Line	Hyperbola	Center of the hyperbola	Rectangular elastica
Line	Cyclocycloid	Center	Ellipse
Circle	Circle	Any	Centered trochoid
Outside of a circle	Circle	Any	Epitrochoid
Outside of a circle	Circle	Point on the circle	Epicycloid
Outside of a circle	Circle of identical radius	Any	Limaçon
Outside of a circle	Circle of identical radius	Point on the circle	Cardioid
Outside of a circle	Circle of half the radius	Point on the circle	Nephroid
Inside of a circle	Circle	Any	Hypotrochoid
Inside of a circle	Circle	Point on the circle	Hypocycloid
Inside of a circle	Circle of a third of the radius	Point on the circle	Deltoid
Inside of a circle	Circle of a quarter of the radius	Point on the circle	Astroid
Parabola	Equal parabola parameterized in opposite direction	Vertex of the parabola	Cissoid of Diocles
Catenary	Line	See example above	Line

यह भी देखें

• लुढ़कना
• गियर
• लोकस (गणित)
• सुपरपोजिशन सिद्धांत
• स्पाइरोग्राफ
• तुसी दंपत्ति
• रोसेटा (कक्षा)

संदर्भ

• W. H. Besant (1890) Notes on Roulettes and Glissettes from Cornell University Historical Math Monographs, originally published by Deighton, Bell & Co.
• Weisstein, Eric W. "Roulette". MathWorld.

अग्रिम पठन

• Roulette at 2dcurves.com
• Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan (in French)
• Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen (in German)