रैखिक सम्मिश्र संरचना

गणित में, एक वास्तविक सदिश समष्टि V पर एक सामान्यीकृत जटिल संरचना, V का एक स्वप्रतिरूपण है जो शून्य पहचान फ़ंक्शन, -I का वर्ग है। वी पर ऐसी संरचना किसी को विहित तरीके से जटिल संख्या द्वारा गुणन को परिभाषित करने की अनुमति देती है ताकि वी को एक जटिल वेक्टर स्थान के रूप में माना जा सके।

प्रत्येक जटिल वेक्टर स्थान को एक संगत जटिल संरचना से सुसज्जित किया जा सकता है, हालांकि, सामान्य तौर पर ऐसी कोई विहित संरचना नहीं होती है। जटिल संरचनाओं का प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ-साथ जटिल ज्यामिति में भी अनुप्रयोग होता है जहां वे जटिल मैनिफोल्ड के विपरीत, लगभग जटिल मैनिफोल्ड की परिभाषा में एक आवश्यक भूमिका निभाते हैं। जटिल संरचना शब्द अक्सर इस संरचना को कई गुना संदर्भित करता है; जब यह सदिश स्थानों पर किसी संरचना को संदर्भित करता है, तो इसे 'रैखिक जटिल संरचना' कहा जा सकता है।

परिभाषा और गुण

वास्तविक सदिश समष्टि V पर एक जटिल संरचना एक वास्तविक रैखिक परिवर्तन है

$$J:V\to V$$

ऐसा है कि

$$J^{2}=-\mathrm {Id} _{V}.$$

यहाँ J² मतलब J स्वयं के साथ फ़ंक्शन संरचना और Id_V पहचान फ़ंक्शन चालू है V. यानी लगाने का असर J दो बार गुणा करने के समान है −1. यह काल्पनिक इकाई द्वारा गुणन की याद दिलाता है|काल्पनिक इकाई, i. एक जटिल संरचना किसी को समर्थन देने की अनुमति देती है V एक जटिल सदिश समष्टि की संरचना के साथ। जटिल अदिश गुणन को परिभाषित किया जा सकता है

$$(x+iy)v=xv+yJ(v)$$

सभी वास्तविक संख्याओं के लिए x,y और सभी वैक्टर v में V. कोई यह जाँच सकता है कि यह वास्तव में देता है V एक जटिल सदिश समष्टि की संरचना जिसे हम निरूपित करते हैं V_J.

दूसरी दिशा में जा रहे हैं, यदि कोई एक जटिल वेक्टर समष्टि से प्रारंभ करता है W तो कोई परिभाषित करके अंतर्निहित वास्तविक स्थान पर एक जटिल संरचना को परिभाषित कर सकता है Jw = iw सभी के लिए w ∈ W.

अधिक औपचारिक रूप से, वास्तविक वेक्टर स्थान पर एक रैखिक जटिल संरचना जटिल संख्याओं का बीजगणित प्रतिनिधित्व है C, वास्तविक संख्याओं पर एक साहचर्य बीजगणित के रूप में सोचा गया। यह बीजगणित ठोस रूप में साकार होता है

$$\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),$$

जो मेल खाता है i² = −1. फिर का एक प्रतिनिधित्व C एक वास्तविक सदिश समष्टि है V, की एक क्रिया के साथ C पर V (नक्षा C → End(V)). सीधे तौर पर, यह सिर्फ एक कार्रवाई है i, क्योंकि यह बीजगणित और प्रतिनिधित्व करने वाले ऑपरेटर को उत्पन्न करता है i (की छवि i में End(V)) बिलकुल है J.

अगर V_J जटिल आयाम है (रैखिक बीजगणित) n तब V वास्तविक आयाम होना चाहिए 2n. यानी एक परिमित-आयामी स्थान V किसी जटिल संरचना को तभी स्वीकार करता है जब वह सम-आयामी हो। यह देखना कठिन नहीं है कि प्रत्येक सम-आयामी वेक्टर स्थान एक जटिल संरचना को स्वीकार करता है। कोई परिभाषित कर सकता है J जोड़ियों पर e,f आधार (रैखिक बीजगणित) सदिशों द्वारा Je = f और Jf = −e और फिर सभी तक रैखिकता द्वारा विस्तार करें V. अगर (v₁, …, v_n) जटिल सदिश समष्टि का आधार है V_J तब (v₁, Jv₁, …, v_n, Jv_n) अंतर्निहित वास्तविक स्थान के लिए एक आधार है V.

एक वास्तविक रैखिक परिवर्तन A : V → V संगत जटिल स्थान का एक जटिल रैखिक परिवर्तन है V_J अगर और केवल अगर A के साथ आवागमन करता है J, अर्थात यदि और केवल यदि

$$AJ=JA.$$

इसी तरह, एक वास्तविक रैखिक उपस्थान U का V का एक जटिल उपस्थान है V_J अगर और केवल अगर J संरक्षित करता है U, अर्थात यदि और केवल यदि

$$JU=U.$$

उदाहरण

प्रारंभिक उदाहरण

वास्तविक क्षेत्र पर 2x2 वास्तविक आव्यूह M(2,R) का संग्रह 4-आयामी है। कोई मैट्रिक्स

$J={\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix}}$ के साथ² + bc = -1

पहचान मैट्रिक्स के ऋणात्मक के बराबर वर्ग है। एम(2,'आर') में एक जटिल संरचना बनाई जा सकती है: पहचान मैट्रिक्स I के साथ, तत्व x I + y J, मैट्रिक्स गुणन के साथ जटिल संख्याएँ बनाते हैं।

सीⁿ

एक रैखिक जटिल संरचना का मूल उदाहरण 'आर' पर संरचना है²ⁿ 'सी' पर जटिल संरचना से आ रहा हैⁿ. अर्थात्, जटिल एन-आयामी स्थान 'सी'ⁿ भी एक वास्तविक 2n-आयामी स्थान है - समान वेक्टर जोड़ और वास्तविक अदिश गुणन का उपयोग करते हुए - जबकि जटिल संख्या i द्वारा गुणा न केवल अंतरिक्ष का एक जटिल रैखिक परिवर्तन है, जिसे एक जटिल वेक्टर स्थान के रूप में माना जाता है, बल्कि यह अंतरिक्ष का एक वास्तविक रैखिक परिवर्तन भी है, जिसे वास्तविक सदिश स्थान माना जाता है। सीधे तौर पर, इसका कारण यह है कि i द्वारा अदिश गुणन वास्तविक संख्याओं द्वारा अदिश गुणन के साथ परिवर्तित होता है $i(\lambda v)=(i\lambda )v=(\lambda i)v=\lambda (iv)$ - और वेक्टर जोड़ में वितरित होता है। एक जटिल n×n मैट्रिक्स के रूप में, यह केवल विकर्ण पर i के साथ अदिश मैट्रिक्स है। संगत वास्तविक 2n×2n मैट्रिक्स को J दर्शाया गया है।

एक आधार दिया गया $\left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\right\}$ जटिल स्थान के लिए, यह सेट, इन वैक्टरों के साथ मिलकर i से गुणा किया जाता है $\left\{ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\},$ वास्तविक स्थान के लिए एक आधार तैयार करें। इस आधार को ऑर्डर करने के दो प्राकृतिक तरीके हैं, जो संक्षेप में इस बात से संबंधित हैं कि कोई टेंसर उत्पाद को इस रूप में लिखता है या नहीं $\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ या इसके बजाय के रूप में $\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{n}.$ यदि कोई आधार के रूप में आदेश देता है $\left\{e_{1},ie_{1},e_{2},ie_{2},\dots ,e_{n},ie_{n}\right\},$ तब J के लिए मैट्रिक्स ब्लॉक विकर्ण रूप लेता है (आयाम को इंगित करने के लिए सबस्क्रिप्ट जोड़े जाते हैं):

$$J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\&&0&-1\\&&1&0\\&&&&\ddots \\&&&&&\ddots \\&&&&&&0&-1\\&&&&&&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}J_{2}\\&J_{2}\\&&\ddots \\&&&J_{2}\end{bmatrix}}.$$

इस क्रम का लाभ यह है कि यह जटिल वेक्टर रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग का सम्मान करता है, जिसका अर्थ यहां आधार है $\mathbb {C} ^{m}\oplus \mathbb {C} ^{n}$ के लिए वैसा ही है $\mathbb {C} ^{m+n}.$ दूसरी ओर, यदि कोई आधार का आदेश देता है $\left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n},ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\}$, तो J के लिए मैट्रिक्स ब्लॉक-एंटीडायगोनल है:

$$J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{bmatrix}}.$$

यह क्रम अधिक स्वाभाविक है यदि कोई जटिल स्थान को वास्तविक स्थानों के प्रत्यक्ष योग के रूप में सोचता है, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।

वास्तविक वेक्टर स्पेस और J मैट्रिक्स का डेटा बिल्कुल जटिल वेक्टर स्पेस के डेटा के समान है, क्योंकि J मैट्रिक्स जटिल गुणन को परिभाषित करने की अनुमति देता है। लाई बीजगणित और लाई समूहों के स्तर पर, यह gl(2n,'R') में gl(n,'C') को शामिल करने से मेल खाता है (झूठ बीजगणित - मैट्रिक्स, जरूरी नहीं कि उलटा हो) और GL(n,C) |GL(n,'C') GL(2n,'R' में):

gl(n,C) < gl(2n,R) and GL(n,C) < GL(2n,R).

समावेशन जटिल संरचना को भूलने (और केवल वास्तविक रखने) से मेल खाता है, जबकि उपसमूह जीएल (एन, 'सी') को जे के साथ आने वाले मैट्रिक्स के रूप में चित्रित किया जा सकता है (समीकरणों में दिया गया है):

$$\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )\mid AJ=JA\right\}.$$

ली बीजगणित के बारे में संगत कथन यह है कि जटिल आव्यूहों के उपबीजगणित gl(n,'C') वे हैं जिनका J के साथ झूठ कोष्ठक लुप्त हो जाता है, जिसका अर्थ है $[J,A]=0;$ दूसरे शब्दों में, जे के साथ ब्रैकेटिंग के मानचित्र के कर्नेल के रूप में, $[J,-].$ ध्यान दें कि इन कथनों के लिए परिभाषित समीकरण समान हैं $AJ=JA$ वैसा ही है जैसा कि $AJ-JA=0,$ जो वैसा ही है $[A,J]=0,$ हालाँकि लेट ब्रैकेट के लुप्त होने का अर्थ ज्यामितीय रूप से आने-जाने के अर्थ से कम तात्कालिक है।

सीधा योग

यदि V कोई वास्तविक सदिश समष्टि है तो सदिश समष्टि V ⊕ V के प्रत्यक्ष योग पर एक विहित जटिल संरचना होती है, जो इसके द्वारा दी गई है

$$J(v,w)=(-w,v).$$

J का ब्लॉक मैट्रिक्स फॉर्म है

$$J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}$$

कहाँ $I_{V}$ वी पर पहचान मानचित्र है। यह टेंसर उत्पाद पर जटिल संरचना से मेल खाता है $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }V.$

अन्य संरचनाओं के साथ संगतता

अगर B एक द्विरेखीय रूप है V तो हम ऐसा कहते हैं J संरक्षित करता है B अगर

$$B(Ju,Jv)=B(u,v)$$

सभी के लिए u, v ∈ V. एक समतुल्य लक्षण वर्णन वह है J के संबंध में तिरछा जोड़ है B:

$$B(Ju,v)=-B(u,Jv).$$

अगर g एक आंतरिक उत्पाद है V तब J संरक्षित करता है g अगर और केवल अगर J एक ऑर्थोगोनल परिवर्तन है। वैसे ही, J एक गैर-अपक्षयी, तिरछा-सममित मैट्रिक्स | तिरछा-सममित रूप संरक्षित करता है ω अगर और केवल अगर J एक सिंपलेक्टिक परिवर्तन है (अर्थात्, यदि ${\textstyle \omega (Ju,Jv)=\omega (u,v)}$). सरलीकृत रूपों के लिए ω के बीच एक दिलचस्प अनुकूलता की स्थिति J और ω यह है कि

$$\omega (u,Ju)>0$$

सभी गैर-शून्य के लिए धारण करता है u में V. यदि यह शर्त पूरी होती है तो हम ऐसा कहते हैं J वश में करना ω (पर्यायवाची: वह ω के संबंध में वश में है J; वह J के संबंध में वश में है ω; या वह जोड़ी ${\textstyle (\omega ,J)}$ वश में है)।

एक सांकेतिक रूप दिया गया है ω और एक रैखिक जटिल संरचना J पर V, कोई संबंधित द्विरेखीय रूप को परिभाषित कर सकता है g_J पर V द्वारा

$$g_{J}(u,v)=\omega (u,Jv).$$

चूँकि एक सरलीकृत रूप गैर-विक्षिप्त होता है, इसलिए उससे जुड़ा द्विरेखीय रूप भी अप्रचलित होता है। संबंधित प्रपत्र द्वारा संरक्षित है J यदि और केवल यदि सहानुभूतिपूर्ण रूप है। इसके अलावा, यदि सिंपलेक्टिक फॉर्म को संरक्षित किया जाता है J, तो संबद्ध रूप सममित है। यदि इसके अतिरिक्त ω द्वारा वश में किया जाता है J, तो संबद्ध रूप निश्चित द्विरेखीय रूप है। इस प्रकार इस मामले में V के संबंध में एक आंतरिक उत्पाद स्थान है g_J.

यदि सिंपलेक्टिक रूप ω द्वारा संरक्षित किया गया है (लेकिन जरूरी नहीं कि उसे वश में किया जाए)। J, तब g_J हर्मिटियन रूप की जटिल संख्या है (पहले तर्क में कन्वेंशन एंटीलीनियर द्वारा) ${\textstyle h_{J}\colon V_{J}\times V_{J}\to \mathbb {C} }$ द्वारा परिभाषित

$$h_{J}(u,v)=g_{J}(u,v)+ig_{J}(Ju,v)=\omega (u,Jv)+i\omega (u,v).$$

जटिलताओं से संबंध

किसी भी वास्तविक सदिश समष्टि V को देखते हुए हम अदिशों के विस्तार द्वारा इसकी जटिलता को परिभाषित कर सकते हैं:

$V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .$

यह एक जटिल सदिश समष्टि है जिसका जटिल आयाम V के वास्तविक आयाम के बराबर है। इसमें एक विहित जटिल संयुग्मन है जिसे परिभाषित किया गया है

${\overline {v\otimes z}}=v\otimes {\bar {z}}$

यदि J, V पर एक जटिल संरचना है, तो हम J को रैखिकता द्वारा V तक बढ़ा सकते हैं^सी:

$J(v\otimes z)=J(v)\otimes z.$

चूँकि C बीजगणितीय रूप से बंद है, J में eigenvalues ​​​​होने की गारंटी है जो λ को संतुष्ट करते हैं² = −1, अर्थात् λ = ±i. इस प्रकार हम लिख सकते हैं

$V^{\mathbb {C} }=V^{+}\oplus V^{-}$

जहां वी⁺और वी⁻ क्रमशः +i और −i के eigenspaces हैं। जटिल संयुग्मन इंटरचेंज वी⁺और वी⁻. वी पर प्रक्षेपण मानचित्र^± eigenspaces द्वारा दिए गए हैं

${\mathcal {P}}^{\pm }={1 \over 2}(1\mp iJ).$

ताकि

$V^{\pm }=\{v\otimes 1\mp Jv\otimes i:v\in V\}.$

वी के बीच एक प्राकृतिक जटिल रैखिक समरूपता है_J और वी⁺, इसलिए इन सदिश स्थानों को समान माना जा सकता है, जबकि V⁻ को V का जटिल संयुग्म सदिश समष्टि माना जा सकता है_J.

ध्यान दें कि यदि वी_J दोनों V के बाद जटिल आयाम n है⁺और वी⁻जटिल आयाम n है जबकि V^Cका जटिल आयाम 2n है।

संक्षेप में, यदि कोई एक जटिल सदिश समष्टि W से शुरू करता है और अंतर्निहित वास्तविक स्थान की जटिलता को लेता है, तो उसे W और उसके संयुग्म के प्रत्यक्ष योग के लिए एक समरूपी समष्टि प्राप्त होती है:

$W^{\mathbb {C} }\cong W\oplus {\overline {W}}.$

संबंधित वेक्टर स्थानों का विस्तार

मान लीजिए कि V एक जटिल संरचना J के साथ एक वास्तविक सदिश समष्टि है। दोहरे स्थान V* में एक प्राकृतिक जटिल संरचना J* है जो J के दोहरे (या स्थानान्तरण) द्वारा दी गई है। दोहरे स्थान की जटिलता (V*)^{इसलिए C}में प्राकृतिक अपघटन होता है

$(V^{*})^{\mathbb {C} }=(V^{*})^{+}\oplus (V^{*})^{-}$

J* के ±i eigenspaces में। (V*) की प्राकृतिक पहचान के तहत^सी के साथ (वी^C)* कोई (V*) को चिह्नित कर सकता है⁺ उन जटिल रैखिक कार्यात्मकताओं के रूप में जो V पर लुप्त हो जाती हैं⁻. इसी प्रकार (वी*)⁻में वे जटिल रैखिक क्रियाएँ शामिल हैं जो V पर लुप्त हो जाती हैं⁺.

वी पर (जटिल) टेंसर बीजगणित, सममित बीजगणित और बाहरी बीजगणित^सीविघटन को भी स्वीकार करता है। बाहरी बीजगणित शायद इस अपघटन का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है। सामान्य तौर पर, यदि एक सदिश स्थान U एक अपघटन U = S ⊕ T को स्वीकार करता है तो U की बाहरी शक्तियों को निम्नानुसार विघटित किया जा सकता है:

$\Lambda ^{r}U=\bigoplus _{p+q=r}(\Lambda ^{p}S)\otimes (\Lambda ^{q}T).$

इसलिए V पर एक जटिल संरचना J एक अपघटन को प्रेरित करती है

$\Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Lambda ^{p,q}\,V_{J}$

कहाँ

$\Lambda ^{p,q}\,V_{J}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,(\Lambda ^{p}\,V^{+})\otimes (\Lambda ^{q}\,V^{-}).$

सभी बाहरी शक्तियों को सम्मिश्र संख्याओं पर ले लिया जाता है। तो अगर वी_J तो इसका जटिल आयाम n (वास्तविक आयाम 2n) है

$\dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }={2n \choose r}\qquad \dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{p,q}\,V_{J}={n \choose p}{n \choose q}.$

वेंडरमोंडे की पहचान के परिणामस्वरूप आयाम सही ढंग से जुड़ते हैं।

(p,q)- का स्थान Λ बनाता है^{पी, क्यू} वी_J* V पर (जटिल) बहुरेखीय रूपों का स्थान है^सी जो सजातीय तत्वों पर गायब हो जाता है जब तक कि पी वी से न हो⁺ और q, V से हैं⁻. Λ का सम्मान करना भी संभव है^{पी, क्यू} वी_J* वी से वास्तविक बहुरेखीय मानचित्रों के स्थान के रूप में_J से C जो p पदों में जटिल रैखिक हैं और q पदों में संयुग्म-रैखिक हैं।

इन विचारों के अनुप्रयोगों के लिए जटिल विभेदक रूप और लगभग जटिल मैनिफोल्ड देखें।

यह भी देखें

• लगभग जटिल विविधता
• जटिल कई गुना
• जटिल विभेदक रूप
• जटिल संयुग्म वेक्टर स्थान
• हर्मिटियन संरचना
• वास्तविक संरचना

संदर्भ

• Kobayashi S. and Nomizu K., Foundations of Differential Geometry, John Wiley & Sons, 1969. ISBN 0-470-49648-7. (complex structures are discussed in Volume II, Chapter IX, section 1).
• Budinich, P. and Trautman, A. The Spinorial Chessboard, Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3. (complex structures are discussed in section 3.1).
• Goldberg S.I., Curvature and Homology, Dover Publications, 1982. ISBN 0-486-64314-X. (complex structures and almost complex manifolds are discussed in section 5.2).