रैखिक सम्मिश्र संरचना
गणित में एक वास्तविक सदिश समष्टि V पर एक सम्मिश्र संरचना, V का एक स्वप्रतिरूपण है जो ऋणात्मक पहचान −I का वर्ग है। जो कि V पर इस तरह की संरचना किसी को विहित विधि से सम्मिश्र अदिशों द्वारा गुणन को परिभाषित करने की अनुमति देती है जिससे V को एक सम्मिश्र सदिश समष्टि के रूप में माना जा सकता है।
प्रत्येक सम्मिश्र सदिश स्थान को संगत सम्मिश्र संरचना से सुसज्जित किया जा सकता है, चूँकि यह सामान्य रूप से ऐसी कोई विहित संरचना नहीं होती है। जो कि सम्मिश्र संरचनाओं का प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ-साथ सम्मिश्र ज्यामिति में भी अनुप्रयोग होता है जहां वे सम्मिश्र मैनिफोल्ड के विपरीत, लगभग सम्मिश्र मैनिफोल्ड की परिभाषा में आवश्यक भूमिका निभाते हैं। सम्मिश्र संरचना शब्द अधिकांशत: इस संरचना को अधिक गुना संदर्भित करता है; जब यह सदिश स्थानों पर किसी संरचना को संदर्भित करता है, तो इसे 'रैखिक सम्मिश्र संरचना' कहा जा सकता है।
परिभाषा और गुण
वास्तविक सदिश समष्टि V पर सम्मिश्र संरचना वास्तविक रैखिक परिवर्तन है
यह दूसरी दिशा में जाने पर, यदि कोई सम्मिश्र सदिश समष्टि W से प्रारंभ करता है तो वह सभी w ∈ W के लिए Jw = iw को परिभाषित करके अंतर्निहित वास्तविक स्थान पर एक सम्मिश्र संरचना को परिभाषित कर सकता है।
अधिक औपचारिक रूप से, एक वास्तविक सदिश स्थान पर एक रैखिक सम्मिश्र संरचना सम्मिश्र संख्याओं C का बीजगणित प्रतिनिधित्व है, जिसे वास्तविक संख्याओं पर एक सहयोगी बीजगणित के रूप में माना जाता है। यह बीजगणित ठोस रूप में साकार होता है
जो i2 = −1 से मेल खाता है। फिर C का प्रतिनिधित्व एक वास्तविक सदिश समष्टि V है, इसके साथ में V पर C की क्रिया (एक मानचित्र C → End(V) भी है। जो कि समान्य रूप से, यह केवल i की एक क्रिया है, क्योंकि यह बीजगणित उत्पन्न करता है, और यह i (End(V) में i की छवि) का प्रतिनिधित्व करने वाला ऑपरेटर बिल्कुल J है।
यदि VJ का सम्मिश्र आयाम n है तो V का वास्तविक आयाम 2n होना चाहिए। अर्थात्, एक परिमित-आयामी स्थान V एक सम्मिश्र संरचना को तभी स्वीकार करता है जब वह सम-आयामी हो। यह देखना कठिन नहीं है कि प्रत्येक सम-आयामी सदिश स्थान एक सम्मिश्र संरचना को स्वीकार करता है। कोई व्यक्ति Je = f और Jf = −e द्वारा आधार सदिश के जोड़े e,f पर J को परिभाषित कर सकता है और फिर सभी V तक रैखिकता द्वारा विस्तारित कर सकता है। यदि (v1, …, vn) सम्मिश्र सदिश स्थान VJ के लिए एक आधार है तो (v1, Jv1, …, vn, Jvn) अंतर्निहित वास्तविक स्थान V का आधार है।
एक वास्तविक रैखिक परिवर्तन A : V → V संगत सम्मिश्र स्थान VJ का सम्मिश्र रैखिक परिवर्तन है यदि और केवल यदि A J के साथ आवागमन करता है , अर्थात यदि और केवल यदि
उदाहरण
प्रारंभिक उदाहरण
वास्तविक क्षेत्र पर 2x2 वास्तविक आव्यूह M(2,R) का संग्रह 4-आयामी है। कोई आव्यूह
- a2 + bc = –1 के साथ
पहचान आव्यूह के ऋणात्मक के समान वर्ग है। जो M(2,R) में सम्मिश्र संरचना बनाई जा सकती है: पहचान आव्यूह I के साथ, तत्व x I + y J, आव्यूह गुणन के साथ सम्मिश्र संख्याएँ बनाते हैं।
Cn
एक रैखिक सम्मिश्र संरचना का मूल उदाहरण Cn पर सम्मिश्र संरचना से आने वाली R2n पर संरचना है। अर्थात्, सम्मिश्र n-आयामी स्थान Cn भी एक वास्तविक 2n-आयामी स्थान है - समान सदिश जोड़ और वास्तविक अदिश गुणन का उपयोग करते हुए - जबकि सम्मिश्र संख्या i द्वारा गुणा न केवल अंतरिक्ष का एक सम्मिश्र रैखिक परिवर्तन है, जैसा कि सोचा गया है एक सम्मिश्र सदिश समष्टि, किन्त्तु अंतरिक्ष का एक वास्तविक रैखिक परिवर्तन भी, जिसे एक वास्तविक सदिश समष्टि माना जाता है। सामान्य रूप से, इसका कारण यह है कि i द्वारा अदिश गुणन वास्तविक संख्याओं द्वारा अदिश गुणन के साथ परिवर्तित होता है। जिसका - और सदिश जोड़ में वितरित होता है। सम्मिश्र n×n आव्यूह के रूप में, यह केवल विकर्ण पर i के साथ अदिश आव्यूह है। संगत वास्तविक 2n×2n आव्यूह को J दर्शाया गया है।
सम्मिश्र स्थान के लिए का आधार दिया गया है, इस सेट को इन सदिशों के साथ i से गुणा किया गया है, अर्थात् वास्तविक स्थान के लिए एक आधार बनाते हैं। इस आधार को ऑर्डर करने के दो प्राकृतिक विधि हैं, जो संक्षेप में इस बात से मेल खाते हैं कि कोई टेंसर उत्पाद को के रूप में लिखता है या इसके अतिरिक्त के रूप में है ।
यदि कोई आधार को के रूप में ऑर्डर करता है, तो आव्यूह J के लिए ब्लॉक विकर्ण रूप लेता है (आयाम को इंगित करने के लिए सबस्क्रिप्ट जोड़े गए):
दूसरी ओर, यदि कोई आधार को के रूप में ऑर्डर करता है, तो J के लिए आव्यूह ब्लॉक-एंटीडायगोनल है:
वास्तविक सदिश स्थान और J आव्यूह का डेटा बिल्कुल सम्मिश्र सदिश स्थान के डेटा के समान है, क्योंकि J आव्यूह सम्मिश्र गुणन को परिभाषित करने की अनुमति देता है। लाई बीजगणित और लाई समूहों के स्तर पर, यह gl(2n,'R') में gl(n,'C') को सम्मिलित करने से मेल खाता है (लाई बीजगणित - आव्यूह , जरूरी नहीं कि विपरीत हो) और GL(n,C) |GL(n,'C') GL(2n,'R' में):
समावेशन सम्मिश्र संरचना को भूलने (और केवल वास्तविक रखने) से मेल खाता है, जबकि उपसमूह GL(n,C) को J के साथ आने वाले आव्यूह के रूप में चित्रित किया जा सकता है (समीकरणों में दिया गया है):
ध्यान दें कि इन कथनों के लिए परिभाषित समीकरण समान हैं, क्योंकि { , के समान है, जो कि के समान है, चूँकि लाई ब्रैकेट के लुप्त होने का अर्थ कम तत्काल है आवागमन के अर्थ की तुलना में ज्यामितीय रूप से है ।
सीधा योग
यदि V कोई वास्तविक सदिश समष्टि है तो सदिश समष्टि V ⊕ V के प्रत्यक्ष योग पर विहित सम्मिश्र संरचना होती है, जो इसके द्वारा दी गई है
अन्य संरचनाओं के साथ संगतता
यदि B, V पर एक द्विरेखीय रूप है तो हम कहते हैं कि J, B को सुरक्षित रखता है
यदि g, V पर एक आंतरिक उत्पाद है तो J, g को संरक्षित करता है यदि और केवल यदि J एक ऑर्थोगोनल परिवर्तन है। इसी तरह, J एक गैर-अपक्षयी, तिरछा-सममित रूप ω को संरक्षित करता है यदि और केवल यदि J एक सहानुभूतिपूर्ण परिवर्तन है (अर्थात्, यदि सहानुभूतिपूर्ण रूपों के लिए ω J और ω के बीच एक रौचक अनुकूलता की स्थिति है
एक सहानुभूतिपूर्ण रूप ω और V पर एक रैखिक सम्मिश्र संरचना J को देखते हुए, कोई V पर संबंधित द्विरेखीय रूप gJ को परिभाषित कर सकता है
यदि सहानुभूतिपूर्ण रूप ω को J द्वारा संरक्षित किया जाता है (किन्तु जरूरी नहीं कि उसे वश में किया जाए), तो gJ हर्मिटियन रूप का वास्तविक भाग है (पहले तर्क में सम्मेलन एंटीलिनियर द्वारा) द्वारा परिभाषित है
सम्मिश्र ताओं से संबंध
किसी भी वास्तविक सदिश समष्टि V को देखते हुए हम अदिशों के विस्तार द्वारा इसकी सम्मिश्र्ता को परिभाषित कर सकते हैं:
यह सम्मिश्र सदिश समष्टि है जिसका सम्मिश्र आयाम V के वास्तविक आयाम के समान है। इसमें विहित सम्मिश्र संयुग्मन है जिसे परिभाषित किया गया है
यदि J, V पर सम्मिश्र संरचना है, तो हम J को रैखिकता द्वारा VC तक बढ़ा सकते हैं:
चूँकि C बीजगणितीय रूप से बंद है, J में आइगेनवैल्यू होने की गारंटी है जो λ2 = −1,को संतुष्ट करते हैं, अर्थात् λ = ±i. इस प्रकार हम लिख सकते हैं
जहां V+ और V− क्रमशः +i और −i के आइगेन स्पेस हैं। सम्मिश्र संयुग्मन इंटरचेंज V+ और V−. V± पर प्रक्षेपण मानचित्र आइगेन स्पेस द्वारा दिए गए हैं
जिससे
VJ और V+के बीच एक प्राकृतिक सम्मिश्र रैखिक समरूपता है, इसलिए इन सदिश स्थानों को समान माना जा सकता है, जबकि V− को VJ का सम्मिश्र संयुग्म माना जा सकता है।
ध्यान दें कि यदि VJ का सम्मिश्र आयाम n है तो V+ और V− दोनों का सम्मिश्र आयाम n है जबकि VC का सम्मिश्र आयाम 2n है।
संक्षेप में, यदि कोई सम्मिश्र सदिश समष्टि W से प्रारंभ करता है और अंतर्निहित वास्तविक स्थान की सम्मिश्र्ता को लेता है, तो उसे W और उसके संयुग्म के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूपी समष्टि प्राप्त होती है:
संबंधित सदिश स्थानों का विस्तार
मान लीजिए कि V एक सम्मिश्र संरचना J के साथ एक वास्तविक सदिश समष्टि है। दोहरे स्थान(V*) में एक प्राकृतिक सम्मिश्र संरचना J* है जो J के दोहरे (या स्थानान्तरण) द्वारा दी गई है। इसलिए दोहरे स्थान (V*)C की सम्मिश्र ता में एक है जो कि प्राकृतिक अपघटन है
J* के ±i आइगेन स्पेस में। (V*)C कि (VC)* के साथ प्राकृतिक पहचान के अनुसार कोई (V*)+ को उन सम्मिश्र रैखिक कार्यात्मकताओं के रूप में चिह्नित कर सकता है जो V− पर गायब हो जाते हैं। इसी तरह (V*)− में वे सम्मिश्र रैखिक कार्यात्मकताएं सम्मिलित हैं जो V+ पर लुप्त हो जाती हैं।
VC पर (सम्मिश्र ) टेंसर बीजगणित, सममित बीजगणित और बाहरी बीजगणित विघटन को भी स्वीकार करता है। बाहरी बीजगणित संभवतः इस अपघटन का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है। सामान्य रूप से यदि सदिश स्थान U अपघटन U = S ⊕ T को स्वीकार करता है तो U की बाहरी शक्तियों को निम्नानुसार विघटित किया जा सकता है:
इसलिए V पर सम्मिश्र संरचना J अपघटन को प्रेरित करती है
जहाँ
सभी बाहरी शक्तियों को सम्मिश्र संख्याओं पर ले लिया जाता है। तो यदि VJ तो इसका सम्मिश्र आयाम n (वास्तविक आयाम 2n) है
वेंडरमोंडे की पहचान के परिणामस्वरूप आयाम सही रूप से जुड़ते हैं।
(p,q)-रूपों Λp,q VJ* का स्थान VC पर (सम्मिश्र ) बहुरेखीय रूपों का स्थान है जो सजातीय तत्वों पर गायब हो जाता है जब तक कि p V+ से न हो और q V− से न हो। Λp,q VJ* को VJ से C तक वास्तविक बहुरेखीय मानचित्रों के स्थान के रूप में मानना भी संभव है जो p पदों में सम्मिश्र रैखिक और q पदों में संयुग्म-रैखिक हैं।
इन विचारों के अनुप्रयोगों के लिए सम्मिश्र विभेदक रूप और लगभग सम्मिश्र मैनिफोल्ड देखें।
यह भी देखें
- लगभग सम्मिश्र विविधता
- सम्मिश्र मैनी फोल्ड
- सम्मिश्र विभेदक रूप
- सम्मिश्र संयुग्म सदिश स्थान
- हर्मिटियन संरचना
- वास्तविक संरचना
संदर्भ
- Kobayashi S. and Nomizu K., Foundations of Differential Geometry, John Wiley & Sons, 1969. ISBN 0-470-49648-7. (complex structures are discussed in Volume II, Chapter IX, section 1).
- Budinich, P. and Trautman, A. The Spinorial Chessboard, Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3. (complex structures are discussed in section 3.1).
- Goldberg S.I., Curvature and Homology, Dover Publications, 1982. ISBN 0-486-64314-X. (complex structures and almost complex manifolds are discussed in section 5.2).