नियंत्रणीयता ग्रामियन

नियंत्रण सिद्धांत में, हमें यह पता लगाने की आवश्यकता हो सकती है कि कोई प्रणाली ऐसी है या नहीं

${\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=Ax}}(t)+{\boldsymbol {Bu}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {Cx}}(t)+{\boldsymbol {Du}}(t)\end{array}}$ नियंत्रणीयता है, जहां ${\boldsymbol {A}}$, ${\boldsymbol {B}}$, ${\boldsymbol {C}}$ और ${\boldsymbol {D}}$ हैं, क्रमशः, $n\times n$, $n\times p$, $q\times n$ और $q\times p$ एक सिस्टम के लिए मैट्रिक्स $p$ इनपुट, $n$ राज्य चर और $q$ आउटपुट.

ऐसे लक्ष्य को प्राप्त करने के कई तरीकों में से एक है कंट्रोलेबिलिटी ग्रामियन का उपयोग।

एलटीआई सिस्टम में नियंत्रणीयता

लीनियर टाइम इनवेरिएंट (एलटीआई) सिस्टम वे सिस्टम हैं जिनमें पैरामीटर ${\boldsymbol {A}}$, ${\boldsymbol {B}}$, ${\boldsymbol {C}}$ और ${\boldsymbol {D}}$ समय के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं।

केवल जोड़ी को देखकर ही कोई यह पता लगा सकता है कि एलटीआई प्रणाली नियंत्रण योग्य है या नहीं $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$. तब, हम कह सकते हैं कि निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:

1. जोड़ी $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$ नियंत्रणीय है.

2. $n\times n$ h> मैट्रिक्स

${\boldsymbol {W_{c}}}(t)=\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau =\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}(t-\tau )}{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}(t-\tau )}d\tau$ किसी के लिए निरर्थक है $t>0$.

3. $n\times np$ h> नियंत्रणीयता मैट्रिक्स

${\mathcal {C}}=[{\begin{array}{ccccc}{\boldsymbol {B}}&{\boldsymbol {AB}}&{\boldsymbol {A^{2}B}}&...&{\boldsymbol {A^{n-1}B}}\end{array}}]$ रैंक n है.

4. $n\times (n+p)$ h> मैट्रिक्स

$[{\begin{array}{cc}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {-\lambda }}{\boldsymbol {I}}&{\boldsymbol {B}}\end{array}}]$ प्रत्येक eigenvalue पर पूर्ण पंक्ति रैंक है $\lambda$ का ${\boldsymbol {A}}$.

यदि, इसके अतिरिक्त, के सभी eigenvalues ${\boldsymbol {A}}$ नकारात्मक वास्तविक भाग हैं (${\boldsymbol {A}}$ स्थिर है), और ल्यपुनोव समीकरण का अनूठा समाधान

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}=-{\boldsymbol {BB^{T}}}$ सकारात्मक निश्चित है, सिस्टम नियंत्रणीय है। समाधान को नियंत्रणीयता ग्रामियन कहा जाता है और इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

${\boldsymbol {W_{c}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau$ निम्नलिखित अनुभाग में हम कंट्रोलेबिलिटी ग्रैमियन पर करीब से नज़र डालने जा रहे हैं।

नियंत्रणीयता ग्रामियन

नियंत्रणीयता ग्रामियन को ल्यपुनोव समीकरण द्वारा दिए गए समाधान के रूप में पाया जा सकता है

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}=-{\boldsymbol {BB^{T}}}$ वास्तव में, यदि हम लेते हैं तो हम इसे देख सकते हैं

${\boldsymbol {W_{c}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau$ एक समाधान के रूप में, हम इसे ढूंढने जा रहे हैं:

${\begin{array}{ccccc}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}&=&\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {A}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau &+&\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {A^{T}}}d\tau \\&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {d}{d\tau }}(e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau })d\tau &=&e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}|_{t=0}^{\infty }\\&=&{\boldsymbol {0}}-{\boldsymbol {BB^{T}}}\\&=&{\boldsymbol {-BB^{T}}}\end{array}}$ जहाँ हमने इस तथ्य का उपयोग किया $e^{{\boldsymbol {A}}t}=0$ पर $t=\infty$ स्थिर के लिए ${\boldsymbol {A}}$ (इसके सभी eigenvalues ​​​​में नकारात्मक वास्तविक भाग है)। यह हमें यह दिखाता है ${\boldsymbol {W}}_{c}$ वास्तव में विश्लेषण के तहत लायपुनोव समीकरण का समाधान है।

गुण

हम देख सकते हैं कि ${\boldsymbol {BB^{T}}}$ एक सममित मैट्रिक्स है, इसलिए, ऐसा है ${\boldsymbol {W}}_{c}$.

हम इस तथ्य का फिर से उपयोग कर सकते हैं कि, यदि ${\boldsymbol {A}}$ यह दिखाने के लिए स्थिर है (इसके सभी eigenvalues ​​​​में नकारात्मक वास्तविक भाग है)। ${\boldsymbol {W}}_{c}$ निराला है। ऐसा साबित करने के लिए, मान लीजिए कि हमारे पास दो अलग-अलग समाधान हैं

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}=-{\boldsymbol {BB^{T}}}$ और वे द्वारा दिए गए हैं ${\boldsymbol {W}}_{c1}$ और ${\boldsymbol {W}}_{c2}$. तो हमारे पास हैं:

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})+{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}){\boldsymbol {A^{T}}}={\boldsymbol {0}}$ से गुणा करना $e^{{\boldsymbol {A}}t}$ बायीं ओर से और द्वारा $e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}$ दाईं ओर, हमें ले जाएगा

$e^{{\boldsymbol {A}}t}[{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})+{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}){\boldsymbol {A^{T}}}]e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}={\frac {d}{dt}}[e^{{\boldsymbol {A}}t}[({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}]={\boldsymbol {0}}$ से एकीकृत किया जा रहा है $0$ को $\infty$:

$[e^{{\boldsymbol {A}}t}[({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}]|_{t=0}^{\infty }={\boldsymbol {0}}$ इस तथ्य का उपयोग करते हुए $e^{{\boldsymbol {A}}t}\rightarrow 0$ जैसा $t\rightarrow \infty$:

${\boldsymbol {0}}-({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})={\boldsymbol {0}}$ दूसरे शब्दों में, ${\boldsymbol {W}}_{c}$ अद्वितीय होना चाहिए.

साथ ही, हम इसे देख भी सकते हैं

${\boldsymbol {x^{T}W_{c}x}}=\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {x}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}dt=\int _{0}^{\infty }\left\Vert {\boldsymbol {B^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}}}\right\Vert _{2}^{2}dt$ किसी भी टी के लिए सकारात्मक है (गैर-अपक्षयी मामले को मानते हुए)। $\left\Vert {\boldsymbol {B^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}}}\right\Vert$ समान रूप से शून्य नहीं है)। यह बनाता है ${\boldsymbol {W}}_{c}$ एक सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स.

नियंत्रणीय प्रणालियों के अधिक गुण यहां पाए जा सकते हैं, साथ ही "जोड़ी" के अन्य समकक्ष कथनों के लिए प्रमाण भी $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$ नियंत्रणीय है" एलटीआई सिस्टम में नियंत्रणीयता अनुभाग में प्रस्तुत किया गया है।

असतत समय प्रणाली

असतत समय प्रणालियों के लिए

${\begin{array}{c}{\boldsymbol {x}}[k+1]{\boldsymbol {=Ax}}[k]+{\boldsymbol {Bu}}[k]\\{\boldsymbol {y}}[k]={\boldsymbol {Cx}}[k]+{\boldsymbol {Du}}[k]\end{array}}$ कोई यह जांच सकता है कि "जोड़ी" कथन के लिए समतुल्यताएं हैं $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$ नियंत्रणीय है" (निरंतर समय के मामले में समतुल्यताएं काफी हद तक समान हैं)।

हम उस तुल्यता में रुचि रखते हैं जो दावा करती है कि, यदि "जोड़ी।" $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$ नियंत्रणीय है" और सभी eigenvalues ${\boldsymbol {A}}$ से कम परिमाण है $1$ (${\boldsymbol {A}}$ स्थिर है), तो का अद्वितीय समाधान

$W_{dc}-{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{dc}{\boldsymbol {A^{T}}}={\boldsymbol {BB^{T}}}$ सकारात्मक निश्चित है और द्वारा दिया गया है

${\boldsymbol {W}}_{dc}=\sum _{m=0}^{\infty }{\boldsymbol {A}}^{m}{\boldsymbol {BB}}^{T}({\boldsymbol {A}}^{T})^{m}$ इसे असतत नियंत्रणीयता ग्रैमियन कहा जाता है। हम असतत समय और सतत समय मामले के बीच पत्राचार को आसानी से देख सकते हैं, यानी, अगर हम इसकी जांच कर सकें ${\boldsymbol {W}}_{dc}$ सकारात्मक निश्चित है, और सभी eigenvalues ${\boldsymbol {A}}$ से कम परिमाण है $1$, प्रणाली $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$ नियंत्रणीय है. अधिक गुण और प्रमाण इसमें पाए जा सकते हैं।

रैखिक समय भिन्न प्रणालियाँ

लीनियर टाइम वैरिएंट (LTV) प्रणालियाँ इस प्रकार हैं:

${\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=A}}(t){\boldsymbol {x}}(t)+{\boldsymbol {B}}(t){\boldsymbol {u}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {C}}(t){\boldsymbol {x}}(t)\end{array}}$ यानी मैट्रिक्स ${\boldsymbol {A}}$, ${\boldsymbol {B}}$ और ${\boldsymbol {C}}$ ऐसी प्रविष्टियाँ हैं जो समय के साथ बदलती रहती हैं। पुनः, निरंतर समय के मामले में और असतत समय के मामले में, किसी को यह जानने में रुचि हो सकती है कि क्या जोड़ी द्वारा दी गई प्रणाली $({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {B}}(t))$ नियंत्रणीय है या नहीं. यह पिछले मामलों की तरह ही किया जा सकता है।

प्रणाली $({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {B}}(t))$ समय पर नियंत्रणीय है $t_{0}$ यदि और केवल यदि कोई परिमित अस्तित्व है $t_{1}>t_{0}$ ऐसे कि $n\times n$ मैट्रिक्स, जिसे कंट्रोलेबिलिटी ग्रैमियन भी कहा जाता है, द्वारा दिया गया

${\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau ){\boldsymbol {B}}(\tau ){\boldsymbol {B}}^{T}(\tau ){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t_{1},\tau )d\tau ,$ कहाँ ${\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )$ का राज्य संक्रमण मैट्रिक्स है ${\boldsymbol {\dot {x}}}={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}$, निरर्थक है.

फिर, हमारे पास यह निर्धारित करने के लिए एक समान विधि है कि कोई सिस्टम नियंत्रणीय सिस्टम है या नहीं।

W के गुण_c(टी₀,टी₁)

हमारे पास वह नियंत्रणीयता ग्रैमियन है ${\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})$ निम्नलिखित संपत्ति है:

${\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})={\boldsymbol {W}}_{c}(t,t_{1})+{\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},t){\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t_{1},t)$ जिसे की परिभाषा से आसानी से देखा जा सकता है ${\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})$ और राज्य संक्रमण मैट्रिक्स की संपत्ति द्वारा जो दावा करता है कि:

${\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau )={\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},t){\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )$ कंट्रोलेबिलिटी ग्रैमियन के बारे में अधिक जानकारी यहां पाई जा सकती है।

यह भी देखें

• नियंत्रणीयता
• अवलोकनीयता ग्रामियन
• ग्रामियन मैट्रिक्स
• न्यूनतम ऊर्जा नियंत्रण
• हैंकेल एकवचन मान

बाहरी संबंध

• Mathematica function to compute the controllability Gramian