त्वरण (विशेष सापेक्षता)

विशेष सापेक्षता (एसआर) में त्वरण, न्यूटोनियन यांत्रिकी की तरह, समय के संबंध में वेग के व्युत्पन्न द्वारा अनुसरण किया जाता है। लोरेंत्ज़ परिवर्तन और समय विस्तार के कारण, समय और दूरी की अवधारणाएँ अधिक सम्मिश्र हो जाती हैं, जिससे त्वरण की अधिक सम्मिश्र परिभाषाएँ भी सामने आती हैं। फ्लैट मिन्कोवस्की स्पेसटाइम के सिद्धांत के रूप में एसआर त्वरण की उपस्थिति में मान्य रहता है, क्योंकि सामान्य सापेक्षता (जीआर) की आवश्यकता केवल तब होती है जब ऊर्जा-संवेग टेंसर (जो मुख्य रूप से अपरिवर्तनीय द्रव्यमान द्वारा निर्धारित होता है) के कारण घुमावदार स्पेसटाइम होता है।, चूँकि पृथ्वी या इसके आसपास के क्षेत्र में स्पेसटाइम वक्रता की मात्रा विशेष रूप से अधिक नहीं है, एसआर अधिकांश व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए मान्य है, जैसे कि कण त्वरक में प्रयोग।

कोई तीन स्थानिक आयामों (तीन-त्वरण या समन्वय त्वरण) में सामान्य त्वरण के लिए परिवर्तन सूत्र प्राप्त कर सकता है जैसा कि संदर्भ के बाहरी जड़त्वीय फ्रेम में मापा जाता है, साथ ही कोमोविंग एक्सेलेरोमीटर द्वारा मापा गया उचित त्वरण के विशेष उपस्तिथि के लिए भी उपयोग किया जाता है। अन्य उपयोगी औपचारिकता चार-त्वरण है, क्योंकि इसके अवयवों को लोरेंत्ज़ परिवर्तन द्वारा विभिन्न जड़त्वीय फ़्रेमों में जोड़ा जा सकता है। इसके अतिरिक्त गति के समीकरण भी बनाए जा सकते हैं जो त्वरण और बल को जोड़ते हैं। पिंडों के त्वरण के अनेक रूपों और उनकी घुमावदार विश्व रेखाओं के समीकरण अभिन्न द्वारा इन सूत्रों का अनुसरण करते हैं। प्रसिद्ध विशेष उपस्तिथि निरंतर अनुदैर्ध्य उचित त्वरण या एकसमान गोलाकार गति के लिए अतिशयोक्तिपूर्ण गति (सापेक्षता) हैं। अंततः, विशेष सापेक्षता के संदर्भ में गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में इन घटनाओं का वर्णन करना भी संभव है, उचित संदर्भ फ्रेम (फ्लैट स्पेसटाइम) देखें। ऐसे फ़्रेमों में, प्रभाव उत्पन्न होते हैं जो सजातीय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों के अनुरूप होते हैं, जिनमें सामान्य सापेक्षता में घुमावदार स्पेसटाइम के वास्तविक, अमानवीय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों के साथ कुछ औपचारिक समानताएं होती हैं। अतिशयोक्तिपूर्ण गति के उपस्तिथि में कोई रिंडलर निर्देशांक का उपयोग कर सकता है, समान गोलाकार गति के उपस्तिथि में कोई बोर्न निर्देशांक का उपयोग कर सकता है।

ऐतिहासिक विकास के संबंध में, त्वरण वाले सापेक्षतावादी समीकरण पहले से ही सापेक्षता के प्रारंभिक वर्षों में पाए जा सकते हैं, जैसा कि मैक्स वॉन लाउ (1911, 1921) या वोल्फगैंग पाउली (1921) द्वारा प्रारंभिक पाठ्यपुस्तकों में संक्षेपित किया गया है। । उदाहरण के लिए, गति और त्वरण परिवर्तनों के समीकरण हेनरी एंथोनी लोरेंत्ज़ (1899, 1904) के पत्रों में विकसित किए गए थे। हेनरी पोंकारे (1905), अल्बर्ट आइंस्टीन (1905), मैक्स प्लैंक (1906), और चार-त्वरण, उचित त्वरण, अतिशयोक्तिपूर्ण गति, त्वरित संदर्भ फ्रेम, जन्म कठोरता, का विश्लेषण आइंस्टीन (1907) द्वारा किया गया है। हरमन मिन्कोव्स्की (1907, 1908), मैक्स बोर्न (1909), गुस्ताव हर्ग्लोत्ज़ (1909), अर्नोल्ड सोमरफेल्ड (1910), लाउ द्वारा (1911),फ्रेडरिक कोटलर (1912, 1914), या तब इतिहास देखें.

तीन-त्वरण

न्यूटोनियन यांत्रिकी और एसआर दोनों के अनुसार, तीन-त्वरण या समन्वय त्वरण $\mathbf {a} =\left(a_{x},\ a_{y},\ a_{z}\right)$ समन्वय समय के संबंध में वेग $\mathbf {u} =\left(u_{x},\ u_{y},\ u_{z}\right)$ का पहला व्युत्पन्न है और समन्वय समय के संबंध में स्थान $\mathbf {r} =\left(x,\ y,\ z\right)$ के दूसरे व्युत्पन्न है |

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$.

चूँकि , विभिन्न जड़त्वीय फ़्रेमों में मापे गए तीन-त्वरणों के मध्य संबंध के संदर्भ में सिद्धांत अपनी भविष्यवाणियों में बहुत भिन्न हैं। न्यूटोनियन यांत्रिकी में, गैलीलियन परिवर्तन के अनुसार समय $t'=t$ के द्वारा निरपेक्ष है तथा, इसलिए इससे प्राप्त तीन-त्वरण सभी जड़त्वीय फ़्रेमों में भी समान है:

$\mathbf {a} =\mathbf {a} '$.

इसके विपरीत एसआर में, $\mathbf {r}$ और $t$ दोनों लोरेंत्ज़ परिवर्तन पर निर्भर करते हैं, इसलिए तीन-त्वरण भी $\mathbf {a}$ और इसके अवयव विभिन्न जड़त्वीय फ़्रेमों में भिन्न होते हैं। जब फ़्रेमों के मध्य सापेक्ष वेग को लोरेंत्ज़ कारक के रूप में $\gamma _{v}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ के साथ $v=v_{x}$ द्वारा x-दिशा में निर्देशित होता है तब लोरेंत्ज़ परिवर्तन का रूप होता है

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}x'&=\gamma _{v}(x-vt)\\y'&=y\\z'&=z\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}x&=\gamma _{v}(x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'\right)\end{aligned}}\end{array}}$

(1a)

या परिमाण $|\mathbf {v} |=v$ के इच्छा से वेग $\mathbf {v} =\left(v_{x},\ v_{y},\ v_{z}\right)$ के लिए (गणित) :

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +\mathbf {v} \left[{\frac {\left(\mathbf {r\cdot v} \right)}{v^{2}}}\left(\gamma _{v}-1\right)-t\gamma _{v}\right]\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {\mathbf {r\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} '+\mathbf {v} \left[{\frac {\left(\mathbf {r'\cdot v} \right)}{v^{2}}}\left(\gamma _{v}-1\right)+t'\gamma _{v}\right]\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {\mathbf {r'\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{array}}$

(1b)

त्रि-त्वरण के परिवर्तन का पता लगाने के लिए,किसी को लोरेंत्ज़ परिवर्तन के स्थानिक निर्देशांक $\mathbf {r}$ और $\mathbf {r} '$ को $t$ और $t'$, के संबंध में भिन्न करना होगा | जिससे मध्य में त्रि-वेग (जिसे वेग-जोड़ सूत्र भी कहा जाता है) का परिवर्तन होता है $\mathbf {u}$ और $\mathbf {u} '$ अनुसरण करता है, और अंततः इसके संबंध में और भेदभाव होता है $t$ और $t'$ के मध्य तीन-त्वरण का परिवर्तन $\mathbf {a}$ और $\mathbf {a} '$ अनुसरण करता है। (1a), से प्रारंभ यह प्रक्रिया वह परिवर्तन देती है जहां त्वरण वेग के समानांतर (x-दिशा) या लंबवत (y-, z-दिशा) होते हैं:

(1c)

या (1b) से प्रारंभ यह प्रक्रिया वेग और त्वरण की इच्छानुसार दिशाओं के सामान्य उपस्तिथि के लिए परिणाम देती है:

${\begin{aligned}\mathbf {a} '&={\frac {\mathbf {a} }{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {\mathbf {(a\cdot v)v} \left(\gamma _{v}-1\right)}{v^{2}\gamma _{v}^{3}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{3}}}+{\frac {\mathbf {(a\cdot v)u} }{c^{2}\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{3}}}\\\mathbf {a} &={\frac {\mathbf {a} '}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {\mathbf {(a'\cdot v)v} \left(\gamma _{v}-1\right)}{v^{2}\gamma _{v}^{3}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{3}}}-{\frac {\mathbf {(a'\cdot v)u} '}{c^{2}\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}$

(1d)

इसका मतलब है, यदि सापेक्ष वेग $\mathbf {v}$ के साथ दो जड़त्वीय फ्रेम $S$ और $S'$ हैं, तब $S$ में क्षणिक वेग $\mathbf {u}$ के साथ किसी वस्तु का त्वरण $\mathbf {a}$ मापा जाता है, जबकि '$S'$' में ' उसी वस्तु का त्वरण $\mathbf {a} '$ है और क्षणिक वेग $\mathbf {u} '$ है। वेग जोड़ सूत्रों की तरह, ये त्वरण परिवर्तन भी गारंटी देते हैं कि त्वरित वस्तु की परिणामी गति कभी भी प्रकाश की गति तक पहुंच सकती या उससे अधिक नहीं हो सकती है ।

चार-त्वरण

Main article: चार-त्वरण

यदि तीन-सदिश के स्थान पर चार-सदिश का उपयोग किया जाता है, अर्थात् $\mathbf {R}$ चार-स्थिति के रूप में और $\mathbf {U}$ को चार-वेग के रूप में उपयोग किया जाता है , तब फिर किसी वस्तु का चार-त्वरण $\mathbf {A} =\left(A_{t},\ A_{x},\ A_{y},\ A_{z}\right)=\left(A_{t},\ \mathbf {A} _{r}\right)$ के संबंध में विभेदन करके प्राप्त किया जाता है समन्वय समय के अतिरिक्त उचित समय $\mathbf {\tau }$ पर :

${\begin{aligned}\mathbf {A} &={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}={\frac {d^{2}\mathbf {R} }{d\tau ^{2}}}=\left(c{\frac {d^{2}t}{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{d\tau ^{2}}}\right)\\&=\left(\gamma ^{4}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}},\ \gamma ^{4}{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}+\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)\end{aligned}}$

(2a)

जहाँ $\mathbf {a}$ वस्तु का तीन-त्वरण है और $\mathbf {u}$ यह परिमाण का क्षणिक तीन-वेग है $|\mathbf {u} |=u$ संगत लोरेंत्ज़ कारक के साथ $\gamma =1/{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}$. यदि केवल स्थानिक भाग पर विचार किया जाता है, और जब वेग को x-दिशा में निर्देशित किया जाता है $u=u_{x}$ और केवल वेग के समानांतर (x-दिशा) या लंबवत (y-, z-दिशा) त्वरण पर विचार किया जाता है, अभिव्यक्ति कम हो जाती है:

$\mathbf {A} _{r}=\mathbf {a} \left(\gamma ^{4},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)$

पहले चर्चा की गई तीन-त्वरण के विपरीत, चार-त्वरण के लिए नया परिवर्तन प्राप्त करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि सभी चार-सदिशों की तरह, के अवयव $\mathbf {A}$ और $\mathbf {A} '$ सापेक्ष गति के साथ दो जड़त्वीय फ़्रेमों में $v$ लोरेंत्ज़ परिवर्तन के अनुरूप जुड़े हुए हैं (1a, 1b). चार-सदिशों की अन्य संपत्ति आंतरिक उत्पाद की अपरिवर्तनीयता है $\mathbf {A} ^{2}=-A_{t}^{2}+\mathbf {A} _{r}^{2}$ या उसका परिमाण $|\mathbf {A} |={\sqrt {\mathbf {A} ^{2}}}$, जो इस उपस्तिथि में देता है:

$|\mathbf {A} '|=|\mathbf {A} |={\sqrt {\gamma ^{4}\left[\mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2}\right]}}$.

(2b)

उचित त्वरण

Main article: समुचित त्वरण

अनंत छोटी अवधियों में हमेशा जड़त्वीय फ्रेम होता है, जिसका क्षणिक वेग त्वरित शरीर के समान होता है, और जिसमें लोरेंत्ज़ परिवर्तन होता है। संगत तीन-त्वरण $\mathbf {a} ^{0}=\left(a_{x}^{0},\ a_{y}^{0},\ a_{z}^{0}\right)$ इन फ़्रेमों को सीधे एक्सेलेरोमीटर द्वारा मापा जा सकता है, और इसे उचित त्वरण कहा जाता हैया बाकी त्वरण.का संबंध $\mathbf {a} ^{0}$ क्षणिक जड़त्वीय ढाँचे में $S'$ और $\mathbf {a}$ बाहरी जड़त्वीय फ्रेम में मापा जाता है $S$ से अनुसरण करता है (1c, 1d) साथ $\mathbf {a} '=\mathbf {a} ^{0}$, $\mathbf {u} '=0$, $\mathbf {u} =\mathbf {v}$ और $\gamma =\gamma _{v}$. तो के संदर्भ में (1c), जब वेग x-दिशा में निर्देशित होता है $u=u_{x}=v=v_{x}$ और जब केवल वेग के समानांतर (x-दिशा) या लंबवत (y-, z-दिशा) त्वरण पर विचार किया जाता है, तो यह निम्नानुसार है:

${\begin{array}{c|c|cc}{\begin{aligned}a_{x}^{0}&={\frac {a_{x}}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}\\a_{y}^{0}&={\frac {a_{y}}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\a_{z}^{0}&={\frac {a_{z}}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&=a_{x}^{0}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}\\a_{y}&=a_{y}^{0}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)\\a_{z}&=a_{z}^{0}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\mathbf {a} ^{0}&=\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)\\\mathbf {a} &=\mathbf {\mathbf {a} } ^{0}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma ^{2}}},\ {\frac {1}{\gamma ^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{array}}$

(3a)

द्वारा सामान्यीकृत (1d) की इच्छानुसार दिशाओं के लिए $\mathbf {u}$ परिमाण का $|\mathbf {u} |=u$:

${\begin{aligned}\mathbf {a} ^{0}&=\gamma ^{2}\left[\mathbf {a} +{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(\gamma -1\right)\right]\\\mathbf {a} &={\frac {1}{\gamma ^{2}}}\left[\mathbf {a} ^{0}-{\frac {(\mathbf {a} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\right]\end{aligned}}$

चार-त्वरण के परिमाण से भी घनिष्ठ संबंध है: चूंकि यह अपरिवर्तनीय है, इसे क्षणिक जड़त्वीय फ्रेम में निर्धारित किया जा सकता है $S'$, जिसमें $\mathbf {A} _{r}^{\prime }=\mathbf {a} ^{0}$ और तक $dt'/d\tau =1$ यह इस प्रकार है $d^{2}t'/d\tau ^{2}=A_{t}^{\prime }=0$:

$|\mathbf {A} '|={\sqrt {0+\left.\mathbf {a} ^{0}\right.^{2}}}=|\mathbf {a} ^{0}|$.

(3b)

इस प्रकार चार-त्वरण का परिमाण उचित त्वरण के परिमाण से मेल खाता है। इसे (के साथ मिलाकर)2b), के मध्य संबंध के निर्धारण के लिए वैकल्पिक विधि $\mathbf {a} ^{0}$ में $S'$ और $\mathbf {a}$ में $S$ अर्थात् दिया गया है

$|\mathbf {a} ^{0}|=|\mathbf {A} |={\sqrt {\gamma ^{4}\left[\mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2}\right]}}$

किस से (3a) फिर से अनुसरण करता है जब वेग $u=u_{x}$ को x-दिशा में निर्देशित किया जाता है और केवल वेग के समानांतर (x-दिशा) या लंबवत (y-, z-दिशा) त्वरण पर विचार किया जाता है।

त्वरण और बल

Further information: सापेक्षतावादी यांत्रिकी बल and विशेष सापेक्षता में द्रव्यमान

स्थिर द्रव्यमान मानकर $m$, चार-बल $\mathbf {F}$ त्रि-बल के कार्य के रूप में $\mathbf {f}$ चार-त्वरण से संबंधित है (2a) द्वारा $\mathbf {F} =m\mathbf {A}$, इस प्रकार:

$\mathbf {F} =\left(\gamma {\frac {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }{c}},\ \gamma \mathbf {f} \right)=m\mathbf {A} =m\left(\gamma ^{4}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right),\ \gamma ^{4}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c^{2}}}\right)\mathbf {u} +\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)$

(4a)

वेग की इच्छानुसार दिशाओं के लिए तीन-बल और तीन-त्वरण के मध्य संबंध इस प्रकार है

${\begin{aligned}\mathbf {f} &=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a} \\\mathbf {a} &={\frac {1}{m\gamma }}\left(\mathbf {f} -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}$

(4b)

जब वेग को x-दिशा में निर्देशित किया जाता है $u=u_{x}$ और केवल वेग के समानांतर (x-दिशा) या लंबवत (y-, z-दिशा) त्वरण पर विचार किया जाता है

${\begin{array}{c|c|cc}{\begin{aligned}f_{x}&={\frac {ma_{x}}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}\\f_{y}&={\frac {ma_{y}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\\f_{z}&={\frac {ma_{z}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&={\frac {f_{x}}{m}}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}\\a_{y}&={\frac {f_{y}}{m}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\a_{z}&={\frac {f_{z}}{m}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\mathbf {f} &=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ,\ \gamma \right)\\\mathbf {a} &={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}\end{array}}$

(4c)

इसलिए, तीन-बल और तीन-त्वरण के अनुपात के रूप में द्रव्यमान की न्यूटोनियन परिभाषा एसआर में नुकसानदेह है, क्योंकि ऐसा द्रव्यमान वेग और दिशा दोनों पर निर्भर करेगा। परिणामस्वरूप, पुरानी पाठ्यपुस्तकों में प्रयुक्त निम्नलिखित व्यापक परिभाषाएँ अब उपयोग नहीं की जाती हैं:

$m_{\Vert }={\frac {f_{x}}{a_{x}}}=m\gamma ^{3}$ अनुदैर्ध्य द्रव्यमान के रूप में,

$m_{\perp }={\frac {f_{y}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}}{a_{z}}}=m\gamma$ अनुप्रस्थ द्रव्यमान के रूप में।

रिश्ता (4b) तीन-त्वरण और तीन-बल के मध्य गति के समीकरण से भी प्राप्त किया जा सकता है

$\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}={\frac {d(m\gamma )}{dt}}\mathbf {u} +m\gamma {\frac {d\mathbf {u} }{dt}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a}$

(4d)

जहाँ $\mathbf {p}$ तीन-गति है. के मध्य त्रि-बल का संगत परिवर्तन $\mathbf {f}$ में $S$ और $\mathbf {f} '$ में $S'$ (जब फ्रेम के मध्य सापेक्ष वेग x-दिशा में निर्देशित होता है $v=v_{x}$ और केवल वेग के समानांतर (x-दिशा) या लंबवत (y-, z-दिशा) त्वरण पर विचार किया जाता है) के लिए प्रासंगिक परिवर्तन सूत्रों के प्रतिस्थापन द्वारा अनुसरण किया जाता है $\mathbf {u}$, $\mathbf {a}$, $m\gamma$, $d(m\gamma )/dt$, या लोरेंत्ज़ से चार-बल के रूपांतरित घटक, परिणाम के साथ:

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}f_{x}^{\prime }&={\frac {f_{x}-{\frac {v}{c^{2}}}(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )}{1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}}}\\f_{y}^{\prime }&={\frac {f_{y}}{\gamma _{v}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)}}\\f_{z}^{\prime }&={\frac {f_{z}}{\gamma _{v}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}f_{x}&={\frac {f_{x}^{\prime }+{\frac {v}{c^{2}}}(\mathbf {f} ^{\prime }\cdot \mathbf {u} ^{\prime })}{1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}}}\\f_{y}&={\frac {f_{y}^{\prime }}{\gamma _{v}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)}}\\f_{z}&={\frac {f_{z}^{\prime }}{\gamma _{v}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)}}\end{aligned}}\end{array}}$

(4e)

या की इच्छानुसार दिशाओं के लिए सामान्यीकृत $\mathbf {u}$, साथ ही $\mathbf {v}$ परिमाण के साथ $|\mathbf {v} |=v$:

${\begin{aligned}\mathbf {f} '&={\frac {{\frac {\mathbf {f} }{\gamma _{v}}}-\left\{(\mathbf {f\cdot u} ){\frac {v^{2}}{c^{2}}}-(\mathbf {f\cdot v} )\left(1-{\frac {1}{\gamma _{v}}}\right)\right\}{\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}}{1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}}}\\\mathbf {f} &={\frac {{\frac {\mathbf {f} '}{\gamma _{v}}}+\left\{(\mathbf {f'\cdot u} '){\frac {v^{2}}{c^{2}}}+(\mathbf {f'\cdot v} )\left(1-{\frac {1}{\gamma _{v}}}\right)\right\}{\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}}{1+{\frac {\mathbf {v\cdot u'} }{c^{2}}}}}\end{aligned}}$

(4f)

उचित त्वरण और उचित बल

बल $\mathbf {f} ^{0}$ गतिशील स्प्रिंग संतुलन द्वारा मापे गए क्षणिक जड़त्वीय फ्रेम में उचित बल कहा जा सकता है। यह इस प्रकार है (4e, 4f) व्यवस्थित करके $\mathbf {f} '=\mathbf {f} ^{0}$ और $\mathbf {u} '=0$ साथ ही $\mathbf {u} =\mathbf {v}$ और $\gamma =\gamma _{v}$. इस प्रकार (4e) जहां केवल त्वरण वेग के समानांतर (x-दिशा) या लंबवत (y-, z-दिशा) होता है $u=u_{x}=v=v_{x}$ माने जाते हैं:

${\begin{array}{c|c|cc}{\begin{aligned}f_{x}^{0}&=f_{x}\\f_{y}^{0}&={\frac {f_{y}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\\f_{z}^{0}&={\frac {f_{z}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}f_{x}&=f_{x}^{0}\\f_{y}&=f_{y}^{0}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\f_{z}&=f_{z}^{0}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)\\\mathbf {f} &=\mathbf {f} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}\end{array}}$

(5a)

द्वारा सामान्यीकृत (4f) की इच्छानुसार दिशाओं के लिए $\mathbf {u}$ परिमाण का $|\mathbf {u} |=u$:

${\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \gamma -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}(\gamma -1)\\\mathbf {f} &={\frac {\mathbf {f} ^{0}}{\gamma }}+{\frac {(\mathbf {f} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}$

चूँकि क्षणिक जड़त्व ढाँचे में चार-बल होते हैं $\mathbf {F} =\left(0,\,\mathbf {f} ^{0}\right)$ और चार-त्वरण $\mathbf {A} =\left(0,\,\mathbf {a} ^{0}\right)$, समीकरण (4a) न्यूटोनियन संबंध उत्पन्न करता है $\mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}$, इसलिए (3a, 4c, 5a) को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है

${\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)=m\mathbf {a} ^{0}=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)\\\mathbf {f} &=\mathbf {f} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)=m\mathbf {a} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ,\ \gamma \right)\end{aligned}}$

(5b)

इसके द्वारा, अनुप्रस्थ द्रव्यमान की ऐतिहासिक परिभाषाओं में स्पष्ट विरोधाभास है $m_{\perp }$ समझाया जा सकता है. आइंस्टीन (1905) ने त्रि-त्वरण और उचित बल के मध्य संबंध का वर्णन किया

$m_{\perp \ \mathrm {Einstein} }={\frac {f_{y}^{0}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}^{0}}{a_{z}}}=m\gamma ^{2}$,

जबकि लोरेंत्ज़ (1899, 1904) और प्लैंक (1906) ने तीन-त्वरण और तीन-बल के मध्य संबंध का वर्णन किया

$m_{\perp \ \mathrm {Lorentz} }={\frac {f_{y}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}}{a_{z}}}=m\gamma$.

घुमावदार विश्व रेखाएँ

Further information: स्पेसटाइम फ्रेनेट-सेरेट समीकरण, अतिशयोक्तिपूर्ण गति, and जन्मजात कठोरता

गति के समीकरणों के एकीकरण से क्षणिक जड़त्वीय फ़्रेमों के अनुक्रम के अनुरूप त्वरित पिंडों की घुमावदार विश्व रेखाएं प्राप्त होती हैं (यहां, अभिव्यक्ति घुमावदार मिन्कोव्स्की आरेखों में विश्व रेखाओं के रूप से संबंधित है, जिसे सामान्य सापेक्षता के घुमावदार स्पेसटाइम के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए)। इसके संबंध में, घड़ी अभिधारणा की तथाकथित घड़ी परिकल्पना पर विचार करना होगा: चलने वाली घड़ियों का उचित समय त्वरण से स्वतंत्र होता है, अर्थात, इन घड़ियों का समय विस्तार, जैसा कि बाहरी जड़त्वीय फ्रेम में देखा जाता है, केवल उस फ्रेम के संबंध में इसके सापेक्ष वेग पर निर्भर करता है। घुमावदार विश्व रेखाओं के दो सरल उपस्तिथि अब समीकरण के एकीकरण द्वारा प्रदान किए गए हैं (3a) उचित त्वरण के लिए:

ए) अतिशयोक्तिपूर्ण गति (सापेक्षता): स्थिर, अनुदैर्ध्य उचित त्वरण $\alpha =a_{x}^{0}=a_{x}\gamma ^{3}$ द्वारा (3a) विश्व रेखा की ओर ले जाता है

${\begin{aligned}&t(\tau )={\frac {c}{\alpha }}\sinh {\frac {\alpha \tau }{c}},\quad x(\tau )={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left(\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}-1\right),\quad y=0,\quad z=0,\\&\tau (t)={\frac {c}{\alpha }}\ln \left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}+{\frac {\alpha t}{c}}\right),\quad x(t)={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}-1\right)\end{aligned}}$

(6a)

विश्वरेखा अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरण से मेल खाती है $c^{4}/\alpha ^{2}=\left(x+c^{2}/\alpha \right)^{2}-c^{2}t^{2}$, जिससे हाइपरबोलिक गति नाम प्राप्त हुआ है। इन समीकरणों का उपयोग अक्सर जुड़वां विरोधाभास या बेल के अंतरिक्ष यान विरोधाभास के विभिन्न परिदृश्यों की गणना के लिए या निरंतर त्वरण का उपयोग करके अंतरिक्ष यात्रा के संबंध में किया जाता है।

बी) स्थिर, अनुप्रस्थ उचित त्वरण $a_{y}^{0}=a_{y}\gamma ^{2}$ द्वारा (3a) को अभिकेन्द्रीय त्वरण के रूप में देखा जा सकता है,एकसमान घूर्णन में किसी पिंड की विश्व रेखा की ओर ले जाना

${\begin{aligned}x&=r\cos \Omega _{0}t=r\cos \Omega \tau \\y&=r\sin \Omega _{0}t=r\sin \Omega \tau \\z&=z\\t&=\gamma \tau ={\frac {\tau }{\sqrt {1-\left({\frac {r\Omega _{0}}{c}}\right)^{2}}}}=\tau {\sqrt {1+\left({\frac {r\Omega }{c}}\right)^{2}}}\end{aligned}}$

(6b)

जहाँ $v=r\Omega _{0}$ स्पर्शरेखीय गति है, $r$ कक्षीय त्रिज्या है, $\Omega _{0}$ समन्वय समय के फलन के रूप में कोणीय वेग है, और $\Omega =\gamma \Omega _{0}$ उचित कोणीय वेग के रूप में.

ट्रिपल वक्रों की विभेदक ज्यामिति का उपयोग करके घुमावदार विश्व रेखाओं का वर्गीकरण प्राप्त किया जा सकता है, जिसे उचित संदर्भ फ्रेम (फ्लैट स्पेसटाइम)#स्पेसटाइम फ्रेनेट-सेरेट समीकरण|स्पेसटाइम फ्रेनेट-सेरेट सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। विशेष रूप से, यह दिखाया जा सकता है कि अतिपरवलयिक गति और एकसमान वृत्तीय गति, स्थिर वक्रता और वक्र के मरोड़ वाली गति के विशेष उपस्तिथि हैं, बोर्न कठोरता की स्थिति को संतुष्ट करना।किसी पिंड को बोर्न रिजिड कहा जाता है यदि त्वरण के दौरान इसकी अनंत रूप से भिन्न की गई विश्व रेखाओं या बिंदुओं के मध्य अंतरिक्ष-समय की दूरी स्थिर रहती है।

त्वरित संदर्भ फ़्रेम

Main articles: उचित संदर्भ फ़्रेम (सपाट स्पेसटाइम), रिंडलर समन्वय, and जन्म निर्देशांक

जड़त्वीय फ़्रेमों के बजाय, इन त्वरित गतियों और घुमावदार विश्व रेखाओं को त्वरित या वक्रीय निर्देशांक का उपयोग करके भी वर्णित किया जा सकता है। इस तरह से स्थापित उचित संदर्भ फ्रेम फर्मी निर्देशांक से निकटता से संबंधित है। उदाहरण के लिए, अतिपरवलयिक रूप से त्वरित संदर्भ फ्रेम के निर्देशांक को कभी-कभी रिंडलर निर्देशांक कहा जाता है, या समान रूप से घूमने वाले संदर्भ फ्रेम के निर्देशांक को घूर्णन बेलनाकार निर्देशांक (या कभी-कभी बोर्न निर्देशांक) कहा जाता है। तुल्यता सिद्धांत के संदर्भ में, इन त्वरित फ़्रेमों में उत्पन्न होने वाले प्रभाव सजातीय, काल्पनिक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में प्रभावों के अनुरूप होते हैं। इस तरह यह देखा जा सकता है, कि एसआर में त्वरित फ़्रेमों का उपयोग महत्वपूर्ण गणितीय संबंध उत्पन्न करता है, जो (आगे विकसित होने पर) सामान्य सापेक्षता में घुमावदार स्पेसटाइम के संदर्भ में वास्तविक, अमानवीय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों के वर्णन में मौलिक भूमिका निभाते हैं।

इतिहास

अधिक जानकारी के लिए वॉन लाउ देखें,पाउली,मिलर, पुराना, गौरगौलहोन,और विशेष सापेक्षता के इतिहास में ऐतिहासिक स्रोत।

1899:

हेंड्रिक लोरेंत्ज़सही निकाला (एक निश्चित कारक तक)। $\epsilon$) कणों की स्थिर इलेक्ट्रोस्टैटिक प्रणाली के मध्य त्वरण, बल और द्रव्यमान के संबंध $S_{0}$ (एक स्थिर लोरेंत्ज़ ईथर सिद्धांत में), और प्रणाली $S$ इसके साथ अनुवाद जोड़कर उभरना $k$ लोरेंत्ज़ कारक के रूप में:

${\frac {1}{\epsilon ^{2}}}$, ${\frac {1}{k\epsilon ^{2}}}$, ${\frac {1}{k\epsilon ^{2}}}$ के लिए $\mathbf {f} /\mathbf {f} ^{0}$ द्वारा (5a);

${\frac {1}{k^{3}\epsilon }}$, ${\frac {1}{k^{2}\epsilon }}$, ${\frac {1}{k^{2}\epsilon }}$ के लिए $\mathbf {a} /\mathbf {a} ^{0}$ द्वारा (3a);

${\frac {k^{3}}{\epsilon }}$, ${\frac {k}{\epsilon }}$, ${\frac {k}{\epsilon }}$ के लिए $\mathbf {f} /(m\mathbf {a} )$, इस प्रकार अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ द्रव्यमान (4c);

लोरेंत्ज़ ने बताया कि उसके पास इसका मूल्य निर्धारित करने का कोई साधन नहीं है $\epsilon$. यदि वह सेट हो गया होता $\epsilon =1$, उसके भावों ने बिल्कुल सापेक्षतावादी रूप धारण कर लिया होगा।

1904:

लोरेंत्ज़पिछले संबंधों को अधिक विस्तृत तरीके से प्राप्त किया, अर्थात् सिस्टम में आराम करने वाले कणों के गुणों के संबंध में $\Sigma '$ और चलती प्रणाली $\Sigma$, नए सहायक चर के साथ $l$ के बराबर $1/\epsilon$ 1899 की तुलना में, इस प्रकार:

${\mathfrak {F}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right){\mathfrak {F}}(\Sigma ')$ के लिए $\mathbf {f}$ के समारोह के रूप में $\mathbf {f} ^{0}$ द्वारा (5a);

$m{\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right)m{\mathfrak {j}}(\Sigma ')$ के लिए $m\mathbf {a}$ के समारोह के रूप में $m\mathbf {a} ^{0}$ द्वारा (5b);

${\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left({\frac {l}{k^{3}}},\ {\frac {l}{k^{2}}},\ {\frac {l}{k^{2}}}\right){\mathfrak {j}}(\Sigma ')$ के लिए $\mathbf {a}$ के समारोह के रूप में $\mathbf {a} ^{0}$ द्वारा (3a);

$m(\Sigma )=\left(k^{3}l,\ kl,\ kl\right)m(\Sigma ')$ शेष द्रव्यमान के फलन के रूप में अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ द्रव्यमान के लिए (4c, 5b).

इस बार, लोरेंत्ज़ यह दिखा सकता है $l=1$, जिससे उनके सूत्र सटीक सापेक्षतावादी रूप धारण कर लेते हैं। उन्होंने गति का समीकरण भी बनाया

${\displaystyle {\mathfrak {F}}={\frac {d{\mathfrak {G}}}{dt}}}$ साथ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}={\frac {e^{2}}{6\pi c^{2}R}}kl{\mathfrak {w}}}$

जो (से मेल खाता है)4d) साथ $\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}$, साथ $l=1$, ${\mathfrak {F}}=\mathbf {f}$, ${\mathfrak {G}}=\mathbf {p}$, ${\mathfrak {w}}=\mathbf {u}$, $k=\gamma$, और $e^{2}/(6\pi c^{2}R)=m$ विद्युत चुम्बकीय द्रव्यमान के रूप में। इसके अतिरिक्त , उन्होंने तर्क दिया, कि ये सूत्र न केवल विद्युत आवेशित कणों के बलों और द्रव्यमान के लिए, बल्कि अन्य प्रक्रियाओं के लिए भी मान्य होने चाहिए ताकि ईथर के माध्यम से पृथ्वी की गति का पता न चल सके।

1905:

हेनरी पोंकारेतीन-बल के परिवर्तन की शुरुआत की (4e):

$X_{1}^{\prime }={\frac {k}{l^{3}}}{\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}\left(X_{1}+\epsilon \Sigma X_{1}\xi \right),\quad Y_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Y_{1}}{l^{3}}},\quad Z_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Z_{1}}{l^{3}}}$

साथ ${\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}={\frac {k}{l^{3}}}(1+\epsilon \xi )$, और $k$ लोरेंत्ज़ कारक के रूप में, $\rho$ चार्ज घनत्व. या आधुनिक संकेतन में: $\epsilon =v$, $\xi =u_{x}$, $\left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f}$, और $\Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$. लोरेंत्ज़ के रूप में, उन्होंने सेट किया $l=1$.

1905:

अल्बर्ट आइंस्टीनसापेक्षता के अपने विशेष सिद्धांत के आधार पर गति के समीकरण निकाले, जो यांत्रिक ईथर की क्रिया के बिना समान रूप से मान्य जड़त्वीय फ़्रेमों के मध्य संबंध का प्रतिनिधित्व करते हैं। आइंस्टीन ने निष्कर्ष निकाला, कि क्षणिक जड़त्वीय ढाँचे में $k$ गति के समीकरण अपना न्यूटोनियन रूप बरकरार रखते हैं:

$\mu {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}=\epsilon X',\quad \mu {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Y',\quad \mu {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Z'$.

यह इससे मेल खाता है $\mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}$, क्योंकि $\mu =m$ और $\left({\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}\right)=\mathbf {a} ^{0}$ और $\left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}$. अपेक्षाकृत गतिमान प्रणाली में परिवर्तन द्वारा $K$ उन्होंने उस फ्रेम में देखे गए विद्युत और चुंबकीय अवयवों के लिए समीकरण प्राप्त किए:

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta ^{3}}}X,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)$.

यह (से मेल खाता है)4c) साथ $\mathbf {a} ={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)$, क्योंकि $\mu =m$ और $\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right)=\mathbf {a}$ और $\left[\epsilon X,\ \epsilon \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\ \epsilon \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)\right]=\mathbf {f}$ और $\beta =\gamma$. नतीजतन, आइंस्टीन ने अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ द्रव्यमान का निर्धारण किया, भले ही उन्होंने इसे बल से संबंधित किया $\left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}$ क्षणिक आराम फ्रेम में कोमोविंग स्प्रिंग बैलेंस द्वारा मापा जाता है, और तीन-त्वरण के लिए $\mathbf {a}$ सिस्टम में $K$:::${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mu \beta ^{3}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=\epsilon X=\epsilon X'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right)=\epsilon Y'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)=\epsilon Z'\end{aligned}}&{\begin{aligned}{\frac {\mu }{\left({\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}\right)^{3}}}&\ {\text{longitudinal mass}}\\\\{\frac {\mu }{1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}&\ {\text{transverse mass}}\end{aligned}}\end{array}}$

यह (से मेल खाता है)5b) साथ $m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)=\mathbf {f} ^{0}$.

1905:

पोंकारेतीन-त्वरण के परिवर्तन का परिचय देता है (1c):

${\frac {d\xi ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\xi }{dt}}{\frac {1}{k^{3}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\eta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\eta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\eta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\zeta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\zeta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\zeta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}}$

जहाँ $\left(\xi ,\ \eta ,\ \zeta \right)=\mathbf {u}$ साथ ही $k=\gamma$ और $\epsilon =v$ और $\mu =1+\xi \epsilon =1+u_{x}v$.

इसके अतिरिक्त , उन्होंने चार-बलों को इस रूप में पेश किया:

$k_{0}X_{1},\quad k_{0}Y_{1},\quad k_{0}Z_{1},\quad k_{0}T_{1}$

जहाँ $k_{0}=\gamma _{0}$ और $\left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f}$ और $T_{1}=\Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$.

1906:

मैक्स प्लैंकगति का समीकरण निकाला

${\frac {m{\ddot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}=e{\mathfrak {E}}_{x}-{\frac {e{\dot {x}}}{c^{2}}}\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)+{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)\ {\text{etc.}}$

साथ

$e\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)={\frac {m\left({\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}\right)}{\left(1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}$ और $e{\mathfrak {E}}_{x}+{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)=X\ {\text{etc.}}$

और

${\frac {d}{dt}}\left\{{\frac {m{\dot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}\right\}=X\ {\text{etc.}}$

समीकरण इसके अनुरूप हैं (4d) साथ

$\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a}$, साथ $X=f_{x}$ और $q=v$ और ${\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {a}$, लोरेंत्ज़ (1904) द्वारा दिए गए सुझावों से सहमत होकर।

1907:

आइंस्टाइनएक समान रूप से त्वरित संदर्भ फ्रेम का विश्लेषण किया और कोटलर-मोलर-रिंडलर निर्देशांक द्वारा दिए गए अनुरूप, समन्वय-निर्भर समय विस्तार और प्रकाश की गति के लिए सूत्र प्राप्त किए।

1907:

हरमन मिन्कोव्स्कीचार-बल (जिसे उन्होंने गतिशील बल कहा) और चार त्वरण के मध्य संबंध को परिभाषित किया

$m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dx}{d\tau }}=R_{x},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dy}{d\tau }}=R_{y},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dz}{d\tau }}=R_{z},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dt}{d\tau }}=R_{t}$

तदनुसार $m\mathbf {A} =\mathbf {F}$.

1908:

मिन्कोव्स्कीदूसरे व्युत्पन्न को दर्शाता है $x,y,z,t$ त्वरण सदिश (चार-त्वरण) के रूप में उचित समय के संबंध में। उन्होंने दिखाया, कि इसका परिमाण इच्छा से बिंदु पर है $P$ विश्वरेखा का है $c^{2}/\varrho$, जहाँ $\varrho$ संगत वक्रता हाइपरबोला के केंद्र से निर्देशित सदिश का परिमाण है (German: वक्रता अतिपरवलय) को $P$.

1909:

मैक्स बोर्नमिन्कोव्स्की के त्वरण सदिश के निरंतर परिमाण के साथ गति को अतिशयोक्तिपूर्ण गति के रूप में दर्शाता है (German: अतिशयोक्तिपूर्ण गति), बोर्न कठोरता के अपने अध्ययन के दौरान। वह सेट है $p=dx/d\tau$ (जिसे अब उचित वेग कहा जाता है) और $q=-dt/d\tau ={\sqrt {1+p^{2}/c^{2}}}$ लोरेंत्ज़ कारक के रूप में और $\tau$ उचित समय के रूप में, परिवर्तन समीकरणों के साथ

$x=-q\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta ,\quad t={\frac {p}{c^{2}}}\xi$.

जो (से मेल खाता है)6a) साथ $\xi =c^{2}/\alpha$ और $p=c\sinh(\alpha \tau /c)$. खत्म करना $p$ बोर्न ने अतिपरवलयिक समीकरण व्युत्पन्न किया $x^{2}-c^{2}t^{2}=\xi ^{2}$, और त्वरण के परिमाण को इस प्रकार परिभाषित किया $b=c^{2}/\xi$. उन्होंने यह भी देखा कि उनके परिवर्तन का उपयोग अतिशयोक्तिपूर्ण रूप से त्वरित संदर्भ प्रणाली में बदलने के लिए किया जा सकता है (German: संदर्भ का अतिशयोक्तिपूर्ण रूप से त्वरित फ्रेम).

1909:

गुस्ताव हर्ग्लोट्ज़एकसमान घूर्णन सहित कठोर त्वरित गति के सभी संभावित मामलों तक बोर्न की जांच का विस्तार करता है।

1910:

अर्नोल्ड सोमरफेल्डहाइपरबोलिक गति के लिए बॉर्न के सूत्रों को अधिक संक्षिप्त रूप में लाया गया $l=ict$ काल्पनिक समय चर के रूप में और $\varphi$ काल्पनिक कोण के रूप में:

$x=r\cos \varphi ,\quad y=y',\quad z=z',\quad l=r\sin \varphi$

उन्होंने नोट किया कि कब $r,y,z$ परिवर्तनशील हैं और $\varphi$ स्थिर है, वे अतिपरवलयिक गति में आवेशित पिंड की विश्व रेखा का वर्णन करते हैं। लेकिन यदि $r,y,z$ स्थिर हैं और $\varphi$ परिवर्तनशील है, वे इसके बाकी फ्रेम में परिवर्तन को दर्शाते हैं।

1911:

ग्रीष्मकालीन क्षेत्रअभिव्यक्ति उचित त्वरण का स्पष्ट रूप से उपयोग किया गया (German: आत्म-त्वरण) मात्रा के लिए ${\dot {v}}_{0}$ में ${\dot {v}}={\dot {v}}_{0}\left(1-\beta ^{2}\right)^{3/2}$, जो ( से मेल खाता है3a), क्षणिक जड़त्वीय फ्रेम में त्वरण के रूप में।

1911:

हर्ग्लोट्ज़स्पष्ट रूप से अभिव्यक्ति विश्राम त्वरण का उपयोग किया गया (German: आराम पर त्वरण) उचित त्वरण के बजाय। उन्होंने इसे फॉर्म में लिखा $\gamma _{l}^{0}=\beta ^{3}\gamma _{l}$ और $\gamma _{t}^{0}=\beta ^{2}\gamma _{t}$ जो (से मेल खाता है)3a), जहाँ $\beta$ लोरेंत्ज़ कारक है और $\gamma _{l}^{0}$ या $\gamma _{t}^{0}$ विश्राम त्वरण के अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ अवयव हैं।

1911:

मैक्स वॉन लाउउनके मोनोग्राफ दास रिलेटिविट्सप्रिनज़िप के पहले संस्करण में वेग जोड़ के विभेदन द्वारा तीन-त्वरण के लिए परिवर्तन को व्युत्पन्न किया गया है।

${\begin{aligned}{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}&=\left({\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right)^{3}{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime },&{\mathfrak {\dot {q}}}_{y}&=\left({\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right)^{2}\left({\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime }-{\frac {v{\mathfrak {q}}_{y}^{\prime }{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime }}{c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right),\end{aligned}}$

के बराबर (1c) साथ ही पोंकारे (1905/6) तक। इससे उन्होंने विश्राम त्वरण (के बराबर) का परिवर्तन प्राप्त किया 3a), और अंततः अतिपरवलयिक गति के सूत्र जो (से मेल खाते हैं)6a):

$\pm {\mathfrak {q}}_{x}=\pm {\frac {dx}{dt}}={\frac {cbt}{\sqrt {c^{2}+b^{2}t^{2}}}},\quad \pm \left(x-x_{0}\right)={\frac {c}{b}}{\sqrt {c^{2}+b^{2}t^{2}}},$

इस प्रकार

$x^{2}-c^{2}t^{2}=x^{2}-u^{2}=c^{4}/b^{2},\quad y=\eta ,\quad z=\zeta$,

और काल्पनिक कोण के साथ अतिशयोक्तिपूर्ण संदर्भ प्रणाली में परिवर्तन $\varphi$:

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}X&=R\cos \varphi \\L&=R\sin \varphi \end{aligned}}&{\begin{aligned}R^{2}&=X^{2}+L^{2}\\\tan \varphi &={\frac {L}{X}}\end{aligned}}\end{array}}$.

उन्होंने त्रि-बल का रूपान्तरण भी लिखा

${\begin{aligned}{\mathfrak {K}}_{x}&={\frac {{\mathfrak {K}}_{x}^{\prime }+{\frac {v}{c^{2}}}({\mathfrak {q'K'}})}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},&{\mathfrak {K}}_{y}&={\mathfrak {K}}_{y}^{\prime }{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},&{\mathfrak {K}}_{z}&={\mathfrak {K}}_{z}^{\prime }{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},\end{aligned}}$

के बराबर (4e) साथ ही पोंकारे (1905) तक।

1912-1914:

फ्रेडरिक कोटलरमैक्सवेल के समीकरणों का सामान्य सहप्रसरण प्राप्त किया, और हर्ग्लोट्ज़ (1909) द्वारा दिए गए बोर्न कठोर गतियों का विश्लेषण करने के लिए चार-आयामी फ्रेनेट-सेरेट सूत्रों का उपयोग किया। उन्होंने हाइपरबोलिक गति और एकसमान गोलाकार गति के लिए उचित संदर्भ फ्रेम (फ्लैट स्पेसटाइम) भी प्राप्त किया।

1913:

लाउ द्वाराउनकी पुस्तक के दूसरे संस्करण में तीन-त्वरण के परिवर्तन को मिन्कोव्स्की के त्वरण सदिश द्वारा प्रतिस्थापित किया गया, जिसके लिए उन्होंने चार-त्वरण नाम गढ़ा (German: चौगुना त्वरण), द्वारा परिभाषित ${\dot {Y}}={\frac {dY}{d\tau }}$ साथ $Y$ चार-वेग के रूप में। उन्होंने दिखाया, कि चार-त्वरण का परिमाण बाकी त्वरण से मेल खाता है ${\dot {\mathfrak {q}}}^{0}$ द्वारा

$|{\dot {Y|}}={\frac {1}{c}}|{\dot {\mathfrak {q}}}^{0}|$,

जो (से मेल खाता है)3b). इसके पश्चात , उन्होंने विश्राम त्वरण और हाइपरबोलिक गति और हाइपरबोलिक संदर्भ फ्रेम के परिवर्तन के लिए 1911 में समान सूत्र निकाले।

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ऐतिहासिक कागजात

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बाहरी संबंध

• Mathpages: Transverse Mass in Einstein's Electrodynamics, Accelerated Travels, Born Rigidity, Acceleration, and Inertia, Does A Uniformly Accelerating Charge Radiate?
• Physics FAQ: Acceleration in Special Relativity, The Relativistic Rocket