अतिपरवलयिक सर्पिल

अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल: के लिए शाखा φ > 0

अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल: दोनों शाखाएँ

अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल एक समतल वक्र है, जिसे समीकरण द्वारा ध्रुवीय निर्देशांक में वर्णित किया जा सकता है

$r={\frac {a}{\varphi }}$

एक अतिपरवलय का. चूँकि इसे आर्किमिडीयन सर्पिल के वृत्त व्युत्क्रमण द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, इसलिए इसे पारस्परिक सर्पिल भी कहा जाता है। पियरे वेरिग्नन ने पहली बार 1704 में वक्र का अध्ययन किया था।बाद में जोहान बर्नौली और रोजर कोट्स ने भी इस वक्र पर काम किया।

हाइपरबोलिक सर्पिल में एक पिच कोण होता है जो इसके केंद्र से दूरी के साथ बढ़ता है, लॉगरिदमिक सर्पिल (जिसमें कोण स्थिर होता है) या आर्किमिडीयन सर्पिल (जिसमें यह दूरी के साथ घटता है) के विपरीत। इस कारण से, इसका उपयोग सर्पिल आकाशगंगा के आकार को मॉडल करने के लिए किया गया है, जिसमें कुछ मामलों में समान रूप से बढ़ता हुआ पिच कोण होता है। हालाँकि, यह मॉडल सभी सर्पिल आकाशगंगाओं के आकार के लिए उपयुक्त नहीं है।

कार्तीय निर्देशांक में

ध्रुवीय समीकरण के साथ अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल

$r={\frac {a}{\varphi }},\quad \varphi \neq 0$

कार्टेशियन निर्देशांक में दर्शाया जा सकता है (x = r cos φ, y = r sin φ) द्वारा

$x=a{\frac {\cos \varphi }{\varphi }},\qquad y=a{\frac {\sin \varphi }{\varphi }},\quad \varphi \neq 0.$

हाइपरबोला में है rφ-निर्देशांक अक्षों को स्पर्शोन्मुख के रूप में समतल करें। अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल (में xy-प्लेन) के लिए दृष्टिकोण φ → ±∞ स्पर्शोन्मुख बिंदु के रूप में उत्पत्ति। के लिए φ → ±0वक्र में एक स्पर्शोन्मुख रेखा है (अगला भाग देखें)।

ध्रुवीय समीकरण से और φ = a/r, r = √x² + y² किसी को एक समीकरण द्वारा प्रतिनिधित्व मिलता है:

${\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right).$

ज्यामितीय गुण

अनंतस्पर्शी

क्योंकि

$\lim _{\varphi \to 0}x=a\lim _{\varphi \to 0}{\frac {\cos \varphi }{\varphi }}=\infty ,\qquad \lim _{\varphi \to 0}y=a\lim _{\varphi \to 0}{\frac {\sin \varphi }{\varphi }}=a$

वक्र में समीकरण के साथ एक अनंतस्पर्शी है y = a.

ध्रुवीय ढलान

सेक्टर (हल्का नीला) और ध्रुवीय ढलान कोण की परिभाषा α

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली#वेक्टर कैलकुलस से सूत्र प्राप्त होता है tan α = r′/r ध्रुवीय ढलान और उसके कोण के लिए α किसी वक्र की स्पर्शरेखा और संगत ध्रुवीय वृत्त की स्पर्शरेखा के बीच।

अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल के लिए r = a/φध्रुवीय ढलान है

$\tan \alpha =-{\frac {1}{\varphi }}.$

वक्रता

ध्रुवीय समीकरण वाले वक्र की वक्रता r = r(φ) है

$\kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\,r''}{\left(r^{2}+(r')^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

समीकरण से r = a/φ और डेरिवेटिव r′ = −a/φ² और r″ = 2a/φ³ किसी को अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल की वक्रता मिलती है:

$\kappa (\varphi )={\frac {\varphi ^{4}}{a\left(\varphi ^{2}+1\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

चाप लंबाई

के बीच एक अतिपरवलयिक सर्पिल के चाप की लंबाई (r(φ₁), φ₁) और (r(φ₂), φ₂) अभिन्न द्वारा गणना की जा सकती है:

${\begin{aligned}L&=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,d\varphi =\cdots \\&=a\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}{\varphi ^{2}}}\,d\varphi \\&=a\left[-{\frac {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}{\varphi }}+\ln \left(\varphi +{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\right)\right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}.\end{aligned}}$

सेक्टर क्षेत्र

समीकरण के साथ एक अतिपरवलयिक सर्पिल के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (ऊपर चित्र देखें)। r = a/φ है:

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\,d\varphi \\&={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {a^{2}}{\varphi ^{2}}}\,d\varphi \\&={\frac {a}{2}}\left({\frac {a}{\varphi _{1}}}-{\frac {a}{\varphi _{2}}}\right)\\&={\frac {a}{2}}{\bigl (}r(\varphi _{1})-r(\varphi _{2}){\bigr )}.\end{aligned}}$

व्युत्क्रम

एक वृत्त व्युत्क्रम के साथ एक आर्किमिडीयन सर्पिल (हरा) की छवि के रूप में अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल (नीला)।

ध्रुवीय निर्देशांक में वृत्त व्युत्क्रम का सरल विवरण है: (r, φ) ↦ (1/r, φ).

एक आर्किमिडीयन सर्पिल की छवि r = φ/a एक वृत्त व्युत्क्रम के साथ समीकरण के साथ अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल है r = a/φ. पर φ = a दो वक्र इकाई वृत्त पर एक निश्चित बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

आर्किमिडीज़ सर्पिल का दोलन चक्र r = φ/a मूल पर त्रिज्या है ρ₀ = 1/2a (आर्किमिडीयन सर्पिल देखें) और केंद्र (0, ρ₀). इस वृत्त का प्रतिबिम्ब रेखा है y = a (वृत्त व्युत्क्रम देखें)। इसलिए आर्किमिडीयन सर्पिल के व्युत्क्रम के साथ अतिपरवलयिक सर्पिल के स्पर्शोन्मुख की पूर्वछवि मूल में आर्किमिडीयन सर्पिल का दोलन वृत्त है।

उदाहरण: आरेख एक उदाहरण दिखाता है a = π.

हेलिक्स का केंद्रीय प्रक्षेपण

एक हेलिक्स के केंद्रीय प्रक्षेपण के रूप में अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल

बिंदु से केंद्रीय प्रक्षेपण पर विचार करें C₀ = (0, 0, d) छवि तल पर z = 0. यह एक बिंदु को मैप करेगा (x, y, z) मुद्दे पर d/d − z(x, y).

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व के साथ हेलिक्स के इस प्रक्षेपण के तहत छवि

$(r\cos t,r\sin t,ct),\quad c\neq 0,$

वक्र है

${\frac {dr}{d-ct}}(\cos t,\sin t)$

ध्रुवीय समीकरण के साथ

$\rho ={\frac {dr}{d-ct}},$

जो एक अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल का वर्णन करता है।

पैरामीटर के लिए t₀ = d/c अतिपरवलयिक सर्पिल में एक ध्रुव होता है और हेलिक्स तल को काटता है z = d एक बिंदु पर V₀. कोई गणना द्वारा जांच कर सकता है कि जैसे-जैसे यह निकट आता है हेलिक्स की छवि बनती है V₀ अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल का अनंतस्पर्शी है।

संदर्भ

• Hans-Jochen Bartsch, Michael Sachs: Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Carl Hanser Verlag, 2018, ISBN 3446457070, 9783446457072, S. 410.
• Kinko Tsuji, Stefan C. Müller: Spirals and Vortices: In Culture, Nature, and Science, Springer, 2019, ISBN 3030057984, 9783030057985, S. 96.
• Pierre Varignon: Nouvelle formation de Spirales – exemple II, Mémoires de l’Académie des sciences de l’Institut de France, 1704, pp. 94–103.
• Friedrich Grelle: Analytische Geometrie der Ebene, Verlag F. Brecke, 1861 hyperbolische Spirale, S. 215.
• Jakob Philipp Kulik: Lehrbuch der höhern Analysis, Band 2, In Commiss. bei Kronberger u. Rziwnatz, 1844, Spirallinien, S. 222.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Spiral". MathWorld.
• Online exploration using JSXGraph (JavaScript)
• 2dcurves "hyperbolic spiral" page