अतिपरवलयिक सर्पिल

अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल: के लिए शाखा

φ > 0

अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल: दोनों शाखाएँ

अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल एक समतल वक्र है, जिसे समीकरण $r={\frac {a}{\varphi }}$ द्वारा ध्रुवीय निर्देशांक में वर्णित किया जा सकता है। सामान्यतः इसे आर्कमेडीज सर्पिल (प्रसिद्ध यूनानी गणितज्ञ) के वृत्त व्युत्क्रम द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। इसलिए इसे लघुगणक सर्पिल भी कहा जाता है।^[1]^[2] हाइपरबोलिक सर्पिल सर्पिल सीढ़ी की धुरी के ऊपर के दृश्य से परिचित सर्पिल का एक प्रकार है, जिसका उपयोग पदचिह्नों के शुरुआती निशानों को व्यवस्थित करने के लिए किया जाता है और कुछ सर्पिल आकाशगंगाओं और वास्तुशिल्प विलेय के आकार को मॉडलिंग करने के लिए किया जाता है। इसका पिच कोण लघुगणकीय सर्पिलों के स्थिर कोणों या आर्किमिडीयन सर्पिलों के घटते कोणों के विपरीत इसके केंद्र से दूरी के साथ बढ़ता है। जैसे-जैसे यह वक्र चौड़ा होता जाता है यह एक स्पर्शोन्मुख रेखा के करीब पहुंचता है।^[3]^[4]

दोनों निर्देशांकों के बीच वही संबंध है जो कार्तीय निर्देशांक के लिए एक अतिपरवलय का वर्णन करता है। इसे आर्किमिडीयन सर्पिल के वृत्त व्युत्क्रमण द्वारा भी उत्पन्न किया जा सकता है, और इसलिए इसे पारस्परिक सर्पिल भी कहा जाता है।

इतिहास और अनुप्रयोग

पियरे वेरिग्नन ने 1704 में वक्र का अध्ययन किया था।^[5] बाद में जोहान बर्नौली और रोजर कोट्स ने भी इस वक्र पर कार्य किया था।पियरे वेरिग्नन ने पहली बार 1704 में ध्रुवीय वक्र पर बिंदुओं के ध्रुवीय निर्देशांक के रूप में दिए गए वक्र पर बिंदुओं के कार्टेशियन निर्देशांक की पुनर्व्याख्या करके एक अन्य वक्र (इस मामले में हाइपरबोला) से प्राप्त ध्रुवीय वक्र के उदाहरण के रूप में हाइपरबोलिक सर्पिल का अध्ययन किया। वेरिग्नन और बाद में जेम्स क्लर्क मैक्सवेल इस वक्र पर एक बिंदु का पता लगाकर प्राप्त रूलेट्स में रुचि रखते थे क्योंकि यह दूसरे वक्र के साथ घूमता है उदाहरण के लिए, जब एक अतिपरवलयिक सर्पिल एक सीधी रेखा के साथ घूमता है, तो इसका केंद्र एक ट्रैक्ट्रिक्स का पता लगाता है।

आइजैक न्यूटन की खोज के संबंध में जोहान बर्नौली और रोजर कोट्स ने भी इस वक्र पर काम किया था कि व्युत्क्रम-वर्ग नियम के तहत चलने वाले पिंड, जैसे कि न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम में, शंकु खंड प्रक्षेपवक्र का पालन करते हैं। न्यूटन, बर्नौली और कोट्स इस निहितार्थ को उलटने और किसी दिए गए रूप के प्रक्षेपवक्र का उत्पादन करने के लिए आवश्यक गुरुत्वाकर्षण कानून के रूप को निर्धारित करने में रुचि रखते थे। न्यूटन ने दिखाया कि एक लघुगणकीय सर्पिल प्रक्षेपवक्र के लिए एक व्युत्क्रम-घन नियम की आवश्यकता होती है, बर्नौली ने इसे हाइपरबोलिक सर्पिल तक बढ़ाया, और कोट्स ने सर्पिलों का एक परिवार पाया, कोट्स के सर्पिल, जिसमें लघुगणक और अतिपरवलयिक सर्पिल शामिल थे, इन सभी के लिए एक व्युत्क्रम-घन नियम की आवश्यकता थी।

आर्किमिडीयन और लॉगरिदमिक सर्पिल के साथ रोटेशन की धारणा पर मनोवैज्ञानिक प्रयोगों में हाइपरबोलिक सर्पिल का उपयोग किया गया है।

कार्तीय निर्देशांक

ध्रुवीय समीकरण के साथ अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल

r={\frac {a}{\varphi }},\quad \varphi \neq 0

कार्टेशियन निर्देशांक में दर्शाया जा सकता है $(x = r cos φ, y = r sin φ)$ द्वारा

x=a{\frac {\cos \varphi }{\varphi }},\qquad y=a{\frac {\sin \varphi }{\varphi }},\quad \varphi \neq 0.

हाइपरबोला में है $rφ$ -निर्देशांक अक्षों को स्पर्शोन्मुख के रूप में समतल करें। अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल (में $xy$ -प्लेन) के लिए दृष्टिकोण $φ \to \pm\infty$ स्पर्शोन्मुख बिंदु के रूप में उत्पत्ति। के लिए $φ \to \pm0$ वक्र में एक स्पर्शोन्मुख रेखा है (अगला भाग देखें)।

ध्रुवीय समीकरण से और $φ = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}a/r, r = √x2 + y2$ किसी को एक समीकरण द्वारा प्रतिनिधित्व मिलता है:

{\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right).

ज्यामितीय गुण

अनंतस्पर्शी

क्योंकि

\lim _{\varphi \to 0}x=a\lim _{\varphi \to 0}{\frac {\cos \varphi }{\varphi }}=\infty ,\qquad \lim _{\varphi \to 0}y=a\lim _{\varphi \to 0}{\frac {\sin \varphi }{\varphi }}=a

वक्र में समीकरण के साथ एक अनंतस्पर्शी है $y = a$ .

ध्रुवीय ढलान

सेक्टर (हल्का नीला) और ध्रुवीय ढलान कोण की परिभाषा

α

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली#वेक्टर कैलकुलस से सूत्र प्राप्त होता है $tan α = r' / r$ ध्रुवीय ढलान और उसके कोण के लिए $α$ किसी वक्र की स्पर्शरेखा और संगत ध्रुवीय वृत्त की स्पर्शरेखा के बीच।

अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल के लिए $r = a / φ$ ध्रुवीय ढलान है

\tan \alpha =-{\frac {1}{\varphi }}.

वक्रता

ध्रुवीय समीकरण वाले वक्र की वक्रता $r = r (φ)$ है

\kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\,r''}{\left(r^{2}+(r')^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.

समीकरण से $r = a / φ$ और डेरिवेटिव $r' = - a / φ 2$ और $r ″ = 2 a / φ 3$ किसी को अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल की वक्रता मिलती है:

\kappa (\varphi )={\frac {\varphi ^{4}}{a\left(\varphi ^{2}+1\right)^{\frac {3}{2}}}}.

चाप लंबाई

के बीच एक अतिपरवलयिक सर्पिल के चाप की लंबाई $(r (φ 1), φ 1)$ और $(r (φ 2), φ 2)$ अभिन्न द्वारा गणना की जा सकती है:

{\begin{aligned}L&=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,d\varphi =\cdots \\&=a\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}{\varphi ^{2}}}\,d\varphi \\&=a\left[-{\frac {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}{\varphi }}+\ln \left(\varphi +{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\right)\right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}.\end{aligned}}

सेक्टर क्षेत्र

समीकरण के साथ एक अतिपरवलयिक सर्पिल के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (ऊपर चित्र देखें)। $r = a / φ$ है:

{\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\,d\varphi \\&={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {a^{2}}{\varphi ^{2}}}\,d\varphi \\&={\frac {a}{2}}\left({\frac {a}{\varphi _{1}}}-{\frac {a}{\varphi _{2}}}\right)\\&={\frac {a}{2}}{\bigl (}r(\varphi _{1})-r(\varphi _{2}){\bigr )}.\end{aligned}}

व्युत्क्रम

एक वृत्त व्युत्क्रम के साथ एक आर्किमिडीयन सर्पिल (हरा) की छवि के रूप में अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल (नीला)।

ध्रुवीय निर्देशांक में वृत्त व्युत्क्रम का सरल विवरण है: $(r, φ) \mapsto (1 / r, φ)$ .

एक आर्किमिडीयन सर्पिल की छवि $r = φ / a$ एक वृत्त व्युत्क्रम के साथ समीकरण के साथ अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल है $r = a / φ$ . पर $φ = a$ दो वक्र इकाई वृत्त पर एक निश्चित बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

आर्किमिडीज़ सर्पिल का दोलन चक्र $r = φ / a$ मूल पर त्रिज्या है $ρ 0 = 1 / 2 a$ (आर्किमिडीयन सर्पिल देखें) और केंद्र $(0, ρ 0)$ . इस वृत्त का प्रतिबिम्ब रेखा है $y = a$ (वृत्त व्युत्क्रम देखें)। इसलिए आर्किमिडीयन सर्पिल के व्युत्क्रम के साथ अतिपरवलयिक सर्पिल के स्पर्शोन्मुख की पूर्वछवि मूल में आर्किमिडीयन सर्पिल का दोलन वृत्त है।

उदाहरण: आरेख एक उदाहरण दिखाता है

a = π

.

हेलिक्स का केंद्रीय प्रक्षेपण

एक हेलिक्स के केंद्रीय प्रक्षेपण के रूप में अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल

बिंदु से केंद्रीय प्रक्षेपण पर विचार करें $C 0 = (0, 0, d)$ छवि तल पर $z = 0$ . यह एक बिंदु को मैप करेगा $(x, y, z)$ मुद्दे पर $d / d - z (x, y)$ .

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व के साथ हेलिक्स के इस प्रक्षेपण के तहत छवि

(r\cos t,r\sin t,ct),\quad c\neq 0,

वक्र है

{\frac {dr}{d-ct}}(\cos t,\sin t)

ध्रुवीय समीकरण के साथ

\rho ={\frac {dr}{d-ct}},

जो एक अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल का वर्णन करता है।

पैरामीटर के लिए $t 0 = d / c$ अतिपरवलयिक सर्पिल में एक ध्रुव होता है और हेलिक्स तल को काटता है $z = d$ एक बिंदु पर $V 0$ . कोई गणना द्वारा जांच कर सकता है कि जैसे-जैसे यह निकट आता है हेलिक्स की छवि बनती है $V 0$ अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल का अनंतस्पर्शी है।

संदर्भ

↑ Bowser, Edward Albert (1880), An Elementary Treatise on Analytic Geometry: Embracing Plane Geometry and an Introduction to Geometry of Three Dimensions (4th ed.), D. Van Nostrand, p. 232
↑ Lawrence, J. Dennis (2013), A Catalog of Special Plane Curves, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 186, ISBN 9780486167664.
↑ R. C., Jr. Kennicutt (December 1981), "The shapes of spiral arms along the Hubble sequence", The Astronomical Journal, American Astronomical Society, 86: 1847, Bibcode:1981AJ.....86.1847K, doi:10.1086/113064
↑ Savchenko, S. S.; Reshetnikov, V. P. (September 2013), "Pitch angle variations in spiral galaxies", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 436 (2): 1074–1083, doi:10.1093/mnras/stt1627
↑ Lawrence, J. Dennis (2013), A Catalog of Special Plane Curves, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 186, ISBN 9780486167664.

Hans-Jochen Bartsch, Michael Sachs: Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Carl Hanser Verlag, 2018, ISBN 3446457070, 9783446457072, S. 410.
Kinko Tsuji, Stefan C. Müller: Spirals and Vortices: In Culture, Nature, and Science, Springer, 2019, ISBN 3030057984, 9783030057985, S. 96.
Pierre Varignon: Nouvelle formation de Spirales – exemple II, Mémoires de l’Académie des sciences de l’Institut de France, 1704, pp. 94–103.
Friedrich Grelle: Analytische Geometrie der Ebene, Verlag F. Brecke, 1861 hyperbolische Spirale, S. 215.
Jakob Philipp Kulik: Lehrbuch der höhern Analysis, Band 2, In Commiss. bei Kronberger u. Rziwnatz, 1844, Spirallinien, S. 222.

बाहरी संबंध

[1] Bowser, Edward Albert (1880), An Elementary Treatise on Analytic Geometry: Embracing Plane Geometry and an Introduction to Geometry of Three Dimensions (4th ed.), D. Van Nostrand, p. 232

[lawrence2-2] Lawrence, J. Dennis (2013), A Catalog of Special Plane Curves, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 186, ISBN 9780486167664.

[3] R. C., Jr. Kennicutt (December 1981), "The shapes of spiral arms along the Hubble sequence", The Astronomical Journal, American Astronomical Society, 86: 1847, Bibcode:1981AJ.....86.1847K, doi:10.1086/113064

[4] Savchenko, S. S.; Reshetnikov, V. P. (September 2013), "Pitch angle variations in spiral galaxies", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 436 (2): 1074–1083, doi:10.1093/mnras/stt1627

[lawrence3-5] Lawrence, J. Dennis (2013), A Catalog of Special Plane Curves, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 186, ISBN 9780486167664.

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