फ़फ़ियान

गणित में, m×m तिरछा-सममित मैट्रिक्स के निर्धारक को हमेशा मैट्रिक्स प्रविष्टियों में बहुपद के वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है, पूर्णांक गुणांक वाला बहुपद जो केवल m पर निर्भर करता है। जब m विषम होता है, तो बहुपद शून्य होता है। जब m सम होता है, तो यह घात m/2 का शून्येतर बहुपद होता है, और ±1 से गुणा करने तक अद्वितीय होता है। नीचे दिए गए उदाहरणों में तिरछा-सममित त्रिविकर्ण मैट्रिक्स पर सम्मेलन, फिर विशिष्ट बहुपद निर्धारित करता है, जिसे 'फ़फ़ियन' बहुपद कहा जाता है। इस बहुपद का मान, जब तिरछा-सममित मैट्रिक्स की प्रविष्टियों पर लागू किया जाता है, तो उस मैट्रिक्स का 'फ़फ़ियन' कहा जाता है। पफैफ़ियन शब्द की शुरुआत किसके द्वारा की गई थी? Cayley (1852), जिन्होंने अप्रत्यक्ष रूप से उनका नाम जोहान फ्रेडरिक पफैफ़ के नाम पर रखा।

स्पष्ट रूप से, तिरछा-सममित मैट्रिक्स के लिए $A$,

$\operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A),$

जो सबसे पहले साबित हुआ था Cayley (1849), जो विभेदक समीकरणों की पफैफियन प्रणाली प्रणालियों पर काम में इन बहुपदों को पेश करने के लिए कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी का हवाला देते हैं। केली केवल पहली पंक्ति और पहले कॉलम में तिरछी समरूपता से विचलित होने वाले मैट्रिक्स पर अधिक सामान्य परिणाम पर विशेष ध्यान देकर यह संबंध प्राप्त करता है। ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक मूल मैट्रिक्स में पहले ऊपरी बाएँ प्रविष्टि को शून्य पर सेट करके प्राप्त किए गए दो मैट्रिक्स के Pfaffians का उत्पाद है और फिर क्रमशः, पहली पंक्ति के नकारात्मक स्थानान्तरण को पहले कॉलम में और नकारात्मक को कॉपी करता है। पहले कॉलम को पहली पंक्ति में स्थानांतरित करें। यह अवयस्कों पर निर्धारक का विस्तार करके और नीचे दिए गए प्रत्यावर्तन सूत्र को नियोजित करके प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जाता है।

उदाहरण

$A={\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}.\qquad \operatorname {pf} (A)=a.$

$B={\begin{bmatrix}0&a&b\\-a&0&c\\-b&-c&0\end{bmatrix}}.\qquad \operatorname {pf} (B)=0.$

(3 विषम है, इसलिए B का Pfaffian 0 है)

$\operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.$

2n × 2n तिरछा-सममित त्रिविकर्ण मैट्रिक्स का Pfaffian इस प्रकार दिया गया है

$\operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&a_{1}&0&0\\-a_{1}&0&0&0\\0&0&0&a_{2}\\0&0&-a_{2}&0&\ddots \\&&&\ddots &\ddots &\\&&&&&0&a_{n}\\&&&&&-a_{n}&0\end{bmatrix}}=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.$

(ध्यान दें कि किसी भी तिरछा-सममित मैट्रिक्स को इस रूप में कम किया जा सकता है; तिरछा-सममित मैट्रिक्स #स्पेक्ट्रल सिद्धांत | तिरछा-सममित मैट्रिक्स का स्पेक्ट्रल सिद्धांत देखें।)

औपचारिक परिभाषा

माना A = (a_i,j) 2n × 2n तिरछा-सममित मैट्रिक्स हो। A के Pfaffian को सूत्र द्वारा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है

$\operatorname {pf} (A)={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}\,,$

जहां एस_2n (2n) क्रम का सममित समूह है! और sgn(σ) σ का [[हस्ताक्षर (क्रमपरिवर्तन)]] है।

सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों के योग से बचने के लिए ए की तिरछी-समरूपता का उपयोग किया जा सकता है। मान लीजिए Π किसी समुच्चय के सभी विभाजनों का समुच्चय है {1, 2, ..., 2n} आदेश की परवाह किए बिना जोड़े में। वहाँ हैं (2n)!/(2ⁿn!) = (2n − 1)!! ऐसे विभाजन. तत्व α ∈ Π के रूप में लिखा जा सकता है

$\alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}$

साथ i_k < j_k और $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}$. होने देना

$\pi _{\alpha }={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n-1&2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &i_{n}&j_{n}\end{bmatrix}}$

संगत क्रमपरिवर्तन हो. ऊपर दिए गए विभाजन α को देखते हुए, परिभाषित करें

$A_{\alpha }=\operatorname {sgn} (\pi _{\alpha })a_{i_{1},j_{1}}a_{i_{2},j_{2}}\cdots a_{i_{n},j_{n}}.$

A का Pfaffian तब द्वारा दिया जाता है

$\operatorname {pf} (A)=\sum _{\alpha \in \Pi }A_{\alpha }.$

n विषम के लिए n×n तिरछा-सममित मैट्रिक्स का Pfaffian शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है, क्योंकि विषम तिरछा-सममित मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य है, क्योंकि तिरछा-सममित मैट्रिक्स के लिए,

$$\det \,A=\det \,A^{\text{T}}=\det \left(-A\right)=(-1)^{n}\det \,A,$$

और n विषम के लिए, इसका तात्पर्य है $\det \,A=0$.

पुनरावर्ती परिभाषा

परंपरा के अनुसार, 0×0 मैट्रिक्स का Pfaffian के बराबर है। तिरछा-सममित 2n×2n मैट्रिक्स A का Pfaffian n > 0 की गणना पुनरावर्ती रूप से की जा सकती है

$\operatorname {pf} (A)=\sum _{{j=1} \atop {j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta (i-j)}a_{ij}\operatorname {pf} (A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}),$

जहां सूचकांक I को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है, $\theta (i-j)$ हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन है, और $A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}$ ith और jth दोनों पंक्तियों और स्तंभों को हटाकर मैट्रिक्स A को दर्शाता है। ध्यान दें कि विशेष विकल्प के लिए कैसे $i=1$ यह सरल अभिव्यक्ति को कम करता है:

$\operatorname {pf} (A)=\sum _{j=2}^{2n}(-1)^{j}a_{1j}\operatorname {pf} (A_{{\hat {1}}{\hat {\jmath }}}).$

वैकल्पिक परिभाषाएँ

कोई भी किसी भी तिरछा-सममित 2n×2n मैट्रिक्स से जुड़ सकता है A = (a_ij) बाहरी बीजगणित के लिए

$\omega =\sum _{i<j}a_{ij}\;e_{i}\wedge e_{j},$

कहाँ {e₁, e₂, ..., e_2n} R का मानक आधार है²ⁿ. फ़फ़ियन को फिर समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है

${\frac {1}{n!}}\omega ^{n}=\operatorname {pf} (A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{2n},$

यहाँ ωⁿ ω की n प्रतियों के वेज उत्पाद को दर्शाता है।

समान रूप से, हम बायवेक्टर पर विचार कर सकते हैं (जो तब अधिक सुविधाजनक होता है जब हम योग बाधा लागू नहीं करना चाहते हैं $i<j$):

$$\omega '=2\omega =\sum _{i,j}a_{ij}\;e_{i}\wedge e_{j},$$

जो देता है $\omega '^{n}=2^{n}n!\operatorname {pf} (A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{2n}.$ निर्धारकों से जुड़े कई इंटीग्रल पर डी ब्रुइज़न के काम में पफैफ़ियन से विषम-आयामी मैट्रिक्स का गैर-शून्य सामान्यीकरण दिया गया है। विशेष रूप से किसी के लिए $m\times m$-मैट्रिक्स ए, हम उपरोक्त औपचारिक परिभाषा का उपयोग करते हैं लेकिन सेट करते हैं $n=\lfloor m/2\rfloor$. एम ऑड के लिए, कोई यह दिखा सकता है कि यह एन के सामान्य पफैफियन के बराबर है $(m+1)\times (m+1)$-आयामी तिरछा सममित मैट्रिक्स जहां हमने जोड़ा है $(m+1)$वें स्तंभ में एम तत्व 1, ए शामिल है $(m+1)$वीं पंक्ति में m तत्व -1 शामिल है, और कोने का तत्व शून्य है। Pfaffians के सामान्य गुण, उदाहरण के लिए निर्धारक से संबंध, फिर इस विस्तारित मैट्रिक्स पर लागू होते हैं।

गुण और पहचान

पफैफियंस में निम्नलिखित गुण होते हैं, जो निर्धारकों के समान होते हैं।

• एक पंक्ति और स्तंभ को स्थिरांक से गुणा करना पफैफ़ियन को उसी स्थिरांक से गुणा करने के बराबर है।
• दो अलग-अलग पंक्तियों और संबंधित स्तंभों के साथ आदान-प्रदान से पफैफ़ियन का चिह्न बदल जाता है।
• एक पंक्ति और संबंधित कॉलम का गुणज दूसरी पंक्ति और संबंधित कॉलम में जोड़ा जाने से Pfaffian का मान नहीं बदलता है।

इन गुणों का उपयोग करके, निर्धारकों की गणना के समान, Pfaffians की शीघ्रता से गणना की जा सकती है।

विविध

2n × 2n तिरछा-सममित मैट्रिक्स ए के लिए

$\operatorname {pf} (A^{\text{T}})=(-1)^{n}\operatorname {pf} (A).$

$\operatorname {pf} (\lambda A)=\lambda ^{n}\operatorname {pf} (A).$

$\operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A).$

एक मनमाना 2n × 2n मैट्रिक्स बी के लिए,

$\operatorname {pf} (BAB^{\text{T}})=\det(B)\operatorname {pf} (A).$

इस समीकरण में B = A प्रतिस्थापित करने पर^m, सभी पूर्णांकों के लिए m प्राप्त होता है

$\operatorname {pf} (A^{2m+1})=(-1)^{nm}\operatorname {pf} (A)^{2m+1}.$

Proof of $\operatorname {pf} (BAB^{\text{T}})=\det(B)\operatorname {pf} (A)$

As previously said, $A\mapsto \sum _{ij}A_{ij}e_{i}\wedge e_{j}\mapsto ^{\wedge n}{2^{n}n!}Pf(A)e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{2n}$. The same with $BAB^{\mathrm {T} }$:

$$BAB^{\mathrm {T} }\mapsto \sum _{ijkl}B_{ik}B_{jl}A_{kl}e_{i}\wedge e_{j}=\sum _{kl}A_{il}f_{k}\wedge f_{l}\mapsto ^{\wedge n}{2^{n}n!}Pf(A)f_{1}\wedge \cdots \wedge f_{2n}={2^{n}n!}Pf(BAB^{\mathrm {T} })e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{2n},$$

where we defined $f_{k}=\sum _{i}B_{ik}e_{i}$.

Since $f_{1}\wedge \cdots \wedge f_{2n}=\det(B)e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{2n},$ the proof is finished.

Proof of $\operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A)$:

Since $\operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A)$ is an equation of polynomials, it suffices to prove it for real matrices, and it would automatically apply for complex matrices as well.

By the spectral theory of skew-symmetric real matrices, $A=Q\Sigma Q^{\mathrm {T} }$, where $Q$ is orthogonal and

$$\Sigma ={\begin{bmatrix}0&a_{1}&0&0\\-a_{1}&0&0&0\\0&0&0&a_{2}\\0&0&-a_{2}&0&\ddots \\&&&\ddots &\ddots &\\&&&&&0&a_{n}\\&&&&&-a_{n}&0\end{bmatrix}}$$

for real numbers $a_{k}$. Now apply the previous theorem, we have $pf(A)^{2}=pf(\Sigma )^{2}\det(Q)^{4}=pf(\Sigma )^{2}=\left(\prod a_{i}\right)^{2}=\det(A)$.

व्युत्पन्न पहचान

यदि A किसी चर x पर निर्भर करता है_i, तो Pfaffian की ग्रेडिएंट द्वारा दी गई है

${\frac {1}{\operatorname {pf} (A)}}{\frac {\partial \operatorname {pf} (A)}{\partial x_{i}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}\right),$

और Pfaffian का हेस्सियन मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है

${\frac {1}{\operatorname {pf} (A)}}{\frac {\partial ^{2}\operatorname {pf} (A)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{j}}}\right)+{\frac {1}{4}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}\right)\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{j}}}\right).$

पहचान का पता लगाएं

तिरछा-सममित मैट्रिक्स ए और बी के Pfaffians के उत्पाद को घातांक के रूप में दर्शाया जा सकता है

${\textrm {pf}}(A)\,{\textrm {pf}}(B)=\exp({\tfrac {1}{2}}\mathrm {tr} \log(A^{\text{T}}B)).$

मान लीजिए कि A और B 2n × 2n तिरछा-सममित आव्यूह हैं

$\mathrm {pf} (A)\,\mathrm {pf} (B)={\tfrac {1}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}),\qquad \mathrm {where} \qquad s_{l}=-{\tfrac {1}{2}}(l-1)!\,\mathrm {tr} ((AB)^{l})$

और बी_n(एस₁,एस₂,...,एस_n) बेल बहुपद हैं।

ब्लॉक मैट्रिसेस

एक ब्लॉक-विकर्ण मैट्रिक्स के लिए

$A_{1}\oplus A_{2}={\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}},$

$\operatorname {pf} (A_{1}\oplus A_{2})=\operatorname {pf} (A_{1})\operatorname {pf} (A_{2}).$

एक मनमाना n × n मैट्रिक्स M के लिए:

$\operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&M\\-M^{\text{T}}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{n(n-1)/2}\det M.$

तिरछा-सममित मैट्रिक्स के फ़फ़ियन की गणना करने के लिए अक्सर इसकी आवश्यकता होती है $S$ ब्लॉक संरचना के साथ

$S={\begin{pmatrix}M&Q\\-Q^{\mathrm {T} }&N\end{pmatrix}}\,$

कहाँ $M$ और $N$ तिरछा-सममित मैट्रिक्स हैं और $Q$ सामान्य आयताकार मैट्रिक्स है.

कब $M$ उलटा है, के पास है

$\operatorname {pf} (S)=\operatorname {pf} (M)\operatorname {pf} (N+Q^{\mathrm {T} }M^{-1}Q).$

इसे ऐटकेन ब्लॉक-विकर्णीकरण सूत्र से देखा जा सकता है,

${\begin{pmatrix}M&0\\0&N+Q^{\mathrm {T} }M^{-1}Q\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I&0\\Q^{\mathrm {T} }M^{-1}&I\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}M&Q\\-Q^{\mathrm {T} }&N\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&-M^{-1}Q\\0&I\end{pmatrix}}.$

इस अपघटन में सर्वांगसमता परिवर्तन शामिल है जो पफैफ़ियन संपत्ति का उपयोग करने की अनुमति देता है $\operatorname {pf} (BAB^{\mathrm {T} })=\operatorname {det} (B)\operatorname {pf} (A)$.

इसी प्रकार, जब $N$ उलटा है, के पास है

$\operatorname {pf} (S)=\operatorname {pf} (N)\operatorname {pf} (M+QN^{-1}Q^{\mathrm {T} }),$

जैसा कि अपघटन को नियोजित करके देखा जा सकता है

${\begin{pmatrix}M+QN^{-1}Q^{\mathrm {T} }&0\\0&N\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I&-QN^{-1}\\0&I\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}M&Q\\-Q^{\mathrm {T} }&N\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&0\\N^{-1}Q^{\mathrm {T} }&I\end{pmatrix}}.$

पफैफ़ियन की संख्यात्मक गणना करना

मान लीजिए A 2n × 2n तिरछा-सममित आव्यूह है

${\textrm {pf}}(A)=i^{(n^{2})}\exp \left({\tfrac {1}{2}}\mathrm {tr} \log((\sigma _{y}\otimes I_{n})^{\mathrm {T} }\cdot A)\right),$

कहाँ $\sigma _{y}$ दूसरा पॉल के मैट्रिक्स है, $I_{n}$ आयाम n का पहचान मैट्रिक्स है और हमने मैट्रिक्स लघुगणक पर ट्रेस लिया।

यह समानता Pfaffian#Trace पहचान पर आधारित है

${\textrm {pf}}(A)\,{\textrm {pf}}(B)=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\mathrm {tr} \log(A^{\text{T}}B)\right)$

और उस अवलोकन पर ${\textrm {pf}}(\sigma _{y}\otimes I_{n})=(-i)^{n^{2}}$.

चूंकि मैट्रिक्स के लघुगणक की गणना कम्प्यूटेशनल रूप से मांग वाला कार्य है, इसके बजाय कोई इसके सभी eigenvalues ​​​​की गणना कर सकता है $((\sigma _{y}\otimes I_{n})^{\mathrm {T} }\cdot A)$, इन सभी का लॉग लें और उन्हें सारांशित करें। यह प्रक्रिया केवल मैट्रिक्स#गुणों के लघुगणक का उपयोग करती है $\operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}}$. इसे वोल्फ्राम मैथमैटिका में ही कथन के साथ लागू किया जा सकता है:

Pf[x_] := Module[{n = Dimensions[x][[1]] / 2}, I^(n^2) Exp[ 1/2 Total[ Log[Eigenvalues[ Dot[Transpose[KroneckerProduct[PauliMatrix[2], IdentityMatrix[n]]], x] ]]]]]

हालाँकि, Pfaffian बड़ा होने पर यह एल्गोरिथ्म अस्थिर है। के eigenvalues $(\sigma _{y}\otimes I_{n})^{\mathrm {T} }\cdot A$ आम तौर पर जटिल होगा, और इन जटिल eigenvalues ​​​​के लघुगणक को आम तौर पर लिया जाता है $[-\pi ,\pi ]$. सारांश के तहत, वास्तविक मूल्यवान पफैफ़ियन के लिए, घातांक का तर्क फॉर्म में दिया जाएगा $x+k\pi /2$ कुछ पूर्णांक के लिए $k$. कब $x$ बहुत बड़ी है, जटिल चरण से परिणामी संकेत की गणना में गोलाई त्रुटियां गैर-शून्य काल्पनिक घटक को जन्म दे सकती हैं।

अन्य (अधिक) कुशल एल्गोरिदम के लिए देखें Wimmer 2012.

अनुप्रयोग

• विभिन्न प्लेटफार्मों (पायथन, मैटलैब, मैथमेटिका) पर पफैफ़ियन की संख्यात्मक गणना के लिए कार्यक्रम मौजूद हैं। (Wimmer 2012).
• Pfaffian आधार के उचित ऑर्थोगोनल समूह परिवर्तन के तहत तिरछा-सममित मैट्रिक्स का अपरिवर्तनीय बहुपद है। इस प्रकार, यह चारित्रिक वर्गों के सिद्धांत में महत्वपूर्ण है। विशेष रूप से, इसका उपयोग रीमैनियन मैनिफोल्ड के यूलर वर्ग को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जिसका उपयोग सामान्यीकृत गॉस-बोनट प्रमेय में किया जाता है।
• एक समतलीय ग्राफ़ में पूर्ण मिलान की संख्या Pfaffian द्वारा दी जाती है, इसलिए FKT एल्गोरिथ्म के माध्यम से बहुपद समय की गणना की जा सकती है। यह आश्चर्य की बात है कि सामान्य ग्राफ़ के लिए, समस्या बहुत कठिन है (तथाकथित शार्प-पी-कम्प्लीट|#पी-कम्प्लीट)। इस परिणाम का उपयोग आयत के डोमिनोज़ टाइलिंग की संख्या, भौतिकी में आइसिंग मॉडल के विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी), या यंत्र अधिगम में मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्रों की गणना करने के लिए किया जाता है (Globerson & Jaakkola 2007; Schraudolph & Kamenetsky 2009), जहां अंतर्निहित ग्राफ समतलीय है। इसका उपयोग कुछ अन्यथा प्रतीत होने वाली कठिन समस्याओं के लिए कुशल एल्गोरिदम प्राप्त करने के लिए भी किया जाता है, जिसमें कुछ प्रकार के प्रतिबंधित क्वांटम गणना के कुशल सिमुलेशन भी शामिल हैं। अधिक जानकारी के लिए होलोग्राफिक एल्गोरिदम पढ़ें।

यह भी देखें

• निर्धारक
• डिमर मॉडल
• हफ़नियन
• पॉलीओमिनो
• सांख्यिकीय यांत्रिकी

संदर्भ

• Cayley, Arthur (1849). "Sur les déterminants gauches". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 38: 93–96.
• Cayley, Arthur (1852). "On the theory of permutants". Cambridge and Dublin Mathematical Journal. VII: 40–51. Reprinted in Collected mathematical papers, volume 2.
• Kasteleyn, P. W. (1961). "The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice". Physica. 27 (12): 1209–1225. Bibcode:1961Phy....27.1209K. doi:10.1016/0031-8914(61)90063-5.
• Propp, James (2004). "Lambda-determinants and domino-tilings". arXiv:math/0406301.
• Globerson, Amir; Jaakkola, Tommi (2007). "Approximate inference using planar graph decomposition" (PDF). Advances in Neural Information Processing Systems 19. MIT Press.
• Schraudolph, Nicol; Kamenetsky, Dmitry (2009). "Efficient exact inference in planar Ising models" (PDF). Advances in Neural Information Processing Systems 21. MIT Press.
• Jeliss, G. P.; Chapman, Robin J. (1996). "Dominizing the Chessboard". The Games and Puzzles Journal. 2 (14): 204–5.
• Sellers, James A. (2002). "Domino Tilings and Products of Fibonacci and Pell numbers". Journal of Integer Sequences. 5 (1): 02.1.2. Bibcode:2002JIntS...5...12S.
• Wells, David (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (revised ed.). Penguin. p. 182. ISBN 0-14-026149-4.
• Muir, Thomas (1882). A Treatise on the Theory of Determinants. Macmillan and Co. Online
• Parameswaran, S. (1954). "Skew-Symmetric Determinants". The American Mathematical Monthly. 61 (2): 116. doi:10.2307/2307800. JSTOR 2307800.
• Wimmer, M. (2012). "Efficient numerical computation of the Pfaffian for dense and banded skew-symmetric matrices". ACM Trans. Math. Softw. 38: 30. arXiv:1102.3440. doi:10.1145/2331130.2331138. S2CID 15331538.
• de Bruijn, N. G. (1955). "On some multiple integrals involving determinants". J. Indian Math. Soc. 19: 131–151.

बाहरी संबंध

• "Pfaffian", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Pfaffian at PlanetMath.org
• T. Jones, The Pfaffian and the Wedge Product (a demonstration of the proof of the Pfaffian/determinant relationship)
• R. Kenyon and A. Okounkov, What is ... a dimer?
• OEIS sequence A004003 (Number of domino tilings (or dimer coverings))
• W. Ledermann "A note on skew-symmetric determinants" https://www.researchgate.net/publication/231827602_A_note_on_skew-symmetric_determinants