बोसोनिक स्ट्रिंग सिद्धांत

बोसोनिक स्ट्रिंग सिद्धांत, स्ट्रिंग सिद्धांत का मूल संस्करण है, जिसे 1960 के दशक के अंत में विकसित किया गया और इसका नाम सत्येन्द्र नाथ बोस के नाम पर रखा गया था। इसे ऐसा इसलिए कहा जाता है क्योंकि इसके स्पेक्ट्रम में केवल बोसॉन होते हैं।

1980 के दशक में, स्ट्रिंग सिद्धांत के संदर्भ में सुपरसिमेट्री का अविष्कार किया गया, और स्ट्रिंग सिद्धांत का नया संस्करण जिसे सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत (सुपरसिमेट्रिक स्ट्रिंग सिद्धांत) कहा जाता है, वास्तविक फोकस बन गया। फिर भी, बोसोनिक स्ट्रिंग सिद्धांत पर्टर्बेटिव स्ट्रिंग सिद्धांत की अनेक सामान्य विशेषताओं को समझने के लिए अत्यधिक उपयोगी मॉडल बना हुआ है, और सुपरस्ट्रिंग्स की अनेक सैद्धांतिक कठिनाइयाँ वास्तव में बोसोनिक स्ट्रिंग्स के संदर्भ में पूर्व में ही प्राप्त की जा सकती हैं।

समस्याएँ

चूँकि बोसोनिक स्ट्रिंग सिद्धांत में अनेक आकर्षक विशेषताएं हैं, यह दो महत्वपूर्ण क्षेत्रों में व्यवहार्य भौतिक मॉडल के रूप में कम है।

सर्वप्रथम, यह केवल बोसॉन के अस्तित्व की भविष्यवाणी करता है जबकि कई भौतिक कण फ़र्मिअन हैं।

दूसरा, यह काल्पनिक संख्या द्रव्यमान के साथ स्ट्रिंग के मोड के अस्तित्व की भविष्यवाणी करता है, जिसका अर्थ है कि सिद्धांत में टैचियन संक्षेपण नामक प्रक्रिया में अस्थिरता है।

इसके अतिरिक्त, सामान्य स्पेसटाइम आयाम में बोसोनिक स्ट्रिंग सिद्धांत अनुरूप विसंगति के कारण विसंगतियों को प्रदर्शित करता है। किन्तु, जैसा कि सर्वप्रथम क्लाउड लवलेस ने देखा था, 26 आयामों (स्पेस के 25 आयाम और समय का एक आयाम) के स्पेसटाइम में, सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण आयाम, विसंगति समाप्त हो जाती है। यह उच्च आयामीता आवश्यक रूप से स्ट्रिंग सिद्धांत के लिए समस्या नहीं है, क्योंकि इसे इस प्रकार से प्रस्तुत किया जा सकता है कि 22 अतिरिक्त आयामों के साथ स्पेसटाइम को छोटे टोरस या अन्य कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड बनाने के लिए मोड़ दिया जाता है। इससे कम ऊर्जा प्रयोगों के लिए स्पेसटाइम के केवल परिचित चार आयाम ही दिखाई देंगे। महत्वपूर्ण आयाम का अस्तित्व जहां विसंगति समाप्त हो जाती है, सभी स्ट्रिंग सिद्धांतों की सामान्य विशेषता है।

बोसोनिक स्ट्रिंग के प्रकार

चार संभावित बोसोनिक स्ट्रिंग सिद्धांत हैं, जो इस पर निर्भर करता है कि संवृत स्ट्रिंग की अनुमति है या नहीं और क्या स्ट्रिंग में निर्दिष्ट अभिविन्यास है। याद रखें कि संवृत स्ट्रिंग के सिद्धांत में विवृत स्ट्रिंग भी सम्मिलित होनी चाहिए; संवृत स्ट्रिंग के विषय में अध्ययन किया जा सकता है कि उनके समापन बिंदु D25-ब्रेन पर निश्चित किए गए हैं जो सभी स्पेसटाइम को भरते हैं। स्ट्रिंग के विशिष्ट अभिविन्यास का अर्थ है कि केवल ओरिएंटेबिलिटी वर्ल्डशीट के अनुरूप इंटरैक्शन की अनुमति है (उदाहरण के लिए, दो स्ट्रिंग केवल समान अभिविन्यास के साथ विलय कर सकते हैं)। चार संभावित सिद्धांतों के स्पेक्ट्रा का रेखाचित्र इस प्रकार है:

बोसोनिक स्ट्रिंग सिद्धांत	गैर-सकारात्मक $M^{2}$ अवस्था
Open and closed, oriented	टैचियन, ग्रेविटॉन, डिलेटन, द्रव्यमान रहित एंटीसिमेट्रिक टेंसर
Open and closed, unoriented	टैचियन, ग्रेविटॉन, डिलेटन
Closed, oriented	टैचियन, ग्रेविटॉन, डिलेटन, एंटीसिमेट्रिक टेंसर, U(1) वेक्टर बोसोन
Closed, unoriented	टैचियन, ग्रेविटॉन, डिलेटन

ध्यान दें कि सभी चार सिद्धांतों में एक नकारात्मक ऊर्जा टैचियन ($M^{2}=-{\frac {1}{\alpha '}}$) है और एक द्रव्यमान रहित गुरुत्वाकर्षण है।

इस लेख का शेष भाग सीमाहीन, ओरिएंटेबल वर्डशीट के अनुरूप विवृत, ओरिएंटेड सिद्धांत पर प्रस्तावित होता है।

गणित

पथ अभिन्न गड़बड़ी सिद्धांत

कहा जा सकता है कि बोसोनिक स्ट्रिंग सिद्धांत को पॉलाकोव क्रिया के पथ अभिन्न परिमाणीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

$I_{0}[g,X]={\frac {T}{8\pi }}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}g^{mn}\partial _{m}x^{\mu }\partial _{n}x^{\nu }G_{\mu \nu }(x)$

$x^{\mu }(\xi )$ वर्ल्डशीट पर वह क्षेत्र है जो 25+1 स्पेसटाइम में स्ट्रिंग के एम्बेडिंग का वर्णन करता है; पॉलाकोव सूत्रीकरण में, $g$ इसे एम्बेडिंग से प्रेरित मीट्रिक के रूप में नहीं, यद्यपि स्वतंत्र गतिशील क्षेत्र के रूप में समझा जाना चाहिए। $G$ लक्ष्य स्पेसटाइम पर मीट्रिक है, जिसे सामान्यतः पर्टर्बेटिव सिद्धांत में मिन्कोवस्की मीट्रिक माना जाता है। विक रोटेशन के अनुसार, इसे यूक्लिडियन मीट्रिक $G_{\mu \nu }=\delta _{\mu \nu }$ के रूप में प्राप्त किया जाता है। Mटोपोलॉजिकल मैनिफ़ोल्ड पैरामीट्रिज्ड के रूप में वर्ल्डशीट $\xi$ निर्देशांक है। $T$ स्ट्रिंग तनाव है और रेगे स्लोप $T={\frac {1}{2\pi \alpha '}}$ से संबंधित है।

$I_{0}$ इसमें डिफोमॉर्फिज्म और वेइल इनवेरिएंस है। वेइल समरूपता परिमाणीकरण (अनुरूप विसंगति) पर विभाजित हो जाती है और इसलिए इस क्रिया को काउंटरटर्म के साथ पूरक किया जाना चाहिए, साथ ही काल्पनिक विशुद्ध रूप से टोपोलॉजिकल पद, यूलर विशेषता के आनुपातिक होता है:

$I=I_{0}+\lambda \chi (M)+\mu _{0}^{2}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}$

काउंटरटर्म द्वारा वेइल इनवेरिएंस को स्पष्ट रूप से विभाजित करने पर महत्वपूर्ण आयाम 26 में समाप्त किया जा सकता है।

फिर भौतिक राशियों का निर्माण (यूक्लिडियन) विभाजन फ़ंक्शन N-पॉइंट फ़ंक्शन से किया जाता है:

$Z=\sum _{h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])$

$\left\langle V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })\right\rangle =\sum _{h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })$

परेशान करने वाली श्रृंखला को जीनस द्वारा अनुक्रमित टोपोलॉजी के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है।

असतत योग संभावित टोपोलॉजी पर योग है, जो यूक्लिडियन बोसोनिक ओरिएंटेबल विवृत स्ट्रिंग्स के लिए कॉम्पैक्ट ओरिएंटेबल रीमैनियन सतह हैं और इस प्रकार $h$ जीनस द्वारा पहचाने जाते हैं। सामान्यीकरण कारक ${\mathcal {N}}$ समरूपता से ओवरकाउंटिंग की क्षतिपूर्ति के लिए प्रस्तुत किया गया है। जबकि विभाजन फ़ंक्शन की गणना ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक से युग्मित होती है, जिसमें N-पॉइंट फ़ंक्शन भी सम्मिलित है $p$ वर्टेक्स ऑपरेटर्स, स्ट्रिंग्स के प्रकीर्णन आयाम का वर्णन करता है।

क्रिया का समरूपता समूह वास्तव में एकीकरण स्थान को सीमित आयामी मैनिफ़ोल्ड तक कम कर देता है। विभाजन फ़ंक्शन में $g$ पथ-अभिन्न, संभावित रीमैनियन संरचनाओं पर प्राथमिक योग है; चूँकि, वेइल ट्रांसफ़ॉर्मेशन के संबंध में उद्धरण हमें केवल अनुरूप संरचनाओं अर्थात, संबंधित आव्यूह की पहचान के अनुसार आव्यूह के समतुल्य वर्ग पर विचार करने की अनुमति देता है,

$g'(\xi )=e^{\sigma (\xi )}g(\xi )$

चूँकि वर्ड-शीट द्वि-आयामी है, अनुरूप संरचनाओं और जटिल संरचनाओं के मध्य 1-1 समानता है। अभी भी डिफोमॉर्फिज्म को दूर करना होगा। यह हमें सभी संभावित जटिल संरचनाओं मॉड्यूलो डिफोमॉर्फिज्म के स्थान पर एकीकरण के साथ त्याग देता है, जो कि दी गई टोपोलॉजिकल सतह का केवल मॉड्यूलि स्पेस है, और वास्तव में परिमित-आयामी जटिल मैनिफोल्ड है। इसलिए पर्टर्बेटिव बोसोनिक स्ट्रिंग्स की मूल समस्या मॉड्यूलि स्पेस का पैरामीट्रिजेशन बन जाती है, जो जीनस के लिए अशून्य $h\geq 4$ है।

h = 0

ट्री-लेवल पर, जीनस 0 के अनुरूप, ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक लुप्त हो जाता है: $Z_{0}=0$.

चार टैच्योन के प्रकीर्णन के लिए चार-बिंदु कार्य शापिरो-विरासोरो आयाम है:

$A_{4}\propto (2\pi )^{26}\delta ^{26}(k){\frac {\Gamma (-1-s/2)\Gamma (-1-t/2)\Gamma (-1-u/2)}{\Gamma (2+s/2)\Gamma (2+t/2)\Gamma (2+u/2)}}$

जहाँ $k$ कुल संवेग है और $s$, $t$, $u$ मैंडेलस्टैम चर हैं।

h = 1

छायांकित क्षेत्र मॉड्यूलर समूह के लिए संभावित मौलिक डोमेन है।

जीनस 1 टोरस है, और वन-लूप स्तर से युग्मित होता है। विभाजन फलन की मात्रा इस प्रकार है:

$Z_{1}=\int _{{\mathcal {M}}_{1}}{\frac {d^{2}\tau }{8\pi ^{2}\tau _{2}^{2}}}{\frac {1}{(4\pi ^{2}\tau _{2})^{12}}}\left|\eta (\tau )\right|^{-48}$

$\tau$ सकारात्मक काल्पनिक भाग वाली सम्मिश्र संख्या $\tau _{2}$; ${\mathcal {M}}_{1}$ है, टोरस के मॉड्यूलि स्पेस के लिए होलोमोर्फिक, मॉड्यूलर समूह के लिए कोई मौलिक डोमेन $PSL(2,\mathbb {Z} )$ है, उदाहरण के लिए, $\left\{\tau _{2}>0,|\tau |^{2}>1,-{\frac {1}{2}}<\tau _{1}<{\frac {1}{2}}\right\}$ऊपरी अर्ध तल पर कार्य करता है, $\eta (\tau )$ डेडेकाइंड ईटा फ़ंक्शन है। इंटीग्रैंड निश्चित रूप से मॉड्यूलर समूह के अनुसार अपरिवर्तनीय है: माप ${\frac {d^{2}\tau }{\tau _{2}^{2}}}$ बस पोंकारे मीट्रिक है जिसमें आइसोमेट्री समूह के रूप में PSL(2,R) है; शेष एकीकरण $\tau _{2}\rightarrow |c\tau +d|^{2}\tau _{2}$ भी गुण से अपरिवर्तनीय है और तथ्य यह है कि $\eta (\tau )$ भार 1/2 का मॉड्यूलर रूप है।

यह अभिन्न विचलन करता है। यह टैचियन की उपस्थिति के कारण है और पर्टर्बेटिव वैक्यूम की अस्थिरता से संबंधित है।

यह भी देखें

• नंबू-गोटो क्रिया
• पोल्याकोव क्रिया

संदर्भ

D'Hoker, Eric & Phong, D. H. (Oct 1988). "The geometry of string perturbation theory". Rev. Mod. Phys. American Physical Society. 60 (4): 917–1065. Bibcode:1988RvMP...60..917D. doi:10.1103/RevModPhys.60.917.

Belavin, A.A. & Knizhnik, V.G. (Feb 1986). "Complex geometry and the theory of quantum strings". ZhETF. 91 (2): 364–390. Bibcode:1986ZhETF..91..364B. Archived from the original on 2021-02-26. Retrieved 2015-04-24.