अर्धसंभाव्यता वितरण

अर्धसंभाव्यता वितरण, संभाव्यता वितरण के समान एक गणितीय वस्तु है, लेकिन जो संभाव्यता सिद्धांत के कुछ सिद्धांतों को शिथिल कर देता है। कोलमोगोरोव के संभाव्यता सिद्धांत के सिद्धांत। अर्धसंभावनाएं सामान्य संभावनाओं के साथ कई सामान्य विशेषताएं साझा करती हैं, जैसे, महत्वपूर्ण रूप से, वितरण के भार के संबंध में अपेक्षा मूल्य उत्पन्न करने की क्षमता। हालाँकि, वे संभाव्यता सिद्धांतों का उल्लंघन कर सकते हैं#तीसरा सिद्धांत|σ-योगात्मकता सिद्धांत: उन पर एकीकरण करने से परस्पर अनन्य राज्यों की संभावनाएं उत्पन्न नहीं होती हैं। वास्तव में, अर्धसंभाव्यता वितरणों में नकारात्मक संभाव्यता घनत्व के क्षेत्र भी होते हैं, जो विपरीत रूप से, संभाव्यता सिद्धांतों#प्रथम सिद्धांतों का खंडन करते हैं। क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण स्वाभाविक रूप से क्वांटम यांत्रिकी के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं जब चरण अंतरिक्ष फॉर्मूलेशन में इलाज किया जाता है, आमतौर पर क्वांटम प्रकाशिकी , समय-आवृत्ति विश्लेषण में उपयोग किया जाता है, और अन्यत्र.

परिचय

Main article: Coherent states

Main article: Optical phase space

सबसे सामान्य रूप में, क्वांटम यांत्रिकी की गतिशीलता | क्वांटम-मैकेनिकल प्रणाली हिल्बर्ट अंतरिक्ष में एक मास्टर समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है: घनत्व ऑपरेटर के लिए गति का एक समीकरण (आमतौर पर लिखा जाता है) ${\widehat {\rho }}$) प्रणाली में। घनत्व ऑपरेटर को पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में परिभाषित किया गया है। यद्यपि इस समीकरण को बहुत छोटी प्रणालियों (यानी, कुछ कणों या स्वतंत्रता की डिग्री वाले सिस्टम) के लिए सीधे एकीकृत करना संभव है, यह बड़ी प्रणालियों के लिए जल्दी ही कठिन हो जाता है। हालाँकि, यह साबित करना संभव है घनत्व ऑपरेटर को हमेशा एक विकर्ण मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है, बशर्ते कि यह अतिपूर्णता के आधार पर हो। जब घनत्व ऑपरेटर को इस तरह के पूर्ण आधार पर दर्शाया जाता है, तो इसे एक सामान्य फ़ंक्शन के समान तरीके से लिखा जा सकता है, इस कीमत पर कि फ़ंक्शन में अर्धसंभाव्यता वितरण की विशेषताएं होती हैं। सिस्टम का विकास तब पूरी तरह से क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण फ़ंक्शन के विकास से निर्धारित होता है।

सुसंगत अवस्थाएँ, अर्थात् विनाश संचालिका की सही स्वदेशी अवस्थाएँ ${\widehat {a}}$ ऊपर वर्णित निर्माण में अपूर्ण आधार के रूप में कार्य करें। परिभाषा के अनुसार, सुसंगत राज्यों में निम्नलिखित संपत्ति होती है,

${\begin{aligned}{\widehat {a}}|\alpha \rangle &=\alpha |\alpha \rangle \\\langle \alpha |{\widehat {a}}^{\dagger }&=\langle \alpha |\alpha ^{*}.\end{aligned}}$

उनके पास कुछ और दिलचस्प गुण भी हैं। उदाहरण के लिए, कोई भी दो सुसंगत अवस्थाएँ ऑर्थोगोनल नहीं हैं। वास्तव में, यदि |α〉 और |β〉 सुसंगत अवस्थाओं की एक जोड़ी हैं, तो

$\langle \beta \mid \alpha \rangle =e^{-{1 \over 2}(|\beta |^{2}+|\alpha |^{2}-2\beta ^{*}\alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta ).$

ध्यान दें कि ये अवस्थाएँ, हालांकि, α | के साथ सही ढंग से इकाई वेक्टर हैं α〉 = 1. फॉक राज्यों के आधार की पूर्णता के कारण, सुसंगत राज्यों के आधार का चुनाव अतिपूर्ण होना चाहिए। अनौपचारिक प्रमाण दिखाने के लिए क्लिक करें।

Proof of the overcompleteness of the coherent states
Integration over the complex plane can be written in terms of polar coordinates with $d^{2}\alpha =r\,dr\,d\theta$. Where exchanging sum and integral is allowed, we arrive at a simple integral expression of the gamma function: $|\psi \rangle ={\frac {1}{\pi }}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |\psi \rangle \,d^{2}\alpha .$

हालाँकि, सुसंगत राज्यों के आधार पर, यह हमेशा संभव हैघनत्व संकारक को विकर्ण रूप में व्यक्त करना

${\widehat {\rho }}=\int f(\alpha ,\alpha ^{*})|\alpha \rangle \langle \alpha |\,d^{2}\alpha$

जहाँ f चरण स्थान वितरण का प्रतिनिधित्व है। इस फ़ंक्शन f को अर्धसंभाव्यता घनत्व माना जाता है क्योंकि इसमें निम्नलिखित गुण हैं:

• $\int f(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha =\operatorname {tr} ({\widehat {\rho }})=1$ (सामान्यीकरण)
• अगर $g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })$ एक ऑपरेटर है जिसे क्रमबद्ध Ω में सृजन और विनाश ऑपरेटरों की शक्ति श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो इसका अपेक्षित मूल्य है

$\langle g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })\rangle =\int f(\alpha ,\alpha ^{*})g_{\Omega }(\alpha ,\alpha ^{*})\,d\alpha \,d\alpha ^{*}$ (ऑप्टिकल तुल्यता प्रमेय)।

फ़ंक्शन f अद्वितीय नहीं है. विभिन्न प्रतिनिधित्वों का एक परिवार मौजूद है, प्रत्येक एक अलग क्रम से जुड़ा हुआ है। सामान्य भौतिकी साहित्य में सबसे लोकप्रिय और ऐतिहासिक रूप से इनमें से पहला है विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण, जो सममित ऑपरेटर ऑर्डरिंग से संबंधित है। विशेष रूप से क्वांटम ऑप्टिक्स में, अक्सर रुचि के ऑपरेटर, विशेष रूप से कण संख्या ऑपरेटर, स्वाभाविक रूप से सामान्य क्रम में व्यक्त किए जाते हैं। उस स्थिति में, चरण स्थान वितरण का संगत प्रतिनिधित्व ग्लौबर-सुदर्शन पी प्रतिनिधित्व है। इन चरण अंतरिक्ष वितरणों की अर्धसंभाव्य प्रकृति को सबसे अच्छी तरह से समझा जाता है P निम्नलिखित मुख्य कथन के कारण प्रतिनिधित्व:

If the quantum system has a classical analog, e.g. a coherent state or thermal radiation, then P is non-negative everywhere like an ordinary probability distribution. If, however, the quantum system has no classical analog, e.g. an incoherent Fock state or entangled system, then P is negative somewhere or more singular than a delta function.

यह व्यापक कथन अन्य अभ्यावेदनों में निष्क्रिय है। उदाहरण के लिए, ईपीआर विरोधाभास स्थिति का विग्नर फ़ंक्शन सकारात्मक निश्चित है लेकिन इसका कोई शास्त्रीय एनालॉग नहीं है। ऊपर परिभाषित अभ्यावेदन के अलावा, कई अन्य अर्धसंभाव्यता वितरण हैं जो चरण अंतरिक्ष वितरण के वैकल्पिक अभ्यावेदन में उत्पन्न होते हैं। एक अन्य लोकप्रिय प्रतिनिधित्व हुसिमी क्यू प्रतिनिधित्व है, जो तब उपयोगी होता है जब ऑपरेटर सामान्य-विरोधी क्रम में हों। हाल ही में, सकारात्मक P प्रतिनिधित्व और सामान्यीकृत का एक व्यापक वर्ग Pक्वांटम ऑप्टिक्स में जटिल समस्याओं को हल करने के लिए अभ्यावेदन का उपयोग किया गया है। ये सभी एक दूसरे के समतुल्य और परस्पर परिवर्तनीय हैं, अर्थात। कोहेन का वर्ग वितरण फलन.

विशेषता कार्य

संभाव्यता सिद्धांत के अनुरूप, क्वांटम क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण विशेषता फ़ंक्शन (संभावना सिद्धांत) के संदर्भ में लिखा जा सकता है, जिससे सभी ऑपरेटर अपेक्षा मान प्राप्त किए जा सकते हैं। विशिष्टता एन मोड सिस्टम के विग्नर, ग्लौबर-सुदर्शन पी-प्रतिनिधित्व और क्यू वितरण के लिए कार्य निम्नानुसार हैं:

• $\chi _{W}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}+i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }})$
• $\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}})$
• $\chi _{Q}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}}e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }})$

यहाँ ${\widehat {\mathbf {a} }}$ और ${\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }$ प्रत्येक मोड के लिए विनाश और निर्माण ऑपरेटर वाले वेक्टर हैं प्रणाली में। इन विशिष्ट कार्यों का उपयोग ऑपरेटर क्षणों के अपेक्षा मूल्यों का सीधे मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है। इन क्षणों में संहार और सृजन संचालकों का क्रम विशिष्ट विशिष्ट कार्य के लिए विशिष्ट होता है। उदाहरण के लिए, सामान्य क्रम (विनाश संचालकों से पहले सृजन संचालक) क्षणों का मूल्यांकन निम्नलिखित तरीके से किया जा सकता है $\chi _{P}\,$:

$\langle {\widehat {a}}_{j}^{\dagger m}{\widehat {a}}_{k}^{n}\rangle ={\frac {\partial ^{m+n}}{\partial (iz_{j}^{*})^{m}\partial (iz_{k})^{n}}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*}){\Big |}_{\mathbf {z} =\mathbf {z} ^{*}=0}$

उसी तरह, विनाश और निर्माण ऑपरेटरों के सामान्य रूप से आदेशित और सममित रूप से आदेशित संयोजनों की अपेक्षा मूल्यों का मूल्यांकन क्रमशः क्यू और विग्नर वितरण के लिए विशेषता कार्यों से किया जा सकता है। अर्धसंभाव्यता कार्यों को स्वयं उपरोक्त विशिष्ट कार्यों के फूरियर परिवर्तनों के रूप में परिभाषित किया गया है। वह है,

$\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})={\frac {1}{\pi ^{2N}}}\int \chi _{\{W\mid P\mid Q\}}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})e^{-i\mathbf {z} ^{*}\cdot \mathbf {\alpha } ^{*}}e^{-i\mathbf {z} \cdot \mathbf {\alpha } }\,d^{2N}\mathbf {z} .$

यहाँ $\alpha _{j}\,$ और $\alpha _{k}^{*}$ ग्लॉबर पी और क्यू वितरण के मामले में सुसंगत राज्य आयाम के रूप में पहचाना जा सकता है, लेकिन विग्नर फ़ंक्शन के लिए केवल सी-नंबर। चूंकि सामान्य स्थान में विभेदन फूरियर अंतरिक्ष में गुणन बन जाता है, इसलिए इन कार्यों से क्षणों की गणना निम्नलिखित तरीके से की जा सकती है:

• $\langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n}\rangle =\int P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{n}\alpha _{k}^{*m}\,d^{2N}\mathbf {\alpha }$
• $\langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{\dagger n}\rangle =\int Q(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha }$
• $\langle ({\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n})_{S}\rangle =\int W(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha }$

यहाँ $(\cdots )_{S}$ सममित क्रम को दर्शाता है।

ये सभी अभ्यावेदन गॉसियन फ़ंक्शन, वीयरस्ट्रैस परिवर्तन, द्वारा कनवल्शन के माध्यम से परस्पर जुड़े हुए हैं।

• $W(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta$
• $Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int W(\beta ,\beta ^{*})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta$

या, उस संपत्ति का उपयोग करते हुए जो कनवल्शन साहचर्य है,

• $Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ~.$

यह इस प्रकार है कि

• $P(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int Q(\beta ,\beta ^{*})e^{|\lambda |^{2}+\lambda ^{*}(\alpha -\beta )-\lambda (\alpha -\beta )^{*}}\,d^{2}\beta ~d^{2}\lambda ,$

एक अक्सर भिन्न अभिन्न अंग, जो इंगित करता है कि पी अक्सर एक वितरण है। समान घनत्व मैट्रिक्स के लिए Q हमेशा P से अधिक चौड़ा होता है। उदाहरण के लिए, एक तापीय अवस्था के लिए,

${\hat {\rho }}={\frac {1}{{\bar {n}}+1}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\bar {n}}{1+{\bar {n}}}}\right)^{n}|n\rangle \langle n|~~,$

किसी के पास

$P(\alpha )={\frac {1}{\pi {\bar {n}}}}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{\bar {n}}}},\qquad Q(\alpha )={\frac {1}{\pi (1+{\bar {n}})}}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{1+{\bar {n}}}}}~~~.$

समय विकास और ऑपरेटर पत्राचार

उपरोक्त प्रत्येक परिवर्तन के बाद से ρ वितरण फलन रैखिक है, प्रत्येक वितरण के लिए गति का समीकरण समान परिवर्तन करके प्राप्त किया जा सकता है ${\dot {\rho }}$. इसके अलावा, चूंकि कोई भी मास्टर समीकरण जिसे लिंडब्लैड समीकरण में व्यक्त किया जा सकता है, वह पूरी तरह से घनत्व ऑपरेटर पर निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के संयोजन की कार्रवाई द्वारा वर्णित है, इस तरह के संचालन के प्रत्येक अर्धसंभाव्यता कार्यों पर पड़ने वाले प्रभाव पर विचार करना उपयोगी है। उदाहरण के लिए, विनाश संचालिका पर विचार करें ${\widehat {a}}_{j}\,$ अभिनय कर रहे ρ. पी वितरण के विशिष्ट कार्य के लिए हमारे पास है

$\operatorname {tr} ({\widehat {a}}_{j}\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}})={\frac {\partial }{\partial (iz_{j})}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*}).$

फूरियर परिवर्तन के संबंध में लेना $\mathbf {z} \,$ खोजने के लिए ग्लौबर पी फ़ंक्शन पर कार्रवाई संबंधित कार्रवाई, हम पाते हैं

${\widehat {a}}_{j}\rho \rightarrow \alpha _{j}P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*}).$

उपरोक्त प्रत्येक वितरण के लिए इस प्रक्रिया का पालन करके, निम्नलिखित ऑपरेटर पत्राचार की पहचान की जा सकती है:

• ${\widehat {a}}_{j}\rho \rightarrow \left(\alpha _{j}+\kappa {\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})$
• $\rho {\widehat {a}}_{j}^{\dagger }\rightarrow \left(\alpha _{j}^{*}+\kappa {\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})$
• ${\widehat {a}}_{j}^{\dagger }\rho \rightarrow \left(\alpha _{j}^{*}-(1-\kappa ){\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})$
• $\rho {\widehat {a}}_{j}\rightarrow \left(\alpha _{j}-(1-\kappa ){\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})$

यहाँ κ = 0, 1/2 या क्रमशः पी, विग्नर और क्यू वितरण के लिए 1। इस प्रकार, मास्टर समीकरणों को समीकरणों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है अर्धसंभाव्यता कार्यों की गति।

उदाहरण

सुसंगत अवस्था

निर्माण द्वारा, एक सुसंगत स्थिति के लिए पी $|\alpha _{0}\rangle$ बस एक डेल्टा फ़ंक्शन है:

$P(\alpha ,\alpha ^{*})=\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{0}).$

विग्नर और क्यू अभ्यावेदन उपरोक्त गॉसियन कनवल्शन फ़ार्मुलों से तुरंत अनुसरण करते हैं,

$W(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ={\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}$

$Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}.$

हुसिमी प्रतिनिधित्व को दो सुसंगत राज्यों के आंतरिक उत्पाद के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके भी पाया जा सकता है,

$Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\widehat {\rho }}|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }}|\langle \alpha _{0}|\alpha \rangle |^{2}={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}$

फॉक अवस्था

एक फॉक राज्य का पी प्रतिनिधित्व $|n\rangle$ है

$P(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{n!}}{\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{*n}\,\partial \alpha ^{n}}}\delta ^{2}(\alpha ).$

चूँकि n>0 के लिए यह डेल्टा फ़ंक्शन की तुलना में अधिक विलक्षण है, फ़ॉक स्टेट का कोई शास्त्रीय एनालॉग नहीं है। गॉसियन संकल्पों के साथ आगे बढ़ने पर गैर-शास्त्रीयता कम पारदर्शी होती है। यदि एल_nnवाँ लैगुएरे बहुपद है, W है

$W(\alpha ,\alpha ^{*})=(-1)^{n}{\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha |^{2}}L_{n}\left(4|\alpha |^{2}\right)~,$

जो नकारात्मक हो सकता है लेकिन सीमित है।

इसके विपरीत, क्यू हमेशा सकारात्मक और सीमित रहता है,

$Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\widehat {\rho }}|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }}|\langle n|\alpha \rangle |^{2}={\frac {1}{\pi n!}}|\langle 0|{\widehat {a}}^{n}|\alpha \rangle |^{2}={\frac {|\alpha |^{2n}}{\pi n!}}|\langle 0|\alpha \rangle |^{2}~.$

डम्प्ड क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर

निम्नलिखित मास्टर समीकरण के साथ नम क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर पर विचार करें,

${\frac {d{\widehat {\rho }}}{dt}}=i\omega _{0}[{\widehat {\rho }},{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}]+{\frac {\gamma }{2}}(2{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-\rho {\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}})+\gamma \langle n\rangle ({\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }+{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}{\widehat {a}}^{\dagger }).$

इसका परिणाम फोककर-प्लैंक समीकरण में होता है,

${\frac {\partial }{\partial t}}\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)=\left[(\gamma +i\omega _{0}){\frac {\partial }{\partial \alpha }}\alpha +(\gamma -i\omega _{0}){\frac {\partial }{\partial \alpha ^{*}}}\alpha ^{*}+{\frac {\gamma }{2}}(\langle n\rangle +\kappa ){\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \,\partial \alpha ^{*}}}\right]\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t),$

जहां क्रमशः P, W, और Q प्रतिनिधित्व के लिए κ = 0, 1/2, 1 है।

यदि सिस्टम प्रारंभ में सुसंगत स्थिति में है $|\alpha _{0}\rangle$, तो इस समीकरण का हल है

$\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)={\frac {1}{\pi \left[\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-2\gamma t}\right)\right]}}\exp {\left(-{\frac {\left|\alpha -\alpha _{0}e^{-(\gamma +i\omega _{0})t}\right|^{2}}{\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-2\gamma t}\right)}}\right)}~~.$