सामान्य क्रम

For other uses, see सामान्य क्रम (disambiguation).

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में क्वांटम क्षेत्रों का एक उत्पाद, या समकक्ष रूप से उनके निर्माण और विनाश ऑपरेटरों को आमतौर पर सामान्य ऑर्डर (जिसे विक ऑर्डर भी कहा जाता है) कहा जाता है, जब सभी निर्माण ऑपरेटर उत्पाद में सभी विनाश ऑपरेटरों के बाईं ओर होते हैं। किसी उत्पाद को सामान्य क्रम में रखने की प्रक्रिया को सामान्य ऑर्डरिंग (जिसे विक ऑर्डरिंग भी कहा जाता है) कहा जाता है। एंटीनॉर्मल ऑर्डर और एंटीनॉर्मल ऑर्डरिंग को समान रूप से परिभाषित किया गया है, जहां विनाश ऑपरेटरों को निर्माण ऑपरेटरों के बाईं ओर रखा गया है।

क्वांटम फ़ील्ड या निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के उत्पाद के सामान्य क्रम को कई #वैकल्पिक परिभाषाओं में भी परिभाषित किया जा सकता है। कौन सी परिभाषा सबसे उपयुक्त है यह किसी दी गई गणना के लिए आवश्यक अपेक्षा मूल्यों पर निर्भर करती है। इस लेख का अधिकांश भाग सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा का उपयोग करता है जैसा कि ऊपर दिया गया है, जो सृजन और विनाश ऑपरेटरों की निर्वात स्थिति का उपयोग करके अपेक्षा मान लेते समय उपयुक्त है।

सामान्य क्रम की प्रक्रिया क्वांटम यांत्रिकी हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। शास्त्रीय यांत्रिकी हैमिल्टनियन की मात्रा निर्धारित करते समय ऑपरेटर ऑर्डर चुनते समय कुछ स्वतंत्रता होती है, और ये विकल्प शून्य-बिंदु ऊर्जा में अंतर पैदा करते हैं। इसीलिए इस प्रक्रिया का उपयोग क्वांटम क्षेत्र की अनंत वैक्यूम ऊर्जा को खत्म करने के लिए भी किया जा सकता है।

नोटेशन

अगर ${\hat {O}}$ निर्माण और/या विनाश ऑपरेटरों (या समकक्ष, क्वांटम फ़ील्ड) के एक मनमाने उत्पाद को दर्शाता है, फिर सामान्य क्रमबद्ध रूप ${\hat {O}}$ द्वारा निरूपित किया जाता है ${\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}$.

एक वैकल्पिक संकेतन है ${\mathcal {N}}({\hat {O}})$.

ध्यान दें कि सामान्य ऑर्डरिंग एक अवधारणा है जो केवल ऑपरेटरों के उत्पादों के लिए समझ में आती है। ऑपरेटरों के योग पर सामान्य ऑर्डर लागू करने का प्रयास उपयोगी नहीं है क्योंकि सामान्य ऑर्डर एक रैखिक ऑपरेशन नहीं है।

बोसोन

बोसॉन वे कण हैं जो बोस-आइंस्टीन के आँकड़ों को संतुष्ट करते हैं। अब हम बोसोनिक निर्माण और विनाश ऑपरेटर उत्पादों के सामान्य ऑर्डर की जांच करेंगे।

एकल बोसॉन

यदि हम केवल एक प्रकार के बोसॉन से शुरू करते हैं तो रुचि के दो ऑपरेटर हैं:

• ${\hat {b}}^{\dagger }$: बोसॉन का निर्माण संचालक।
• ${\hat {b}}$: बोसॉन का विनाश संचालक।

ये कम्यूटेटर संबंध को संतुष्ट करते हैं

$\left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1$

कहाँ $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ कम्यूटेटर को दर्शाता है. हम अंतिम को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं: ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.$

उदाहरण

1. हम पहले सबसे सरल मामले पर विचार करेंगे। यह सामान्य क्रम है ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$:

${:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.$

इजहार ${\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}$ बदला नहीं गया है क्योंकि यह पहले से ही सामान्य क्रम में है - निर्माण ऑपरेटर $({\hat {b}}^{\dagger })$ यह पहले से ही विनाश ऑपरेटर के बाईं ओर है $({\hat {b}})$.

2. एक अधिक दिलचस्प उदाहरण सामान्य क्रम है ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }$:

${:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.$

यहां सामान्य ऑर्डरिंग ऑपरेशन ने शर्तों को रखकर पुनः व्यवस्थित किया है ${\hat {b}}^{\dagger }$ के बाईं ओर ${\hat {b}}$.

इन दोनों परिणामों को पालन किए गए रूपान्तरण संबंध के साथ जोड़ा जा सकता है ${\hat {b}}$ और ${\hat {b}}^{\dagger }$ पाने के

${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1={:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}\;+1.$

या

${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1.$

इस समीकरण का उपयोग विक प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है।

3. एकाधिक ऑपरेटरों वाला एक उदाहरण है:

${:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.$

4. एक सरल उदाहरण से पता चलता है कि सामान्य क्रम को एकपदी से सभी ऑपरेटरों तक रैखिकता द्वारा आत्मनिर्भर तरीके से नहीं बढ़ाया जा सकता है:

${:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={:\,}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}={:\,}1{\,:}+{:\,}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}=1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\neq {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}={:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}$

निहितार्थ यह है कि सामान्य ऑर्डरिंग ऑपरेटरों पर एक रैखिक कार्य नहीं है।

एकाधिक बोसॉन

अगर अब हम विचार करें $N$ वहाँ विभिन्न बोसोन हैं $2N$ ऑपरेटर:

• ${\hat {b}}_{i}^{\dagger }$: द $i^{th}$ बोसॉन का निर्माण संचालक।
• ${\hat {b}}_{i}$: द $i^{th}$ बोसॉन का विनाश संचालक।

यहाँ $i=1,\ldots ,N$.

ये रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट करते हैं:

$\left[{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=\delta _{ij}$

कहाँ $i,j=1,\ldots ,N$ और $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा को दर्शाता है।

इन्हें इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

${\hat {b}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}^{\dagger }$

${\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}={\hat {b}}_{j}\,{\hat {b}}_{i}$

${\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}+\delta _{ij}.$

उदाहरण

1. दो अलग-अलग बोसॉन के लिए ($N=2$) हमारे पास है

$:{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}$

$:{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}$

2. तीन अलग-अलग बोसॉन के लिए ($N=3$) हमारे पास है

$:{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}$

ध्यान दें कि चूँकि (परिवर्तन संबंधों द्वारा) ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ जिस क्रम में हम विनाश संचालक लिखते हैं, उससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

$:{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}$

$:{\hat {b}}_{3}{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}$

बोसोनिक ऑपरेटर फ़ंक्शन

बोसोनिक ऑपरेटर कार्यों का सामान्य क्रम $f({\hat {n}})$, व्यवसाय संख्या ऑपरेटर के साथ ${\hat {n}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger }{\hat {b}}$, भाज्य शक्ति |(गिरती) फैक्टोरियल शक्तियों का उपयोग करके पूरा किया जा सकता है ${\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {n}}({\hat {n}}-1)\cdots ({\hat {n}}-k+1)$ और टेलर श्रृंखला के बजाय न्यूटन श्रृंखला: यह दिखाना आसान है

 वह तथ्यात्मक शक्तियाँ ${\hat {n}}^{\underline {k}}$ सामान्य-क्रमबद्ध (कच्चे) घातांक के बराबर हैं ${\hat {n}}^{k}$ और इसलिए निर्माण द्वारा सामान्य रूप से आदेश दिया जाता है,

${\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger k}{\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{k}={:\,}{\hat {n}}^{k}{\,:},$

जैसे कि न्यूटन श्रृंखला का विस्तार

${\tilde {f}}({\hat {n}})=\sum _{k=0}^{\infty }\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)\,{\frac {{\hat {n}}^{\underline {k}}}{k!}}$

एक ऑपरेटर फ़ंक्शन का ${\tilde {f}}({\hat {n}})$, साथ $k$-वें आगे का अंतर $\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)$ पर $n=0$, हमेशा सामान्य ऑर्डर दिया जाता है। यहां, दूसरा परिमाणीकरण#Action_on_Fock_states ${\hat {n}}|n\rangle =n|n\rangle$ संबंधित ${\hat {n}}$ और $n$.

परिणामस्वरूप, एक मनमाना फ़ंक्शन की सामान्य-क्रम वाली टेलर श्रृंखला $f({\hat {n}})$ किसी संबद्ध फ़ंक्शन की न्यूटन श्रृंखला के बराबर है ${\tilde {f}}({\hat {n}})$, पूर्ति

${\tilde {f}}({\hat {n}})={:\,}f({\hat {n}}){\,:},$

यदि टेलर श्रृंखला की श्रृंखला गुणांक $f(x)$, निरंतर के साथ $x$, न्यूटन श्रृंखला के गुणांकों का मिलान करें ${\tilde {f}}(n)$, पूर्णांक के साथ $n$,

${\begin{aligned}f(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {x^{k}}{k!}},\\{\tilde {f}}(n)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}},\\F_{k}&=\partial _{x}^{k}f(0)=\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0),\end{aligned}}$

साथ $k$-वां आंशिक व्युत्पन्न $\partial _{x}^{k}f(0)$ पर $x=0$. कार्य $f$ और ${\tilde {f}}$ तथाकथित सामान्य-क्रम परिवर्तन के माध्यम से संबंधित हैं ${\mathcal {N}}[f]$ के अनुसार

${\begin{aligned}{\tilde {f}}(n)&={\mathcal {N}}_{x}[f(x)](n)\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}\int _{-\infty }^{0}\mathrm {d} x\,e^{x}\,f(x)\,(-x)^{-(n+1)}\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}{\mathcal {M}}_{-x}[e^{x}f(x)](-n),\end{aligned}}$

जिसे मेलिन परिवर्तन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ${\mathcal {M}}$, देखना जानकारी के लिए।

फर्मिअन्स

फ़र्मिअन वे कण हैं जो फ़र्मी-डिराक आँकड़ों को संतुष्ट करते हैं। अब हम फर्मिओनिक निर्माण और विनाश ऑपरेटर उत्पादों के सामान्य क्रम की जांच करेंगे।

एकल फर्मियन

एक एकल फर्मियन के लिए रुचि के दो संचालक होते हैं:

• ${\hat {f}}^{\dagger }$: फर्मियन का निर्माण संचालक।
• ${\hat {f}}$: फर्मियन का विनाश संचालिका।

ये एंटीकम्यूटेटर संबंधों को संतुष्ट करते हैं

$\left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1$

कहाँ $\left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA$ एंटीकम्यूटेटर को दर्शाता है। इन्हें इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है

${\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }=0$

${\hat {f}}\,{\hat {f}}=0$

${\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}.$

फर्मियोनिक निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के उत्पाद के सामान्य क्रम को परिभाषित करने के लिए हमें पड़ोसी ऑपरेटरों के बीच ट्रांसपोज़िशन (गणित) की संख्या को ध्यान में रखना चाहिए। हमें ऐसे प्रत्येक इंटरचेंज के लिए एक ऋण चिह्न मिलता है।

उदाहरण

1. हम फिर से सबसे सरल मामलों से शुरू करते हैं:

$:{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}$

यह अभिव्यक्ति पहले से ही सामान्य क्रम में है इसलिए कुछ भी नहीं बदला गया है। विपरीत स्थिति में, हम एक ऋण चिह्न प्रस्तुत करते हैं क्योंकि हमें दो ऑपरेटरों का क्रम बदलना होता है:

$:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}$

दिखाने के लिए इन्हें एंटीकम्युटेशन संबंधों के साथ जोड़ा जा सकता है

${\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}=1+:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:$

या

${\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }-:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:=1.$

यह समीकरण, जो उपरोक्त बोसोनिक मामले के समान रूप में है, का उपयोग विक के प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है।

2. किसी भी अधिक जटिल मामले का सामान्य क्रम शून्य देता है क्योंकि कम से कम एक सृजन या विनाश ऑपरेटर दो बार दिखाई देगा। उदाहरण के लिए:

$:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0$

एकाधिक फर्मियन

के लिए $N$ वहाँ विभिन्न फर्मियन हैं $2N$ ऑपरेटर:

• ${\hat {f}}_{i}^{\dagger }$: द $i^{th}$ फर्मियन का निर्माण संचालक।
• ${\hat {f}}_{i}$: द $i^{th}$ फर्मियन का विनाश संचालिका।

यहाँ $i=1,\ldots ,N$.

ये कम्युटेशन-विरोधी संबंधों को संतुष्ट करते हैं:

$\left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}$

कहाँ $i,j=1,\ldots ,N$ और $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा को दर्शाता है।

इन्हें इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

${\hat {f}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}^{\dagger }$

${\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}=-{\hat {f}}_{j}\,{\hat {f}}_{i}$

${\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=\delta _{ij}-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}.$

फ़र्मियन ऑपरेटरों के उत्पादों के सामान्य क्रम की गणना करते समय हमें अभिव्यक्ति को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए आवश्यक पड़ोसी ऑपरेटरों के ट्रांसपोज़िशन (गणित) की संख्या को ध्यान में रखना चाहिए। यह वैसा ही है जैसे हम निर्माण और संहार संचालकों को एंटीकम्यूटेशन का दिखावा करते हैं और फिर हम यह सुनिश्चित करने के लिए अभिव्यक्ति को पुन: व्यवस्थित करते हैं कि निर्माण संचालक बाईं ओर हैं और विनाश संचालक दाईं ओर हैं - हर समय एंटीकम्यूटेशन संबंधों को ध्यान में रखते हुए।

उदाहरण

1. दो अलग-अलग फर्मियन के लिए ($N=2$) हमारे पास है

$:{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}$

यहां अभिव्यक्ति पहले से ही सामान्य क्रम में है इसलिए कुछ भी नहीं बदलता है।

$:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}$

यहां हम एक ऋण चिह्न प्रस्तुत करते हैं क्योंकि हमने दो ऑपरेटरों के क्रम को आपस में बदल दिया है।

$:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}$

ध्यान दें कि बोसोनिक मामले के विपरीत, जिस क्रम में हम यहां ऑपरेटर लिखते हैं, वह मायने रखता है।

2. तीन अलग-अलग फर्मियन के लिए ($N=3$) हमारे पास है

$:{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$

ध्यान दें कि चूंकि (एंटीकम्यूटेशन संबंधों द्वारा) ${\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$ जिस क्रम में हम ऑपरेटर लिखते हैं वह इस मामले में मायने रखता है।

वैसे ही हमारे पास है

$:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$

$:{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}$

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में उपयोग

सृजन और विनाश संचालकों के सामान्य ऑर्डर किए गए उत्पाद का निर्वात अपेक्षा मूल्य शून्य है। इसका कारण यह है कि, निर्वात अवस्था को द्वारा निरूपित किया जाता है $|0\rangle$, सृजन और प्रलय संचालक संतुष्ट होते हैं

$\langle 0|{\hat {a}}^{\dagger }=0\qquad {\textrm {and}}\qquad {\hat {a}}|0\rangle =0$

(यहाँ ${\hat {a}}^{\dagger }$ और ${\hat {a}}$ सृजन और विनाश संचालक हैं (या तो बोसोनिक या फर्मियोनिक))।

होने देना ${\hat {O}}$ सृजन और विनाश संचालकों के एक गैर-रिक्त उत्पाद को निरूपित करें। हालाँकि इससे संतुष्टि हो सकती है

$\langle 0|{\hat {O}}|0\rangle \neq 0,$

हमारे पास है

$\langle 0|:{\hat {O}}:|0\rangle =0.$

क्वांटम मैकेनिकल हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) को परिभाषित करते समय सामान्य आदेशित ऑपरेटर विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। यदि किसी सिद्धांत का हैमिल्टनियन सामान्य क्रम में है तो जमीनी अवस्था ऊर्जा शून्य होगी: $\langle 0|{\hat {H}}|0\rangle =0$.

मुक्त फ़ील्ड

दो मुक्त फ़ील्ड φ और χ के साथ,

$:\phi (x)\chi (y):\,\,=\phi (x)\chi (y)-\langle 0|\phi (x)\chi (y)|0\rangle$

कहाँ $|0\rangle$ पुनः निर्वात अवस्था है। जैसे-जैसे y, x के करीब पहुंचता है, दाहिनी ओर के दोनों शब्दों में से प्रत्येक आमतौर पर सीमा में बदल जाता है, लेकिन उनके बीच के अंतर की एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा होती है। यह हमें :φ(x)χ(x) को परिभाषित करने की अनुमति देता है।

विक का प्रमेय

Main article: Wick's theorem

विक का प्रमेय समय के आदेशित उत्पाद के बीच संबंध बताता है $n$ फ़ील्ड और का योग सामान्य ऑर्डर किए गए उत्पाद। इसके लिए व्यक्त किया जा सकता है $n$ यहां तक ​​कि के रूप में भी

${\begin{aligned}T\left[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right]=&:\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n}):+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle :\phi (x_{3})\cdots \phi (x_{n}):\\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \langle 0|T\left[\phi (x_{3})\phi (x_{4})\right]|0\rangle :\phi (x_{5})\cdots \phi (x_{n}):\\\vdots \\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-1})\phi (x_{n})\right]|0\rangle \end{aligned}}$

जहां उन सभी अलग-अलग तरीकों का योग होता है जिनसे कोई फ़ील्ड जोड़ सकता है। के लिए परिणाम $n$ अजीब एक जैसा दिखता है अंतिम पंक्ति को छोड़कर जो पढ़ता है

$\sum _{\text{perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-2})\phi (x_{n-1})\right]|0\rangle \phi (x_{n}).$

यह प्रमेय ऑपरेटरों के समय-ऑर्डर किए गए उत्पादों के वैक्यूम अपेक्षा मूल्यों की गणना के लिए एक सरल विधि प्रदान करता है और सामान्य ऑर्डरिंग की शुरुआत के पीछे प्रेरणा थी।

वैकल्पिक परिभाषाएँ

सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा में सभी क्वांटम फ़ील्ड को दो भागों में विभाजित करना शामिल है (उदाहरण के लिए इवांस और स्टीयर 1996 देखें) $\phi _{i}(x)=\phi _{i}^{+}(x)+\phi _{i}^{-}(x)$. फ़ील्ड के उत्पाद में, फ़ील्ड को दो भागों में विभाजित किया जाता है और $\phi ^{+}(x)$ भागों को इस तरह से स्थानांतरित किया जाता है कि वे हमेशा सभी के बाईं ओर रहें $\phi ^{-}(x)$ भागों. लेख के शेष भाग में विचारित सामान्य मामले में, $\phi ^{+}(x)$ इसमें केवल निर्माण ऑपरेटर शामिल हैं, जबकि $\phi ^{-}(x)$ इसमें केवल विनाश संचालक शामिल हैं। चूँकि यह एक गणितीय पहचान है, कोई भी व्यक्ति किसी भी तरह से फ़ील्ड को विभाजित कर सकता है। हालाँकि, इसे एक उपयोगी प्रक्रिया बनाने के लिए यह मांग की जाती है कि फ़ील्ड के किसी भी संयोजन के सामान्य ऑर्डर किए गए उत्पाद का अपेक्षित मूल्य शून्य हो

$\langle :\phi _{1}(x_{1})\phi _{2}(x_{2})\ldots \phi _{n}(x_{n}):\rangle =0$

व्यावहारिक गणना के लिए यह भी महत्वपूर्ण है कि सभी कम्यूटेटर (फ़र्मोनिक क्षेत्रों के लिए एंटी-कम्यूटेटर) $\phi _{i}^{+}$ और $\phi _{j}^{-}$ सभी सी-नंबर हैं। इन दो गुणों का मतलब है कि हम विक के प्रमेय को सामान्य तरीके से लागू कर सकते हैं, फ़ील्ड के समय-क्रम वाले उत्पादों के अपेक्षित मूल्यों को सी-नंबर जोड़े, संकुचन के उत्पादों में बदल सकते हैं। इस सामान्यीकृत सेटिंग में, संकुचन को समय-ऑर्डर किए गए उत्पाद और फ़ील्ड की एक जोड़ी के सामान्य ऑर्डर किए गए उत्पाद के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।

सबसे सरल उदाहरण थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (इवांस और स्टीयर 1996) के संदर्भ में पाया जाता है। इस मामले में रुचि के अपेक्षित मूल्य सांख्यिकीय समूह हैं, सभी राज्यों पर भारित निशान $\exp(-\beta {\hat {H}})$. उदाहरण के लिए, एकल बोसोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए हमारे पास है कि संख्या ऑपरेटर का थर्मल अपेक्षा मूल्य केवल बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी | बोस-आइंस्टीन वितरण है

$\langle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\rangle ={\frac {\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}})}{\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}})}}={\frac {1}{e^{\beta \omega }-1}}$

तो यहाँ नंबर ऑपरेटर है ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ लेख के शेष भाग में प्रयुक्त सामान्य अर्थ में सामान्य क्रम दिया गया है, फिर भी इसके तापीय अपेक्षा मान शून्य नहीं हैं। विक के प्रमेय को लागू करना और इस थर्मल संदर्भ में सामान्य सामान्य क्रम के साथ गणना करना संभव है लेकिन कम्प्यूटेशनल रूप से अव्यावहारिक है। समाधान एक अलग क्रम को परिभाषित करना है, जैसे कि $\phi _{i}^{+}$ और $\phi _{j}^{-}$ मूल विनाश और सृजन संचालकों के रैखिक संयोजन हैं। संयोजनों को यह सुनिश्चित करने के लिए चुना जाता है कि सामान्य ऑर्डर किए गए उत्पादों का थर्मल अपेक्षा मूल्य हमेशा शून्य होता है, इसलिए चुना गया विभाजन तापमान पर निर्भर करेगा।

संदर्भ

• F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
• S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Volume I) Cambridge University Press (1995)
• T.S. Evans, D.A. Steer, Wick's theorem at finite temperature, Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268