आयाम में विषम यादृच्छिक चाल

चित्र 1 दिशात्मक कूद समय संभाव्यता घनत्व कार्यों (जेटी-पीडीएफ) के साथ आयाम में अर्ध-मार्कोवियन असतत प्रणाली का हिस्सा, जिसमें मृत्यु शब्द (राज्य आई से राज्य आई से जेटी-पीडीएफ) शामिल हैं। इस तरह के यादृच्छिक चलने का अनुकरण करने का तरीका यह है कि पहले समान वितरण से यादृच्छिक संख्या खींची जाए जो संक्रमण संभावनाओं के अनुसार प्रसार दिशा निर्धारित करती है, और फिर प्रासंगिक जेटी-पीडीएफ से यादृच्छिक समय निकालती है।

डायनेमिक्स (यांत्रिकी), संभाव्यता, भौतिकी, रसायन विज्ञान और संबंधित क्षेत्रों में, आयाम में विषम यादृच्छिक चलना कूदने के नियमों के साथ आयामी अंतराल में यादृच्छिक चलना है जो अंतराल में यादृच्छिक वॉकर के स्थान पर निर्भर करता है।

उदाहरण के लिए: कहें कि समय अलग है और अंतराल भी। अर्थात्, यादृच्छिक वॉकर हर बार बाएं या दाएं कदम पर कूदता है। संभावित विषम यादृच्छिक चाल प्रत्येक बार कदम में यादृच्छिक संख्या खींचती है जो स्थानीय कूद संभावनाओं को निर्धारित करती है और फिर यादृच्छिक संख्या जो वास्तविक छलांग दिशा निर्धारित करती है। विशेष रूप से, मान लें कि अंतराल में 9 साइटें हैं (1 से 9 तक लेबल की गई हैं), और साइटें (जिसे राज्य भी कहा जाता है) दूसरे से रैखिक रूप से जुड़ी हुई हैं (जहां किनारों की साइटें उनके आसन्न साइटों से और साथ जुड़ी हुई हैं)। प्रत्येक समय चरण में, सिक्का उछालते समय छलांग की संभावनाएं (वास्तविक स्थल से) निर्धारित की जाती हैं; सिर के लिए हम सेट करते हैं: बाएं कूदने की संभावना = 1/3, जहां पूंछ के लिए हम सेट करते हैं: बाएं कूदने की संभावना = 0.55। फिर, समान वितरण (निरंतर) से यादृच्छिक संख्या निकाली जाती है: जब यादृच्छिक संख्या बाईं ओर कूदने की संभावना से छोटी होती है, तो छलांग बाईं ओर होती है, अन्यथा, छलांग दाईं ओर होती है। आम तौर पर, ऐसी प्रणाली में, हम टी छलांग के बाद विभिन्न साइटों में से प्रत्येक में रहने की संभावना में रुचि रखते हैं, और इस संभावना की सीमा में जब टी बहुत बड़ी होती है, $t\rightarrow \infty$.

आम तौर पर ऐसी प्रक्रियाओं में समय भी निरंतर रूप से भिन्न हो सकता है और अंतराल भी या तो अलग या निरंतर होता है। इसके अलावा, अंतराल या तो सीमित है या बिना सीमा के है। असतत प्रणाली में, कनेक्शन आसन्न राज्यों के बीच होते हैं। मॉडल के आधार पर बुनियादी गतिशीलता या तो मार्कोव प्रक्रिया, अर्ध-मार्कोव प्रक्रिया|अर्ध-मार्कोवियन, या यहां तक ​​कि मार्कोवियन भी नहीं है। असतत प्रणालियों में, 1डी में विषम यादृच्छिक वॉक में जंप संभावनाएं होती हैं जो सिस्टम में स्थान पर निर्भर करती हैं, और/या अलग-अलग जंपिंग टाइम (जेटी) संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) जो सिस्टम में स्थान पर निर्भर करती हैं।

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1d में विषमांगी यादृच्छिक चालों के लिए सामान्य समाधान समीकरणों का पालन करते हैं (1)-(5), निम्नलिखित में प्रस्तुत किया गया है।

परिचय

अनुप्रयोगों में रैंडम वॉक

बेतरतीब सैर का उपयोग जीव विज्ञान में प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है, रेफरी नाम=डीआर>गोयल एन.डब्ल्यू. और नीरा डायन|रिक्टर-डायन एन., स्टोचैस्टिक मॉडल्स इन बायोलॉजी (अकादमिक प्रेस, न्यूयॉर्क) 1974; ISBN 978-0-12-287460-4. रसायन विज्ञान, और भौतिकी, रासायनिक गतिकी सहितऔर पॉलिमर गतिशीलता।व्यक्तिगत अणुओं में, व्यक्तिगत अणुओं का अध्ययन करते समय यादृच्छिक चालें दिखाई देती हैं, व्यक्तिगत चैनल, व्यक्तिगत जैव अणु, व्यक्तिगत एंजाइम, और क्वांटम डॉट्स. महत्वपूर्ण रूप से, पीडीएफ और विशेष सहसंबंध कार्य की गणना एकल अणु माप से आसानी से की जा सकती है, लेकिन सामूहिक माप से नहीं। इस अनूठी जानकारी का उपयोग कुछ गुणों को साझा करने वाले अलग-अलग यादृच्छिक वॉक मॉडल के बीच भेदभाव करने के लिए किया जा सकता है, और यह रैंडम वॉक मॉडल के विस्तृत सैद्धांतिक विश्लेषण की मांग करता है। इस संदर्भ में, एकल अणु डेटा में सूचना सामग्री का उपयोग चल रहे शोध का विषय है।

यादृच्छिक सैर का सूत्रीकरण

वास्तविक रैंडम वॉक स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण का पालन करता है, लेकिन इसकी संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) नियतात्मक समीकरण का पालन करता है। रैंडम वॉक के पीडीएफ (अंतरिक्ष में अलग) मास्टर समीकरण के संदर्भ में तैयार किए जा सकते हैंऔर मास्टर समीकरण#मार्कोवियन गतिज योजनाओं का सामान्यीकरण या (अंतरिक्ष और समय में निरंतर) फोककर-प्लैंक समीकरण और इसके सामान्यीकरण। निरंतर समय यादृच्छिक चलना,नवीनीकरण सिद्धांत, और पथ प्रतिनिधित्व भी रैंडम वॉक के उपयोगी सूत्र हैं। विभिन्न विवरणों के बीच संबंधों का नेटवर्क यादृच्छिक चालों के विश्लेषण में शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है। मनमाने ढंग से विषम वातावरण विश्लेषण को कठिन बनाते हैं, खासकर उच्च आयामों में।

एक आयाम में यादृच्छिक सैर के लिए परिणाम

सरल प्रणालियाँ

सरल प्रणालियों में ज्ञात महत्वपूर्ण परिणामों में शामिल हैं:

• एक सममित मार्कोवियन रैंडम वॉक में, राज्य पर कब्जा करने के लिए ग्रीन का फ़ंक्शन (जिसे वॉकर का पीडीएफ भी कहा जाता है) मैं स्थिति में गाऊसी है और इसमें भिन्नता है जो समय की तरह मापती है। यह अलग-अलग समय और स्थान वाली प्रणाली के लिए सही है, फिर भी निरंतर समय और स्थान वाली प्रणाली में भी। यह परिणाम बिना सीमा वाली प्रणालियों के लिए है।
• जब सिस्टम में साधारण पूर्वाग्रह होता है (यानी सिस्टम पर विशेष दिशा में निरंतर बल लगाया जाता है), तो यादृच्छिक वॉकर की उसकी प्रारंभिक स्थिति से औसत दूरी समय के साथ रैखिक होती है।
• लंबाई L के सीमित अंतराल में प्रारंभिक स्थिति से दूरी L तक पहुंचने का प्रयास करते समय, समय $\tau$ इस दूरी तक पहुँचने के लिए लंबाई L के साथ घातीय है: $\tau =e^{L}$. यहां, प्रसार रैखिक क्षमता के विरुद्ध है।

विषम प्रणालियाँ

ग्रीन के कार्य का समाधान $G_{ij}(t;L)$ 1डी में मनमाने ढंग से विषम वातावरण में अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चलने के लिए हाल ही में पथ प्रतिनिधित्व का उपयोग किया गया था। ( कार्यक्रम $G_{ij}(t;L)$ समय t पर स्थिति i पर कब्ज़ा करने के लिए पीडीएफ है, यह देखते हुए कि प्रक्रिया ठीक समय 0 पर स्थिति j पर शुरू हुई।) 1D में अर्ध-मार्कोवियन रैंडम वॉक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: रैंडम वॉक जिसकी गतिशीलता (संभवतः) स्थिति द्वारा वर्णित है - और दिशा-निर्भर जेटी-पीडीएफ, $\psi _{ij}(t)$, राज्यों i और i ± 1 के बीच संक्रमण के लिए, जो असंबद्ध प्रतीक्षा समय के स्टोकेस्टिक प्रक्षेपवक्र उत्पन्न करता है जो कि घातीय रूप से वितरित नहीं होते हैं। $\psi _{ij}(t)$ सामान्यीकरण शर्तों का पालन करता है (चित्र 1 देखें)

$\sum _{j}\int _{0}^{\infty }\psi _{ij}(t)=1.$

गतिशीलता में राज्य और दिशा-निर्भर अपरिवर्तनीय ट्रैपिंग जेटी-पीडीएफ भी शामिल हो सकते हैं, $\psi _{iI}(t)$, I=i+L के साथ। जब पर्यावरण विषम होता है $\psi _{ij}(t)$ मैं पर निर्भर करता हूँ उपरोक्त प्रक्रिया भी सतत समय यादृच्छिक चाल है और इसमें ग्रीन के फ़ंक्शन के लिए समकक्ष सामान्यीकृत मास्टर समीकरण प्रतिनिधित्व है।$G_{ij}(t)$.

1डी में विषम यादृच्छिक सैर के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ

पूरी तरह से विषम अर्ध-मार्कोव प्रक्रिया में, एल (> 1) राज्यों की अलग प्रणाली में अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चलना, ग्रीन का फ़ंक्शन लाप्लास स्पेस में पाया गया था (फ़ंक्शन के लाप्लास परिवर्तन को इसके साथ परिभाषित किया गया है, ${\bar {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$). यहां, सिस्टम को जंपिंग टाइम (आईटी) पीडीएफ के माध्यम से परिभाषित किया गया है: $\psi _{ij}(t)$ राज्य i को राज्य j से जोड़ना (छलांग राज्य i से है)। समाधान ग्रीन के फ़ंक्शन के पथ प्रतिनिधित्व पर आधारित है, जिसकी गणना सभी लंबाई के सभी पथ संभाव्यता घनत्व कार्यों को शामिल करते समय की जाती है:

${\bar {G}}_{ij}(s)={\bar {\Gamma }}_{ij}(s){\frac {{\bar {\Phi }}(s,{\tilde {L}})}{{\bar {\Phi }}(s,L)}}{\bar {\Psi }}_{i}(s).$

(1)

यहाँ,

${\bar {\Psi }}_{i}(s)=\sum _{j}{\bar {\Psi }}_{ij}(s)$

और

${\bar {\Psi }}_{ij}(s)={\frac {1-{\bar {\psi }}_{ij}(s)}{s}}.$

इसके अलावा, Eq में. (1),

${\bar {\Gamma }}_{ij}(s)=\prod _{c=0}^{i\mp 1}{\bar {\psi }}_{c\pm 1c}(s),$

(2)

और

${\bar {\Phi }}(s,L)=1+\sum _{c=1}^{[L/2]}(-1)^{c}{\bar {h}}(s,c;L)$

(3)

साथ

${\bar {h}}(s,i;L)=\prod _{c=1}^{i}\sum _{k_{c}=2+k_{c-1}}^{L-1-2(i-c)}{\bar {f}}_{k_{c}}(s)$

(4)

और

${\bar {f}}_{k_{j}}(s)={\bar {\psi }}_{k_{j}k_{j}+1}(s){\bar {\psi }}_{k_{j}+1k_{j}}(s).$

(5)

एल = 1 के लिए, ${\bar {\Phi }}(s;L)=1$. इस पेपर में, प्रतीक [एल/2], जैसा कि समीकरण में योग की ऊपरी सीमा में दिखाई देता है। (5) फ्लोर ऑपरेशन (शून्य की ओर गोल) है। अंत में, कारक $\Phi (s,{\tilde {L}})$ ईक में (1) का रूप भी वैसा ही है ${\bar {\Phi }}(s;L)$ eqs में. (3)-(5), फिर भी इसकी गणना जाली पर की जाती है ${\tilde {L}}$ . जाली ${\tilde {L}}$ इसका निर्माण मूल जाली से i और j और उनके बीच की स्थितियों को निकालकर और फिर प्राप्त दो टुकड़ों को जोड़कर किया जाता है। ऐसे मामलों के लिए जिनमें टुकड़ा एकल अवस्था है, इस टुकड़े को बाहर रखा गया है; अर्थात्, जाली ${\tilde {L}}$ लंबा टुकड़ा है. जब प्रत्येक टुकड़ा एकल अवस्था है, ${\bar {\Phi }}(s;{\tilde {L}})=1$.

समीकरण (1)-(5) एल-स्टेट श्रृंखला में किसी भी 1डी अर्ध-मार्कोवियन रैंडम वॉक के लिए पकड़ें, और 1डी में रैंडम वॉक के लिए स्पष्ट रूप में सबसे सामान्य समाधान बनाएं।

विषम यादृच्छिक चालों का पथ प्रतिनिधित्व

स्पष्ट रूप से, ${\bar {G}}_{ij}(s;L)$ Eqs में. (1)-(5) संगत निरंतर समय रैंडम वॉक समस्या और समतुल्य सामान्यीकृत मास्टर समीकरण को हल करता है। समीकरण (1)-(5) सक्षम विभिन्न पहलुओं से 1डी श्रृंखलाओं में अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चालों का विश्लेषण करना। समय डोमेन का व्युत्क्रमण ग्रीन का कार्य देता है, लेकिन क्षणों और सहसंबंध कार्यों की गणना Eqs से भी की जा सकती है। (1)-(5), और फिर समय डोमेन में उलटा (प्रासंगिक मात्राओं के लिए)। बंद-रूप ${\bar {G}}_{ij}(s;L)$ सामान्यीकृत मास्टर समीकरण का संख्यात्मक व्युत्क्रम अस्थिर होने पर भी इसकी उपयोगिता प्रकट होती है। इसके अलावा, का उपयोग कर ${\bar {G}}_{ij}(s;L)$ सरल विश्लेषणात्मक जोड़-तोड़ में, (i) पहला मार्ग समय पीडीएफ, (ii)-(iii) पहली घटना के लिए विशेष डब्ल्यूटी-पीडीएफ के साथ यादृच्छिक वॉक के लिए और गोलाकार एल-स्टेट 1 डी श्रृंखला में यादृच्छिक वॉक के लिए ग्रीन के कार्य, और (iv) कई तर्कों के साथ अंतरिक्ष और समय में संयुक्त पीडीएफ।

फिर भी, इस लेख में प्रयुक्त औपचारिकता ग्रीन के कार्य का पथ प्रतिनिधित्व है $G_{ij}(t)$, और यह प्रक्रिया पर अधिक जानकारी प्रदान करता है। पथ प्रतिनिधित्व इस प्रकार है:

$G_{ij}(t;L)=\int _{0}^{\infty }\Psi _{i}(t-\tau )W_{ij}(\tau ;L)\,d\tau ,$

(6)

के लिए अभिव्यक्ति $W_{ij}(t;L)$ समीकरण में (6) अनुसरण करता है,

$W_{ij}(\tau ;L)=\sum _{n=0}^{\infty }w_{ij}(\tau ,2n+\gamma _{ij};L).$

(7)

$W_{ij}(t;L)$ ठीक समय t पर स्थिति i तक पहुंचने का पीडीएफ है जब स्थिति j पर ठीक समय 0 पर शुरू होता है। यह समय में पथ पीडीएफ है जो सभी पथों से बनाया गया है $2n+\gamma _{ij}$ संक्रमण जो राज्यों j को i से जोड़ते हैं। दो अलग-अलग पथ प्रकार इसमें योगदान करते हैं $w_{ij}(\tau ,2n+\gamma _{ij};L)$: समान राज्यों से बने पथ अलग-अलग क्रम में और समान लंबाई के अलग-अलग पथों में दिखाई देते हैं $2n+\gamma _{ij}$ परिवर्तन. अनुवाद अपरिवर्तनीय श्रृंखलाओं के लिए पथ पीडीएफ मोनो-पीक हैं। अनुवाद के लिए पथ पीडीएफ अपरिवर्तनीय श्रृंखलाएं ज्यादातर अपने चरम के आसपास ग्रीन के कार्य में योगदान करती हैं, लेकिन माना जाता है कि यह व्यवहार विषम श्रृंखलाओं की भी विशेषता है।

हम यह भी ध्यान देते हैं कि निम्नलिखित संबंध कायम है, ${\bar {W}}_{ij}(s;L)={\bar {W}}_{1L}(s;L)/{\bar {W}}_{1{\tilde {L}}}(s;{\tilde {L}})$. इस संबंध का उपयोग करते हुए, हम हल करने पर ध्यान केंद्रित करते हैं ${\bar {w}}_{1L}(s;L)$.

पथ पीडीएफ

ग्रीन के फ़ंक्शन के साथ प्रदान की गई रैंडम वॉक पर पूरक जानकारी पथ पीडीएफ में निहित है। यह स्पष्ट है, जब ग्रीन के कार्यों के लिए सन्निकटन का निर्माण किया जाता है, तो किस पथ में पीडीएफ विश्लेषण में बिल्डिंग ब्लॉक होते हैं। इसके अलावा, ग्रीन के फ़ंक्शन के विश्लेषणात्मक गुण हैं केवल पथ पीडीएफ विश्लेषण में स्पष्ट किया गया। यहाँ, के लिए प्रत्यावर्तन संबंध प्रस्तुत किया गया है $w_{ij}(\tau ,2n+\gamma _{ij};L)$ एल के किसी निश्चित मान के लिए पथ पीडीएफ की लंबाई एन में। पथ पीडीएफ में पुनरावर्ती संबंध रैखिक है ${\bar {h}}(s,i;L)$Eq में s. (5) एन स्वतंत्र गुणांक के रूप में कार्य करता है, और क्रम का है [एल / 2]:

${\bar {w}}_{1L}(s,2n+\gamma _{1L};L)=\delta _{n0}{\bar {\Gamma }}_{1L}(s)+\sum _{c=1}^{[L/2]}(-1)^{c+1}{\bar {w}}_{1L}(s,2(n-c)+\gamma _{1L};L){\bar {h}}(s,c;L).$

(8)

समीकरण में गुणांकों के लिए सार्वभौमिक सूत्र को समझाने के लिए पुनरावर्तन संबंध का उपयोग किया जाता है। (1). प्रत्यावर्तन संबंध का समाधान az परिवर्तन लागू करके प्राप्त किया जाता है:

${\hat {\bar {w}}}_{1L}(s,2z+\gamma _{1L};L)=\sum _{n=0}^{\infty }{\bar {w}}_{1L}(s,2n+\gamma _{1L};L)z^{n}={\bar {\Gamma }}_{1L}(s){\big [}1-\sum _{c=1}^{[L/2]}(-1)^{c+1}{\bar {h}}(s,c;L)z^{i}{\big ]}^{-1}.$

(9)

सेटिंग $z=1$ समीकरण में (9) देता है ${\bar {W}}_{1L}(s;L)$. समीकरण का टेलर विस्तार। (9) देता है ${\bar {w}}_{1L}(s,2n+\gamma _{1L};L)$. परिणाम इस प्रकार है:

${\bar {w}}_{1L}(s,2n+\gamma _{1L};L)={\bar {\Gamma }}_{1L}(s)\sum _{k_{0}=a_{0,n}}^{n}{\bar {h}}(1,s;L)^{k_{0}}c_{k_{0}}(s;L).$

(10)

Eq में. (10) ${\bar {c}}_{k_{0}}(s;L)$ के लिए है $L=2,3$, और अन्यथा,

${\bar {c}}_{k_{0}}(s;L)=\prod _{c=0}^{[L/2]-1}\sum _{k_{c}=a_{c,n}}^{n-\sum _{j=0}^{c-1}k_{j}}{\bar {g}}_{k_{c}}(s;L),$

(11)

कहाँ

${\bar {g}}_{k_{i}}(s;L)={\binom {k_{i-1}}{k_{i}}}\left(-{\frac {{\bar {h}}(s,i+1;L)}{{\bar {h}}(s,i;L)}}\right)^{k_{i}}.$

(12)

आरंभिक संख्या $a_{i,n}s$ अनुसरण करना:

$a_{i,n}=\left[{\frac {n-\sum _{j=0}^{i-1}k_{j}+[L/2]-1-i}{[L/2]-i}}\right];i>0,$

(13)

और,

$a_{i,0}=\left[{\frac {n+[L/2]-1}{[L/2]}}\right].$

(14)

अन्य ग्रंथ सूची

• Zwanzig, R. (2001). नोइक्विलिब्रियम सांख्यिकीय यांत्रिकी. New York: OXFORD, University Press. ISBN 0-19-514018-4.
• Schuss, Zeev (2010). स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का सिद्धांत और अनुप्रयोग: एक विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण (अनुप्रयुक्त गणितीय विज्ञान). New York Dordrecht Heilderberg London: Springer. ISBN 978-1-4419-1605-1.
• Redner, S. (2001). प्रथम-मार्ग प्रक्रिया के लिए एक मार्गदर्शिका. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-65248-0.

श्रेणी:यादृच्छिक सैर के प्रकार श्रेणी:सांख्यिकीय यांत्रिकी