उचित सामान्यीकृत अपघटन

उचित सामान्यीकृत अपघटन (पीजीडी) सीमा मूल्य समस्याओं (बीवीपी) को हल करने के लिए एक पुनरावृत्तीय संख्यात्मक विधि है, यानी, सीमा स्थितियों के एक सेट द्वारा बाधित आंशिक अंतर समीकरण, जैसे पॉइसन समीकरण या लाप्लास समीकरण।

पीजीडी एल्गोरिदम क्रमिक संवर्धन द्वारा बीवीपी के समाधान के अनुमान की गणना करता है। इसका मतलब यह है कि, प्रत्येक पुनरावृत्ति में, एक नया घटक (या मोड) की गणना की जाती है और सन्निकटन में जोड़ा जाता है। सिद्धांत रूप में, जितने अधिक मोड प्राप्त होंगे, सैद्धांतिक समाधान के उतना ही करीब होगा। उचित ओर्थोगोनल अपघटन प्रमुख घटकों के विपरीत, पीजीडी मोड आवश्यक रूप से एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल नहीं हैं।

केवल सबसे प्रासंगिक पीजीडी मोड का चयन करके, समाधान का एक कम ऑर्डर मॉडल प्राप्त किया जाता है। इस वजह से, पीजीडी को एक आयामी कमी एल्गोरिथ्म माना जाता है।

विवरण

उचित सामान्यीकृत अपघटन एक विधि की विशेषता है

1. समस्या का एक परिवर्तनशील सूत्रीकरण,
2. परिमित तत्व विधि की शैली में किसी फ़ंक्शन के डोमेन का विवेकीकरण,
3. यह धारणा कि समाधान को एक अलग प्रतिनिधित्व के रूप में अनुमानित किया जा सकता है
4. समाधान खोजने के लिए एक संख्यात्मक लालची एल्गोरिदम।

विभिन्न सूत्रीकरण

पीजीडी में सबसे अधिक कार्यान्वित परिवर्तनीय सूत्रीकरण बुब्नोव-गैलेर्किन विधि है, हालाँकि अन्य कार्यान्वयन मौजूद हैं।

डोमेन विवेकीकरण

डोमेन का विवेकीकरण प्रक्रियाओं का एक अच्छी तरह से परिभाषित सेट है जो (ए) परिमित तत्व जाल का निर्माण, (बी) संदर्भ तत्वों पर आधार फ़ंक्शन की परिभाषा (जिसे आकार फ़ंक्शन भी कहा जाता है) और (सी) संदर्भ तत्वों की मैपिंग को कवर करता है जाल के तत्वों पर.

अलग प्रतिनिधित्व

पीजीडी मानता है कि एक (बहुआयामी) समस्या के समाधान को फॉर्म के एक अलग प्रतिनिधित्व के रूप में अनुमानित किया जा सकता है

$$\mathbf {u} \approx \mathbf {u} ^{N}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{d})=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {X_{1}} _{i}(x_{1})\cdot \mathbf {X_{2}} _{i}(x_{2})\cdots \mathbf {X_{d}} _{i}(x_{d}),$$

जहां जोड़ की संख्या एन और कार्यात्मक उत्पाद 'एक्स' है₁(एक्स₁), एक्स₂(एक्स₂), ..., एक्स_d(एक्स_d), प्रत्येक एक चर (या चर) पर निर्भर करता है, पहले से अज्ञात है।

लालची एल्गोरिदम

समस्या के कमजोर सूत्रीकरण के लिए एक लालची एल्गोरिदम, आमतौर पर निश्चित बिंदु एल्गोरिदम को लागू करके समाधान खोजा जाता है। एल्गोरिथम के प्रत्येक पुनरावृत्ति i के लिए, समाधान के एक मोड की गणना की जाती है। प्रत्येक मोड में कार्यात्मक उत्पादों 'एक्स' के संख्यात्मक मानों का एक सेट होता है₁(एक्स₁), ..., एक्स_d(एक्स_d), जो समाधान के सन्निकटन को समृद्ध करता है। एल्गोरिदम की लालची प्रकृति के कारण, 'सुधार' के बजाय 'समृद्ध' शब्द का उपयोग किया जाता है, क्योंकि कुछ तरीके वास्तव में दृष्टिकोण को खराब कर सकते हैं। एक निश्चित त्रुटि सीमा के नीचे समाधान का अनुमान प्राप्त करने के लिए आवश्यक गणना मोड की संख्या पुनरावृत्त एल्गोरिथ्म के रोक मानदंड पर निर्भर करती है।

विशेषताएँ

पीजीडी उच्च-आयामी समस्याओं को हल करने के लिए उपयुक्त है, क्योंकि यह शास्त्रीय दृष्टिकोण की सीमाओं को पार करता है। विशेष रूप से, पीजीडी आयामीता के अभिशाप से बचाता है, क्योंकि वियुग्मित समस्याओं को हल करना बहुआयामी समस्याओं को हल करने की तुलना में कम्प्यूटेशनल रूप से बहुत कम महंगा है।

इसलिए, पीजीडी समस्या के मापदंडों को अतिरिक्त निर्देशांक के रूप में सेट करके पैरामीट्रिक समस्याओं को बहुआयामी ढांचे में फिर से अनुकूलित करने में सक्षम बनाता है:

$$\mathbf {u} \approx \mathbf {u} ^{N}(x_{1},\ldots ,x_{d};k_{1},\ldots ,k_{p})=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {X_{1}} _{i}(x_{1})\cdots \mathbf {X_{d}} _{i}(x_{d})\cdot \mathbf {K_{1}} _{i}(k_{1})\cdots \mathbf {K_{p}} _{i}(k_{p}),$$

जहां कार्यात्मक उत्पादों की एक श्रृंखला K₁(क₁), क₂(क₂), ..., क_p(क_p), प्रत्येक पैरामीटर (या पैरामीटर) के आधार पर, समीकरण में शामिल किया गया है।

इस मामले में, समाधान के प्राप्त सन्निकटन को कम्प्यूटेशनल मेरे साथ चलें कहा जाता है: एक सामान्य मेटा-मॉडल जिसमें शामिल मापदंडों के हर संभावित मूल्य के लिए सभी विशेष समाधान शामिल होते हैं।

विरल सबस्पेस लर्निंग

स्पार्स सबस्पेस लर्निंग (एसएसएल) विधि पैरामीट्रिक मॉडल के संख्यात्मक समाधान का अनुमान लगाने के लिए पदानुक्रमित संयोजन के उपयोग का लाभ उठाती है। पारंपरिक प्रक्षेपण-आधारित कम ऑर्डर मॉडलिंग के संबंध में, कोलोकेशन का उपयोग पैरामीट्रिक स्पेस के विरल अनुकूली नमूने के आधार पर गैर-घुसपैठ दृष्टिकोण को सक्षम बनाता है। यह स्पष्ट रूप में मापदंडों से कार्यात्मक निर्भरता सीखने के साथ-साथ पैरामीट्रिक समाधान उपस्थान की निम्न-आयामी संरचना को पुनर्प्राप्त करने की अनुमति देता है। पैरामीट्रिक समाधान का एक विरल निम्न-रैंक अनुमानित टेंसर प्रतिनिधित्व एक वृद्धिशील रणनीति के माध्यम से बनाया जा सकता है जिसके लिए केवल एक नियतात्मक सॉल्वर के आउटपुट तक पहुंच की आवश्यकता होती है। गैर-घुसपैठ इस दृष्टिकोण को सीधे तौर पर गैर-रैखिकता या गैर-संबंधी कमजोर रूपों की विशेषता वाली चुनौतीपूर्ण समस्याओं पर लागू करती है।