एक्स्पोनेंशियल स्मूदिंग

एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग या एक्सपोनेंशियल मूविंग एवरेज (ईएमए) एक्सपोनेंशियल [[विंडो फ़ंक्शन]] का उपयोग करके समय श्रृंखला डेटा को स्मूथ करने के लिए अंगूठे की तकनीक का नियम है। जबकि सरल चलती औसत में पिछले अवलोकनों को समान रूप से भारित किया जाता है, समय के साथ तेजी से घटते वजन को निर्दिष्ट करने के लिए घातीय कार्यों का उपयोग किया जाता है। यह उपयोगकर्ता की पूर्व धारणाओं, जैसे कि मौसमी, के आधार पर कुछ निर्धारण करने के लिए आसानी से सीखी जाने वाली और आसानी से लागू की जाने वाली प्रक्रिया है। घातांकीय स्मूथिंग का उपयोग अक्सर समय-श्रृंखला डेटा के विश्लेषण के लिए किया जाता है।

एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग कई विंडो फ़ंक्शंस में से है जो आमतौर पर संकेत आगे बढ़ाना में स्मूथ डेटा के लिए लागू होता है, जो उच्च-आवृत्ति शोर को हटाने के लिए लो पास फिल्टर के रूप में कार्य करता है। यह विधि 19वीं सदी के कनवल्शन में शिमोन डेनिस पॉइसन द्वारा पुनरावर्ती घातीय विंडो फ़ंक्शंस के उपयोग के साथ-साथ कोलमोगोरोव-ज़ुरबेंको फ़िल्टर | कोलमोगोरोव और ज़ुर्बेंको द्वारा 1940 के दशक में अशांति के अपने अध्ययन से पुनरावर्ती चलती औसत के उपयोग से पहले की है।

कच्चे डेटा अनुक्रम को अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है $\{x_{t}\}$ समय पर शुरुआत $t=0$, और एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग एल्गोरिदम का आउटपुट आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है $\{s_{t}\}$, जिसे अगले मूल्य का सर्वोत्तम अनुमान माना जा सकता है $x$ होगा। जब समय पर अवलोकनों का क्रम प्रारंभ होता है $t=0$घातांकीय स्मूथिंग का सबसे सरल रूप सूत्रों द्वारा दिया गया है:

${\begin{aligned}s_{0}&=x_{0}\\s_{t}&=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1},\quad t>0\end{aligned}}$

कहाँ $\alpha$ चौरसाई कारक है, और $0<\alpha <1$.

बुनियादी (सरल) घातांकीय स्मूथिंग

एक्सपोनेंशियल विंडो फ़ंक्शन के उपयोग का श्रेय सबसे पहले शिमोन डेनिस पॉइसन को दिया जाता है 17वीं सदी की संख्यात्मक विश्लेषण तकनीक के विस्तार के रूप में, और बाद में 1940 के दशक में सिग्नल प्रोसेसिंग समुदाय द्वारा अपनाया गया। यहां, एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग एक्सपोनेंशियल, या पॉइसन, विंडो फ़ंक्शन का अनुप्रयोग है। घातांकीय स्मूथिंग का सुझाव पहली बार 1956 में रॉबर्ट गुडेल ब्राउन के पिछले काम के उद्धरण के बिना सांख्यिकीय साहित्य में दिया गया था, और फिर 1957 में चार्ल्स सी. होल्ट द्वारा इसका विस्तार किया गया। नीचे दिया गया सूत्रीकरण, जो आमतौर पर उपयोग किया जाता है, ब्राउन के लिए जिम्मेदार है और इसे ब्राउन की सरल घातांकीय स्मूथिंग के रूप में जाना जाता है। होल्ट, विंटर्स और ब्राउन की सभी विधियों को पुनरावर्ती फ़िल्टरिंग के सरल अनुप्रयोग के रूप में देखा जा सकता है, जो पहली बार 1940 के दशक में पाया गया थापरिमित आवेग प्रतिक्रिया (एफआईआर) फिल्टर को अनंत आवेग प्रतिक्रिया फिल्टर में परिवर्तित करने के लिए।

घातांकीय स्मूथिंग का सबसे सरल रूप सूत्र द्वारा दिया गया है:

$s_{t}=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1}=s_{t-1}+\alpha (x_{t}-s_{t-1}).$

कहाँ $\alpha$ चौरसाई कारक है, और $0\leq \alpha \leq 1$. दूसरे शब्दों में, सुचारु आँकड़ा $s_{t}$ वर्तमान अवलोकन का सरल भारित औसत है $x_{t}$ और पिछला सुचारू आँकड़ा $s_{t-1}$. सरल घातांकीय स्मूथिंग आसानी से लागू की जाती है, और जैसे ही दो अवलोकन उपलब्ध होते हैं, यह स्मूथ आँकड़ा तैयार करता है। स्मूथिंग फ़ैक्टर शब्द किस पर लागू होता है? $\alpha$ यहाँ कुछ मिथ्या नाम है, जैसे कि बड़े मूल्य $\alpha$ वास्तव में स्मूथिंग के स्तर को कम करें, और सीमित मामले में $\alpha$ = 1 आउटपुट श्रृंखला केवल वर्तमान अवलोकन है। के मान $\alpha$ के करीब का सहज प्रभाव कम होता है और डेटा में हाल के परिवर्तनों को अधिक महत्व देता है, जबकि मान $\alpha$ शून्य के करीब का प्रभाव अधिक सहज होता है और हाल के परिवर्तनों के प्रति कम प्रतिक्रियाशील होते हैं।

चुनने की कोई औपचारिक रूप से सही प्रक्रिया नहीं है $\alpha$. कभी-कभी सांख्यिकीविद् के निर्णय का उपयोग उचित कारक चुनने के लिए किया जाता है। वैकल्पिक रूप से, के मूल्य को अनुकूलित करने के लिए सांख्यिकीय तकनीक का उपयोग किया जा सकता है $\alpha$. उदाहरण के लिए, का मान निर्धारित करने के लिए न्यूनतम वर्गों का उपयोग किया जा सकता है $\alpha$ जिसके लिए मात्राओं का योग $(s_{t}-x_{t+1})^{2}$ न्यूनतम किया गया है. कुछ अन्य स्मूथिंग विधियों, जैसे कि सरल चलती औसत, के विपरीत, इस तकनीक को परिणाम देने से पहले किसी न्यूनतम संख्या में अवलोकन की आवश्यकता नहीं होती है। हालाँकि, व्यवहार में, अच्छा औसत तब तक हासिल नहीं किया जाएगा जब तक कि कई नमूनों का साथ औसत नहीं निकाला जाता; उदाहरण के लिए, स्थिर संकेत लगभग लगेगा $3/\alpha$ वास्तविक मूल्य के 95% तक पहुँचने के चरण। सूचना हानि के बिना मूल सिग्नल को सटीक रूप से पुनर्निर्माण करने के लिए, घातीय चलती औसत के सभी चरण भी उपलब्ध होने चाहिए, क्योंकि पुराने नमूनों का वजन तेजी से घटता है। यह साधारण चलती औसत के विपरीत है, जिसमें औसत के भीतर नमूनों के निरंतर भार के कारण कुछ नमूनों को जानकारी के अधिक नुकसान के बिना छोड़ा जा सकता है। यदि नमूनों की ज्ञात संख्या छूट जाएगी, तो नए नमूने और छोड़े जाने वाले सभी नमूनों को समान महत्व देकर, इसके लिए भारित औसत को भी समायोजित किया जा सकता है।

एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग के इस सरल रूप को मूविंग एवरेज#एक्सपोनेंशियल मूविंग एवरेज (ईडब्ल्यूएमए) के रूप में भी जाना जाता है। तकनीकी रूप से इसे बिना किसी स्थिर अवधि वाले ऑटोरेग्रेसिव इंटीग्रेटेड मूविंग एवरेज (ARIMA) (0,1,1) मॉडल के रूप में भी वर्गीकृत किया जा सकता है।

समय स्थिरांक

एक घातीय चलती औसत का समय स्थिरांक इकाई चरण फ़ंक्शन की सुचारु प्रतिक्रिया तक पहुंचने के लिए समय की मात्रा है $1-1/e\approx 63.2\,\%$ मूल संकेत का. इस समय स्थिरांक के बीच संबंध, $\tau$, और चौरसाई कारक, $\alpha$, सूत्र द्वारा दिया गया है:

$\alpha =1-e^{-\Delta T/\tau }$, इस प्रकार $\tau =-{\frac {\Delta T}{\ln(1-\alpha )}}$

कहाँ $\Delta T$ असतत समय कार्यान्वयन का नमूना समय अंतराल है। यदि नमूना लेने का समय समय स्थिरांक की तुलना में तेज़ है ($\Delta T\ll \tau$) तब

$\alpha \approx {\frac {\Delta T}{\tau }}$

प्रारंभिक सुचारू मान चुनना

ध्यान दें कि उपरोक्त परिभाषा में, $s_{0}$ को प्रारंभ किया जा रहा है $x_{0}$. क्योंकि घातांकीय स्मूथिंग के लिए आवश्यक है कि प्रत्येक चरण में हमारे पास पिछला पूर्वानुमान हो, यह स्पष्ट नहीं है कि विधि कैसे शुरू की जाए। हम मान सकते हैं कि प्रारंभिक पूर्वानुमान मांग के प्रारंभिक मूल्य के बराबर है; हालाँकि, इस दृष्टिकोण में गंभीर खामी है। घातीय स्मूथिंग पिछले अवलोकनों पर पर्याप्त भार डालती है, इसलिए मांग के प्रारंभिक मूल्य का प्रारंभिक पूर्वानुमानों पर अनुचित रूप से बड़ा प्रभाव पड़ेगा। प्रक्रिया को उचित संख्या में अवधि (10 या अधिक) के लिए विकसित करने की अनुमति देकर और प्रारंभिक पूर्वानुमान के रूप में उन अवधि के दौरान मांग के औसत का उपयोग करके इस समस्या को दूर किया जा सकता है। इस प्रारंभिक मान को सेट करने के कई अन्य तरीके हैं, लेकिन यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि मान जितना छोटा होगा $\alpha$, इस आरंभिक सहज मूल्य के चयन पर आपका पूर्वानुमान उतना ही अधिक संवेदनशील होगा $s_{0}$.

अनुकूलन

प्रत्येक घातीय स्मूथिंग विधि के लिए हमें स्मूथिंग पैरामीटर के लिए मान भी चुनना होगा। सरल घातीय स्मूथिंग के लिए, केवल स्मूथिंग पैरामीटर (α) होता है, लेकिन इसके बाद आने वाली विधियों के लिए आमतौर पर से अधिक स्मूथिंग पैरामीटर होते हैं।

ऐसे मामले हैं जहां स्मूथिंग मापदंडों को व्यक्तिपरक तरीके से चुना जा सकता है - पूर्वानुमानकर्ता पिछले अनुभव के आधार पर स्मूथिंग मापदंडों का मूल्य निर्दिष्ट करता है। हालाँकि, किसी भी घातीय स्मूथिंग विधि में शामिल अज्ञात मापदंडों के लिए मान प्राप्त करने का अधिक मजबूत और उद्देश्यपूर्ण तरीका देखे गए डेटा से उनका अनुमान लगाना है।

किसी भी घातांकीय स्मूथिंग विधि के लिए अज्ञात मापदंडों और प्रारंभिक मूल्यों का अनुमान भविष्यवाणी (एसएसई) की वर्ग त्रुटियों के योग को कम करके लगाया जा सकता है। त्रुटियों को इस प्रकार निर्दिष्ट किया गया है $e_{t}=y_{t}-{\hat {y}}_{t\mid t-1}$ के लिए $t=1,\ldots ,T$ (नमूना पूर्वानुमान त्रुटियों के भीतर कदम आगे)। इसलिए हम अज्ञात मापदंडों के मान और न्यूनतम करने वाले प्रारंभिक मान पाते हैं

${\text{SSE}}=\sum _{t=1}^{T}(y_{t}-{\hat {y}}_{t\mid t-1})^{2}=\sum _{t=1}^{T}e_{t}^{2}$

प्रतिगमन मामले के विपरीत (जहां हमारे पास सीधे प्रतिगमन गुणांक की गणना करने के लिए सूत्र हैं जो एसएसई को कम करते हैं) इसमें गैर-रेखीय न्यूनतमकरण समस्या शामिल है और हमें इसे निष्पादित करने के लिए गणितीय अनुकूलन उपकरण का उपयोग करने की आवश्यकता है।

घातांकीय नामकरण

कनवल्शन के दौरान एक्सपोनेंशियल विंडो फ़ंक्शन के उपयोग के कारण 'एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग' नाम दिया गया है। अब इसका श्रेय होल्ट, विंटर्स और ब्राउन को नहीं दिया जाता।

सरल घातांकीय स्मूथिंग के लिए परिभाषित समीकरण के सीधे प्रतिस्थापन द्वारा हम इसे पाते हैं

${\begin{aligned}s_{t}&=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1}\\[3pt]&=\alpha x_{t}+\alpha (1-\alpha )x_{t-1}+(1-\alpha )^{2}s_{t-2}\\[3pt]&=\alpha \left[x_{t}+(1-\alpha )x_{t-1}+(1-\alpha )^{2}x_{t-2}+(1-\alpha )^{3}x_{t-3}+\cdots +(1-\alpha )^{t-1}x_{1}\right]+(1-\alpha )^{t}x_{0}.\end{aligned}}$

दूसरे शब्दों में, जैसे-जैसे समय बीतता है, आंकड़े सुचारू होते जाते हैं $s_{t}$ पिछले अवलोकनों की अधिक से अधिक संख्या का भारित औसत बन जाता है $s_{t-1},\ldots ,s_{t-}$, और पिछले अवलोकनों को दिए गए भार ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के समानुपाती होते हैं

$1,(1-\alpha ),(1-\alpha )^{2},\ldots ,(1-\alpha )^{n},\ldots$

एक ज्यामितीय प्रगति घातीय फ़ंक्शन का असतत संस्करण है, इसलिए सांख्यिकी विद्या के अनुसार इस स्मूथिंग विधि का नाम यहीं से उत्पन्न हुआ है।

चलती औसत के साथ तुलना

एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग और मूविंग एवरेज में इनपुट डेटा के सापेक्ष अंतराल पेश करने के समान दोष हैं। हालाँकि इसे सममित कर्नेल, जैसे चलती औसत या गाऊसी के लिए परिणाम को विंडो की आधी लंबाई में स्थानांतरित करके ठीक किया जा सकता है, यह स्पष्ट नहीं है कि यह घातीय चौरसाई के लिए कितना उपयुक्त होगा। जब α = 2/(k + 1) होता है तो उन दोनों में पूर्वानुमान त्रुटि का वितरण लगभग समान होता है। वे इसमें भिन्न हैं कि घातीय स्मूथिंग सभी पिछले डेटा को ध्यान में रखती है, जबकि चलती औसत केवल k पिछले डेटा बिंदुओं को ध्यान में रखती है। कम्प्यूटेशनल रूप से बोलते हुए, वे इस मायने में भी भिन्न हैं कि चलती औसत के लिए पिछले k डेटा बिंदुओं, या लैग k + 1 पर डेटा बिंदु और सबसे हालिया पूर्वानुमान मूल्य को बनाए रखने की आवश्यकता होती है, जबकि घातांकीय स्मूथिंग के लिए केवल सबसे हालिया पूर्वानुमान मूल्य की आवश्यकता होती है रखा। सिग्नल प्रोसेसिंग साहित्य में, गैर-कारण (सममित) फिल्टर का उपयोग आम है, और घातीय विंडो फ़ंक्शन का व्यापक रूप से इस फैशन में उपयोग किया जाता है, लेकिन अलग शब्दावली का उपयोग किया जाता है: घातीय चौरसाई पहले क्रम के अनंत-आवेग के बराबर है प्रतिक्रिया (आईआईआर) फ़िल्टर और चलती औसत समान भार कारकों के साथ सीमित आवेग प्रतिक्रिया फ़िल्टर के बराबर है।

डबल एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग (होल्ट लीनियर)

जब डेटा में रुझान का अनुमान होता है तो सरल घातीय स्मूथिंग अच्छा काम नहीं करती है। ऐसी स्थितियों में, डबल एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग या सेकेंड-ऑर्डर एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग नाम से कई तरीके तैयार किए गए, जो एक्सपोनेंशियल फिल्टर का दो बार पुनरावर्ती अनुप्रयोग है, इस प्रकार इसे डबल एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग कहा जाता है। यह नामकरण चौगुनी घातांकीय स्मूथिंग के समान है, जो इसकी पुनरावृत्ति गहराई का भी संदर्भ देता है। डबल एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग के पीछे मूल विचार किसी प्रकार की प्रवृत्ति प्रदर्शित करने वाली श्रृंखला की संभावना को ध्यान में रखने के लिए शब्द पेश करना है। यह ढलान घटक स्वयं एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग के माध्यम से अद्यतन किया जाता है।

एक विधि, इस प्रकार काम करती है: फिर से, अवलोकनों के कच्चे डेटा अनुक्रम का प्रतिनिधित्व किया जाता है $x_{t}$, समय पर शुरुआत $t=0$. हम उपयोग करते हैं $s_{t}$ समय के लिए सुचारु मूल्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए $t$, और $b_{t}$ यह उस समय की प्रवृत्ति का हमारा सर्वोत्तम अनुमान है $t$. एल्गोरिथम का आउटपुट अब इस प्रकार लिखा गया है $F_{t+m}$, के मूल्य का अनुमान $x_{t+m}$ समय पर $m>0$ समय-समय पर कच्चे डेटा के आधार पर $t$. डबल एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग सूत्रों द्वारा दी गई है

${\begin{aligned}s_{0}&=x_{0}\\b_{0}&=x_{1}-x_{0}\\\end{aligned}}$

और के लिए $t>0$ द्वारा

${\begin{aligned}s_{t}&=\alpha x_{t}+(1-\alpha )(s_{t-1}+b_{t-1})\\b_{t}&=\beta (s_{t}-s_{t-1})+(1-\beta )b_{t-1}\\\end{aligned}}$

कहाँ $\alpha$ ($0\leq \alpha \leq 1$) डेटा स्मूथिंग कारक है, और $\beta$ ($0\leq \beta \leq 1$) प्रवृत्ति को सुचारू करने वाला कारक है।

परे का पूर्वानुमान लगाना $x_{t}$ सन्निकटन द्वारा दिया गया है:

$F_{t+m}=s_{t}+m\cdot b_{t}$

प्रारंभिक मान निर्धारित करना $b$ प्राथमिकता का मामला है. ऊपर सूचीबद्ध के अलावा विकल्प है ${\textstyle {\frac {x_{n}-x_{0}}{n}}}$ कुछ के लिए $n$.

ध्यान दें कि एफ₀ अपरिभाषित है (समय 0 का कोई अनुमान नहीं है), और परिभाषा एफ के अनुसार₁=एस₀+बी₀, जो अच्छी तरह से परिभाषित है, इस प्रकार आगे के मूल्यों का मूल्यांकन किया जा सकता है।

एक दूसरी विधि, जिसे या तो ब्राउन की लीनियर एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग (एलईएस) या ब्राउन की डबल एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग कहा जाता है, निम्नानुसार काम करती है।

${\begin{aligned}s'_{0}&=x_{0}\\s''_{0}&=x_{0}\\s'_{t}&=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s'_{t-1}\\s''_{t}&=\alpha s'_{t}+(1-\alpha )s''_{t-1}\\F_{t+m}&=a_{t}+mb_{t},\end{aligned}}$

जहाँ एक_t, समय टी और बी पर अनुमानित स्तर_t, समय पर अनुमानित रुझान हैं:

${\begin{aligned}a_{t}&=2s'_{t}-s''_{t}\\[5pt]b_{t}&={\frac {\alpha }{1-\alpha }}(s'_{t}-s''_{t}).\end{aligned}}$

ट्रिपल एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग (होल्ट विंटर्स)

ट्रिपल एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग तीन बार एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग लागू करती है, जिसका उपयोग आमतौर पर तब किया जाता है जब अध्ययन के तहत समय श्रृंखला से तीन उच्च आवृत्ति संकेतों को हटाया जाना होता है। मौसमी विभिन्न प्रकार की होती हैं: प्रकृति में 'गुणक' और 'योगात्मक', बहुत कुछ उसी तरह जैसे जोड़ और गुणा गणित में बुनियादी संक्रियाएँ हैं।

यदि दिसंबर के हर महीने में हम नवंबर की तुलना में 10,000 अधिक अपार्टमेंट बेचते हैं, तो मौसमी प्रकृति में योगात्मक है। हालाँकि, अगर हम सर्दियों के महीनों की तुलना में गर्मियों के महीनों में 10% अधिक अपार्टमेंट बेचते हैं, तो मौसमी प्रकृति में गुणक है। गुणनात्मक मौसमी को स्थिर कारक के रूप में दर्शाया जा सकता है, पूर्ण राशि के रूप में नहीं। ट्रिपल एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग का सुझाव पहली बार होल्ट के छात्र, पीटर विंटर्स ने 1960 में एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग पर 1940 के दशक की सिग्नल प्रोसेसिंग पुस्तक को पढ़ने के बाद दिया था।<रेफ नाम = विंटर्स 324-342 >Winters, P. R. (April 1960). "घातीय रूप से भारित मूविंग औसत द्वारा बिक्री का पूर्वानुमान". Management Science. 6 (3): 324–342. doi:10.1287/mnsc.6.3.324.</ref> होल्ट का नया विचार 1 से अधिक और 5 से कम की विषम संख्या में फ़िल्टरिंग को दोहराना था, जो पिछले युगों के विद्वानों के बीच लोकप्रिय था। जबकि पुनरावर्ती फ़िल्टरिंग का उपयोग किया गया था पहले, इसे हेडमार्ड अनुमान के साथ मेल खाने के लिए दो बार और चार बार लागू किया गया था, जबकि ट्रिपल एप्लिकेशन के लिए एकवचन कनवल्शन के दोगुने से अधिक संचालन की आवश्यकता थी। ट्रिपल एप्लिकेशन के उपयोग को सैद्धांतिक आधार पर आधारित तकनीक के बजाय सहज तकनीक का नियम माना जाता है और अक्सर चिकित्सकों द्वारा इस पर अत्यधिक जोर दिया गया है। - मान लीजिए हमारे पास प्रेक्षणों का क्रम है $x_{t},$ समय पर शुरुआत $t=0$ लंबाई के मौसमी परिवर्तन के चक्र के साथ $L$.

यह विधि डेटा के साथ-साथ मौसमी सूचकांकों के लिए प्रवृत्ति रेखा की गणना करती है जो कि लंबाई के चक्र में उस समय बिंदु के स्थान के आधार पर प्रवृत्ति रेखा में मूल्यों को भारित करती है। $L$.

होने देना $s_{t}$ समय के लिए स्थिर भाग के सुचारू मूल्य का प्रतिनिधित्व करें $t$, $b_{t}$ रैखिक प्रवृत्ति के सर्वोत्तम अनुमानों का क्रम है जो मौसमी परिवर्तनों पर आरोपित होते हैं, और $c_{t}$ मौसमी सुधार कारकों का क्रम है। हम अनुमान लगाना चाहते हैं $c_{t}$ हर समय $t$ख़िलाफ़ $L$ उस चक्र में जिसमें अवलोकन चलते हैं। सामान्य नियम के अनुसार, कम से कम दो पूर्ण सीज़न (या $2L$ मौसमी कारकों के सेट को आरंभ करने के लिए ऐतिहासिक डेटा की अवधि) की आवश्यकता होती है।

एल्गोरिथम का आउटपुट फिर से इस प्रकार लिखा गया है $F_{t+m}$, के मूल्य का अनुमान $x_{t+m}$ समय पर $t+m>0$ समय-समय पर कच्चे डेटा के आधार पर $t$. गुणक मौसमी के साथ ट्रिपल एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग सूत्रों द्वारा दी गई है

${\begin{aligned}s_{0}&=x_{0}\\[5pt]s_{t}&=\alpha {\frac {x_{t}}{c_{t-L}}}+(1-\alpha )(s_{t-1}+b_{t-1})\\[5pt]b_{t}&=\beta (s_{t}-s_{t-1})+(1-\beta )b_{t-1}\\[5pt]c_{t}&=\gamma {\frac {x_{t}}{s_{t}}}+(1-\gamma )c_{t-L}\\[5pt]F_{t+m}&=(s_{t}+mb_{t})c_{t-L+1+(m-1){\bmod {L}}},\end{aligned}}$

कहाँ $\alpha$ ($0\leq \alpha \leq 1$) डेटा स्मूथिंग कारक है, $\beta$ ($0\leq \beta \leq 1$) प्रवृत्ति को सुचारू करने वाला कारक है, और $\gamma$ ($0\leq \gamma \leq 1$) मौसमी परिवर्तन को सुचारू करने वाला कारक है।

प्रारंभिक रुझान अनुमान के लिए सामान्य सूत्र $b$ है:

${\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{L}}\left({\frac {x_{L+1}-x_{1}}{L}}+{\frac {x_{L+2}-x_{2}}{L}}+\cdots +{\frac {x_{L+L}-x_{L}}{L}}\right)\end{aligned}}$

मौसमी सूचकांकों के लिए प्रारंभिक अनुमान निर्धारित करना $c_{i}$ के लिए $i=1,2,\ldots ,L$ थोड़ा अधिक शामिल है. अगर $N$ आपके डेटा में मौजूद पूर्ण चक्रों की संख्या है, तो:

$c_{i}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {x_{L(j-1)+i}}{A_{j}}}\quad {\text{for }}i=1,2,\ldots ,L$

कहाँ

$A_{j}={\frac {\sum _{i=1}^{L}x_{L(j-1)+i}}{L}}\quad {\text{for }}j=1,2,\ldots ,N$

ध्यान दें कि $A_{j}$ का औसत मान है $x$ में $j^{\text{th}}$ आपके डेटा का चक्र.

योगात्मक मौसमीता के साथ ट्रिपल एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग किसके द्वारा दी जाती है:

${\begin{aligned}s_{0}&=x_{0}\\s_{t}&=\alpha (x_{t}-c_{t-L})+(1-\alpha )(s_{t-1}+b_{t-1})\\b_{t}&=\beta (s_{t}-s_{t-1})+(1-\beta )b_{t-1}\\c_{t}&=\gamma (x_{t}-s_{t-1}-b_{t-1})+(1-\gamma )c_{t-L}\\F_{t+m}&=s_{t}+mb_{t}+c_{t-L+1+(m-1){\bmod {L}}},\end{aligned}}$

सांख्यिकी पैकेज में कार्यान्वयन

• आर (प्रोग्रामिंग भाषा): सांख्यिकी पैकेज में होल्टविंटर्स फ़ंक्शन और ईटी पूर्वानुमान पैकेज में कार्य करते हैं (अधिक संपूर्ण कार्यान्वयन, जिसके परिणामस्वरूप आम तौर पर बेहतर प्रदर्शन होता है).
• पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा): स्टैटमॉडल पैकेज का होल्टविंटर्स मॉड्यूल सरल, डबल और ट्रिपल एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग की अनुमति देता है।
• आईबीएम एसपीएसएस में इसके सांख्यिकी और मॉडलर सांख्यिकीय पैकेजों के भीतर टाइम-सीरीज़ मॉडलिंग प्रक्रिया में सरल, सरल मौसमी, होल्ट का रैखिक रुझान, ब्राउन का रैखिक रुझान, डंप्ड ट्रेंड, विंटर्स एडिटिव और विंटर्स मल्टीप्लिकेटिव शामिल है। डिफ़ॉल्ट विशेषज्ञ मॉडलर सुविधा गैर-मौसमी और मौसमी पी, डी और क्यू मानों की श्रृंखला के साथ सभी सात घातीय स्मूथिंग मॉडल और एआरआईएमए मॉडल का मूल्यांकन करती है, और सबसे कम बायेसियन सूचना मानदंड आंकड़े वाले मॉडल का चयन करती है।
• था : tssmooth कमांड
• लिब्रे ऑफिस 5.2
• Microsoft Excel 2016

यह भी देखें

• ऑटोरेग्रेसिव मूविंग एवरेज मॉडल (एआरएमए)
• आँकड़ों में त्रुटियाँ एवं अवशेष
• औसत चलन
• निरंतर अंश

बाहरी संबंध

• Lecture notes on exponential smoothing (Robert Nau, Duke University)
• Data Smoothing by Jon McLoone, The Wolfram Demonstrations Project
• The Holt–Winters Approach to Exponential Smoothing: 50 Years Old and Going Strong by Paul Goodwin (2010) Foresight: The International Journal of Applied Forecasting
• Algorithms for Unevenly Spaced Time Series: Moving Averages and Other Rolling Operators by Andreas Eckner