सर्वोत्तम रैखिक निष्पक्ष प्रागुक्ति

आंकड़ों में, यादृच्छिक प्रभाव मॉडल के आकलन के लिए रैखिक मिश्रित मॉडल में सर्वोत्तम रैखिक निष्पक्ष भविष्यवाणी (बीएलयूपी) का उपयोग किया जाता है। BLUP की उत्पत्ति 1950 में चार्ल्स रॉय हेंडरसन द्वारा की गई थी, लेकिन ऐसा लगता है कि सर्वोत्तम रैखिक निष्पक्ष भविष्यवक्ता (या भविष्यवाणी) शब्द का उपयोग 1962 तक नहीं किया गया था। यादृच्छिक प्रभावों की सर्वोत्तम रैखिक निष्पक्ष भविष्यवाणियाँ (BLUPs) निश्चित प्रभावों के सर्वोत्तम रैखिक निष्पक्ष अनुमानों (BLUEs) (गॉस-मार्कोव प्रमेय देखें) के समान हैं। अंतर इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि निश्चित प्रभावों का अनुमान लगाने के बारे में नहीं बल्कि यादृच्छिक प्रभावों की भविष्यवाणी करने के बारे में बात करना पारंपरिक है, लेकिन दोनों शब्द अन्यथा समकक्ष हैं। (यह थोड़ा अजीब है क्योंकि यादृच्छिक प्रभावों को पहले ही महसूस किया जा चुका है; वे पहले से ही मौजूद हैं। भविष्यवाणी शब्द का उपयोग इसलिए हो सकता है क्योंकि पशु प्रजनन के क्षेत्र में जिसमें हेंडरसन ने काम किया था, यादृच्छिक प्रभाव आमतौर पर आनुवंशिक गुण थे, जो हो सकते हैं संतान की गुणवत्ता की भविष्यवाणी करने के लिए उपयोग किया जाता है (रॉबिन्सन)।पृष्ठ 28)). हालाँकि, निश्चित प्रभावों और यादृच्छिक प्रभावों के समीकरण अलग-अलग हैं।

व्यवहार में, अक्सर ऐसा होता है कि यादृच्छिक प्रभाव(शब्दों) से जुड़े पैरामीटर अज्ञात होते हैं; ये पैरामीटर यादृच्छिक प्रभावों और अवशेषों के भिन्नताएं हैं। आमतौर पर मापदंडों का अनुमान लगाया जाता है और भविष्यवक्ता में प्लग किया जाता है, जिससे अनुभवजन्य सर्वोत्तम रैखिक निष्पक्ष भविष्यवक्ता (ईबीएलयूपी) प्राप्त होता है। ध्यान दें कि केवल अनुमानित पैरामीटर को भविष्यवक्ता में प्लग करने से, अतिरिक्त परिवर्तनशीलता का पता नहीं चलता है, जिससे ईबीएलयूपी के लिए अत्यधिक आशावादी भविष्यवाणी भिन्नताएं उत्पन्न होती हैं।

सर्वोत्तम रैखिक निष्पक्ष भविष्यवाणियाँ रैखिक मिश्रित मॉडल में यादृच्छिक प्रभावों के अनुभवजन्य बेयस अनुमानों के समान हैं, सिवाय इसके कि बाद के मामले में, जहां वजन भिन्नता के घटकों के अज्ञात मूल्यों पर निर्भर करते हैं, इन अज्ञात भिन्नताओं को नमूना-आधारित अनुमानों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

उदाहरण

मान लीजिए कि प्रेक्षणों के लिए मॉडल {Y_j ; j = 1, ..., n} को इस प्रकार लिखा जाता है

$Y_{j}=\mu +x_{j}^{T}\beta +\xi _{j}+\varepsilon _{j},\,$

कहाँ $\mu$ सभी प्रेक्षणों का माध्य है $Y$, और ξ_jऔर ई_jअवलोकन जे के लिए यादृच्छिक प्रभाव और अवलोकन त्रुटि का प्रतिनिधित्व करें, और मान लें कि वे असंबंधित हैं और ज्ञात भिन्नताएं हैं σ_ξ^{2 और पी_ε2, क्रमशः। इसके अलावा, एक्स_jजेवें अवलोकन के लिए आश्रित और स्वतंत्र चर का एक वेक्टर है $\beta$ प्रतिगमन मापदंडों का एक वेक्टर है।}

केवें अवलोकन के लिए अवलोकन-त्रुटि-मुक्त मूल्य का अनुमान प्रदान करने की BLUP समस्या,

${\widetilde {Y}}_{k}=\mu +x_{k}^{T}\beta +\xi _{k},$

आवश्यकता के अनुसार तैयार किया जा सकता है कि एक रैखिक भविष्यवक्ता के गुणांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

${\widehat {Y}}_{k}=\sum _{j=1}^{n}c_{j,k}Y_{j},$

भविष्यवाणी त्रुटि के विचरण को कम करने के लिए चुना जाना चाहिए,

$V=\operatorname {Var} ({\widetilde {Y}}_{k}-{\widehat {Y}}_{k}),$

इस शर्त के अधीन कि भविष्यवक्ता निष्पक्ष है,

$\operatorname {E} ({\widetilde {Y}}_{k}-{\widehat {Y}}_{k})=0.$

BLUP बनाम नीला

सर्वश्रेष्ठ रैखिक निष्पक्ष अनुमानक के मामले के विपरीत, अनुमानित की जाने वाली मात्रा, ${\widetilde {Y}}_{k}$, इसमें न केवल एक यादृच्छिक तत्व का योगदान है बल्कि विशेष रूप से देखी गई मात्राओं में से एक का भी योगदान है $Y_{k}$ जो योगदान देता है ${\widehat {Y}}_{k}$, इसी यादृच्छिक तत्व का भी योगदान है।

BLUE के विपरीत, BLUP ज्ञात या अनुमानित भिन्नताओं को ध्यान में रखता है।

प्रजनन में BLUP का इतिहास

हेंडरसन ने सांख्यिकीय दृष्टिकोण से प्रजनन की खोज की। उनके काम ने सूचकांक चयन (एसआई) और अनुमानित प्रजनन मूल्य (ईबीवी) के विकास में सहायता की। इन सांख्यिकीय तरीकों ने संयुक्त राज्य अमेरिका में उपयोग की जाने वाली कृत्रिम गर्भाधान स्टड रैंकिंग को प्रभावित किया। ये शुरुआती सांख्यिकीय विधियां अब पशुधन प्रजनन में आम तौर पर प्रचलित बीएलयूपी के साथ भ्रमित हैं।

वास्तविक शब्द BLUP की उत्पत्ति कनाडा में गुएलफ विश्वविद्यालय में डैनियल सोरेंसन और ब्रायन कैनेडी के काम से हुई, जिसमें उन्होंने हेंडरसन के परिणामों को एक मॉडल तक बढ़ाया जिसमें चयन के कई चक्र शामिल हैं। इस मॉडल को गुएल्फ़ विश्वविद्यालय द्वारा डेयरी उद्योग में BLUP नाम से लोकप्रिय बनाया गया। विश्वविद्यालय द्वारा आगे के काम से पता चला कि ईबीवी और एसआई पर बीएलयूपी की श्रेष्ठता है जिसके कारण यह प्राथमिक आनुवंशिक भविष्यवक्ता बन गया है।.

इस प्रकार ऊपर लोकप्रिय बीएलयूपी मॉडल और सर्वोत्तम रैखिक निष्पक्ष भविष्यवाणी सांख्यिकीय पद्धति के बीच भ्रम है जो सामान्य उपयोग के लिए बहुत सैद्धांतिक था। यह मॉडल किसानों को कंप्यूटर पर उपयोग के लिए आपूर्ति किया गया था।

कनाडा में, सभी डेयरियाँ राष्ट्रीय स्तर पर रिपोर्ट करती हैं। कनाडा में आनुवंशिकी को साझा किया गया जिससे यह सबसे बड़ा आनुवंशिक पूल बन गया और इस प्रकार सुधार का स्रोत बन गया। इसने और BLUP होल्स्टीन फ़्रीज़ियन मवेशी मवेशियों की गुणवत्ता में तेजी से वृद्धि की।

यह भी देखें

• युद्ध
• न्यूनतम माध्य वर्ग त्रुटि

संदर्भ

• Henderson, C.R. (1975). "Best linear unbiased estimation and prediction under a selection model". Biometrics. 31 (2): 423–447. doi:10.2307/2529430. JSTOR 2529430. PMID 1174616.
• Liu, Xu-Qing; Rong, Jian-Ying; Liu, Xiu-Ying (2008). "Best linear unbiased prediction for linear combinations in general mixed linear models". Journal of Multivariate Analysis. 99 (8): 1503–1517. doi:10.1016/j.jmva.2008.01.004.