ट्रांसवर्स-फील्ड आइसिंग मॉडल

अनुप्रस्थ क्षेत्र में रहने वाला क्लासिकल आइसिंग मॉडल का एक क्वांटम संस्करण है। इसमें स्पिन प्रक्षेपण के एलाइनमेंट या एंटी एलाइनमेंट द्वारा निर्धारित निकटतम नेइबर अंतःक्रिया के साथ एक लैटिस है $x$ अक्ष पर सामान्य हानि हुए बिना $z$ अक्ष के साथ सीधा चुंबकीय क्षेत्र का झुकाव होता है जो दूसरे $x$ -अक्ष पर एक स्पिन दिशा का ऊर्जापूर्ण पूर्वाग्रह उत्पन्न करता है.

इस सेटअप की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि, क्वांटम अर्थ में स्पिन प्रक्षेपण $x$ अक्ष और स्पिन प्रक्षेपण के साथ $z$ अक्ष पर स्थित स्पिन प्रक्षेपण बाह्य मात्राएं नहीं बदलता है। अर्थात इन दोनों को एक साथ अवलोकन नहीं किया जा सकता है, इसका अर्थ है कि क्लासिकल सांख्यिकीय यांत्रिकी इस मॉडल का वर्णन नहीं कर सकता है और एक क्वांटम ट्रीटमेंट की आवश्यकता होती है।

विशेष रूप से, मॉडल में निम्नलिखित क्वांटम मिल्टनियन यांत्रिकी है,

$H=-J\left(\sum _{\langle i,j\rangle }Z_{i}Z_{j}+g\sum _{j}X_{j}\right)$

यहां, सबस्क्रिप्ट लैटिस साइटों और योग को संदर्भित करते हैं $\sum _{\langle i,j\rangle }$ निकटतम नेइबर साइटों के पेअर पर किया जाता है $i$ और $j$. $X_{j}$ और $Z_{j}$ स्पिन बीजगणित पाउली मैट्रिसेस के तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं इस प्रकार स्पिन 1/2 की स्थिति में संबंधित साइटों के स्पिन चर पर कार्य करता है। यदि वे एक ही साइट पर हैं तो वे एक-दूसरे के साथ आवागमन का विरोध करते हैं और यदि भिन्न -भिन्न साइटों पर होते है तो वे एक-दूसरे के साथ आवागमन करते हैं। $J$ ऊर्जा के आयामों वाला एक प्रीफ़ेक्टर है और $g$ एक अन्य युग्मन गुणांक है जो निकटतम नेइबर इंटरैक्शन की तुलना में बाहरी क्षेत्र की सापेक्ष स्ट्रेंथ निर्धारित करता है।

1डी अनुप्रस्थ क्षेत्र आइसिंग मॉडल के चरण

नीचे चर्चा एक आयामी स्थिति तक सीमित होती है जहां प्रत्येक लैटिस साइट एक दो-आयामी काम्प्लेक्स हिल्बर्ट स्थान है, अर्थात यह एक स्पिन 1/2 कण का प्रतिनिधित्व करती है। यहाँ सिम्पलिसिटी के लिए $X$ और $Z$ प्रत्येक के लिए सामान्यीकृत निर्धारक -1 के रूप में है। इस प्रकार मिल्टनियन के पास $\mathbb {Z} _{2}$ समरूपता का एक समूह है, जो Z दिशा में सभी स्पिन को फ्लिप करने की एकात्मक प्रक्रिया के अनुसार अपरिवर्तनीय होता है.यह सममिति रूपांतरण एकात्मक द्वारा दिया जाता है $\prod _{j}X_{j}$.

1डी मॉडल में दो अवस्थाओ को स्वीकार करता है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि क्या मूलभूत अवस्था विशिष्ट रूप से अध:पतन के स्थिति में एक मूलभूत स्टेट" के रूप में वर्णित में है जो मैक्रोस्कोपिक रूप से इनटैंगल स्थिति में नहीं है। इस प्रकार $\prod _{j}X_{j}$ उपरोक्त को स्पिन-फ्लिप समरूपता प्रेसर्व या संरक्षित करती है। $J$ का चिन्ह गतिशीलता को प्रभावित नहीं करता है। क्योंकि धनात्मक $J$ के साथ प्रणाली का मानचित्रित ऋणात्मक $J$ के साथ सिस्टम में हर दूसरी साइट $J$ के लिए $x_{j}$ जे के चारों ओर $\pi$ का घूर्णन करते हुए किया जा सकता है।

मॉडल को सभी युग्मन स्थिरांकों के लिए सटीक रूप से हल किया जा सकता है। चूँकि, ऑन-साइट स्पिन के संदर्भ में समाधान सामान्यता स्पिन चर के संदर्भ में स्पष्ट रूप से लिखने के लिए बहुत असुविधाजनक है। जॉर्डन-विग्नर परिवर्तन द्वारा परिभाषित फर्मिओनिक चर के संदर्भ में समाधान को स्पष्ट रूप से लिखना अधिक सुविधाजनक है, इस स्थिति में एक्ससिटेड स्टेट में एक सरल क्वासिपार्टिकल या क्वासिहोल विवरण होता है।

ऑर्डर्ड चरण

कब $|g|<1$, सिस्टम को आदेशित चरण में कहा जाता है। इस चरण में मूलभूत स्थिति स्पिन-फ्लिप समरूपता को तोड़ देती है। इस प्रकार, ज़मीनी स्थिति वास्तव में दो गुना ख़राब है। के लिए $J>0$ यह चरण लौहचुम्बकत्व क्रम को प्रदर्शित करता है, जबकि के लिए $J<0$ प्रतिलौहचुंबकत्व ऑर्डर मौजूद है।

बिल्कुल, अगर $|\psi _{1}\rangle$ तो, हैमिल्टनियन का एक मूलभूत राज्य है $|\psi _{2}\rangle \equiv \prod _{j}X_{j}|\psi _{1}\rangle \neq |\psi _{1}\rangle$ एक मूलभूत राज्य भी है, और साथ में भी $|\psi _{1}\rangle$ और $|\psi _{2}\rangle$ पतित भूमि राज्य स्थान का विस्तार करें। एक सरल उदाहरण के रूप में, जब $g=0$ और $J>0$, मूलभूत अवस्थाएँ हैं $|\ldots \uparrow \uparrow \uparrow \ldots \rangle$ और $|\ldots \downarrow \downarrow \downarrow \ldots \rangle$, यानी, सभी स्पिनों के साथ संरेखित $z$ एक्सिस।

यह एक गैप्ड चरण है, जिसका अर्थ है कि सबसे कम ऊर्जा एक्ससिटेड अवस्था(ओं) की ऊर्जा मूलभूत अवस्था की ऊर्जा से एक गैर-शून्य मात्रा (थर्मोडायनामिक सीमा में गैर-लुप्तप्राय) से अधिक है। विशेष रूप से, यह ऊर्जा अंतर है $2|J|(1-|g|)$.

डिसआर्डर चरण

इसके विपरीत, जब $|g|>1$कहा जाता है कि सिस्टम डिसआर्डर चरण में है। मूलभूत अवस्था स्पिन-फ्लिप समरूपता को बरकरार रखती है, और गैर-विक्षिप्त है। एक सरल उदाहरण के रूप में, जब $g$ अनंत है, मूलभूत अवस्था है $|\ldots \rightarrow \rightarrow \rightarrow \ldots \rangle$, जो कि स्पिन के साथ है $+x$ प्रत्येक साइट पर दिशा.

यह भी एक गैप्ड चरण है। ऊर्जा का अंतर है $2|J|(|g|-1)$

गैपलेस चरण

कब $|g|=1$, सिस्टम एक क्वांटम चरण संक्रमण से गुजरता है। इस मूल्य पर $g$, सिस्टम में अंतरहीन उत्तेजनाएं हैं और इसके कम-ऊर्जा व्यवहार को दो-आयामी आइसिंग अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत द्वारा वर्णित किया गया है। इस अनुरूप सिद्धांत का केंद्रीय प्रभार है $c=1/2$, और 1 से कम केंद्रीय चार्ज के साथ एकात्मक न्यूनतम मॉडल (भौतिकी) का सबसे सरल है। पहचान ऑपरेटर के अलावा, सिद्धांत में दो प्राथमिक क्षेत्र हैं, एक स्केलिंग आयामों के साथ $(1/16,1/16)$ और दूसरा स्केलिंग आयामों के साथ $(1/2,1/2)$.

जॉर्डन-विग्नर परिवर्तन

जॉर्डन-विग्नर ट्रांसफॉर्मेशन के रूप में ज्ञात अत्यधिक गैर-स्थानीय परिवर्तन का उपयोग करके, स्पिन चर को फर्मियोनिक चर के रूप में फिर से लिखना संभव है। साइट पर एक फर्मियन निर्माण ऑपरेटर $j$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $c_{j}^{\dagger }={\frac {1}{2}}(Z_{j}+iY_{j})\prod _{k<j}X_{k}$. फिर अनुप्रस्थ क्षेत्र इज़िंग हैमिल्टनियन (एक अनंत श्रृंखला मानते हुए और सीमा प्रभावों को अनदेखा करते हुए) को पूरी तरह से सृजन और विनाश ऑपरेटरों वाले स्थानीय द्विघात शब्दों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। <ब्लॉककोट>$H=-J\sum _{j}(c_{j}^{\dagger }c_{j+1}+c_{j+1}^{\dagger }c_{j}+c_{j}^{\dagger }c_{j+1}^{\dagger }+c_{j+1}c_{j}+2g(c_{j}^{\dagger }c_{j}-1/2))$यह हैमिल्टनियन कुल फर्मियन संख्या को संरक्षित करने में विफल रहता है और इससे संबंधित नहीं है $U(1)$ वैश्विक सतत समरूपता, की उपस्थिति के कारण $c_{j}^{\dagger }c_{j+1}^{\dagger }+c_{j+1}c_{j}$ अवधि। चूँकि , यह फर्मियन समता को संरक्षित करता है। अर्थात्, हैमिल्टनियन क्वांटम ऑपरेटर के साथ आवागमन करता है जो इंगित करता है कि फ़र्मियन की कुल संख्या सम है या विषम, और यह समता प्रणाली के समय के विकास के अनुसार नहीं बदलती है। हैमिल्टनियन गणितीय रूप से माध्य क्षेत्र बोगोलीउबोव-डी गेनेस औपचारिकता में एक सुपरकंडक्टर के समान है और इसे उसी मानक तरीके से पूरी तरह से समझा जा सकता है। सटीक उत्तेजना स्पेक्ट्रम और आइगेनवैल्यू को फूरियर द्वारा गति स्थान में परिवर्तित करके और हैमिल्टनियन को विकर्ण करके निर्धारित किया जा सकता है।

मेजराना फर्मियन के संदर्भ में $a_{j}=c_{j}^{\dagger }+c_{j}$ और $b_{j}=-i(c_{j}^{\dagger }-c_{j})$, हैमिल्टनियन और भी सरल रूप लेता है (एक योगात्मक स्थिरांक तक): <ब्लॉककोट>$H=i\sum _{j}J(a_{j+1}b_{j}+gb_{j}a_{j})$.

क्रेमर्स-वानियर डुअलिटी

पाउली मैट्रिसेस का एक गैर-स्थानीय मानचित्रण जिसे क्रेमर्स-वानियर डुअलिटी परिवर्तन के रूप में जाना जाता है, निम्नानुसार किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}{\tilde {X_{j}}}&=Z_{j}Z_{j+1}\\{\tilde {Z}}_{j}{\tilde {Z}}_{j+1}&=X_{j+1}\end{aligned}}$$

फिर, टिल्ड्स के साथ नए परिभाषित पाउली मैट्रिसेस के संदर्भ में, जो मूल पाउली मैट्रिसेस के समान बीजगणितीय संबंधों का पालन करते हैं, हैमिल्टनियन बस है $H=-Jg\sum _{j}({\tilde {Z}}_{j}{\tilde {Z}}_{j+1}+g^{-1}{\tilde {X}}_{j})$. यह इंगित करता है कि युग्मन पैरामीटर वाला मॉडल $g$ युग्मन पैरामीटर वाले मॉडल से दोहरा है $g^{-1}$, और आदेशित चरण और डिसआर्डर चरण के बीच द्वंद्व स्थापित करता है। ऊपर वर्णित मेजराना फर्मियन के संदर्भ में, यह द्वंद्व तुच्छ रीलेबलिंग में अधिक स्पष्ट रूप से प्रकट होता है $a_{j}\to b_{j},b_{j}\to a_{j+1}$.

ध्यान दें कि आइसिंग श्रृंखला की सीमाओं पर कुछ सूक्ष्म विचार हैं; इनके फलस्वरूप पतन और $\mathbb {Z} _{2}$ क्रमबद्ध और डिसआर्डर चरणों के समरूपता गुण क्रेमर्स-वानियर डुअलिटी के अनुसार बदल जाते हैं।

सामान्यीकरण

क्यू-स्टेट क्वांटम पॉट्स मॉडल और $Z_{q}$ क्वांटम घड़ी मॉडल लैटिस प्रणालियों के लिए अनुप्रस्थ क्षेत्र आइसिंग मॉडल का सामान्यीकरण है $q$ प्रति साइट स्थितियाँ। अनुप्रस्थ क्षेत्र आइसिंग मॉडल उस स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है जहां $q=2$ .

क्लासिकल आइसिंग मॉडल

क्वांटम अनुप्रस्थ क्षेत्र आइसिंग मॉडल में $d$ आयाम अनिसोट्रोपिक आइसिंग मॉडल के दोहरे हैं $d+1$ आयाम.