स्प्लाईन (गणित)

For the drafting tool, see Flat spline.

1/3 और 2/3 पर सिंगल नॉट सी के साथ मिलने वाले तीन घन बहुपदों की एक पट्टी स्थापित करते हैं² निरंतरता। अंतराल के दोनों सिरों पर ट्रिपल समुद्री मील सुनिश्चित करते हैं कि वक्र अंत बिंदुओं को प्रक्षेपित करता है

गणित में, एक तख़्ता एक विशेष कार्य (गणित) है जिसे बहुपदों द्वारा टुकड़े-टुकड़े परिभाषित किया जाता है।

प्रक्षेप की समस्याओं में, तख़्ता प्रक्षेप को अक्सर बहुपद इंटरपोलेशन के लिए पसंद किया जाता है क्योंकि यह समान परिणाम देता है, यहां तक ​​कि बहुपद बहुपद की कम डिग्री का उपयोग करते समय, उच्च डिग्री के लिए रनगे की घटना से परहेज करते हुए।

कंप्यूटर एडेड डिज़ाइन और कंप्यूटर ग्राफिक्स के कंप्यूटर विज्ञान उपक्षेत्रों में, शब्द स्पलाइन अधिक बार एक टुकड़ावार बहुपद (पैरामीट्रिक समीकरण) वक्र को संदर्भित करता है। इन उप-क्षेत्रों में स्प्लाइन उनके निर्माण की सादगी, उनकी आसानी और मूल्यांकन की सटीकता, और वक्र फिटिंग और इंटरैक्टिव वक्र डिज़ाइन के माध्यम से अनुमानित जटिल आकृतियों की क्षमता के कारण लोकप्रिय वक्र हैं।

स्‍लाइन शब्‍द लचीले सपाट तख़्ता उपकरणों से आता है जिसका उपयोग शिपबिल्डर्स द्वारा किया जाता है और चिकने आकार बनाने के लिए तकनीकी आरेखण।

परिचय

स्पलाइन शब्द का उपयोग कार्यों की एक विस्तृत श्रेणी को संदर्भित करने के लिए किया जाता है जिनका उपयोग उन अनुप्रयोगों में किया जाता है जिनके लिए डेटा इंटरपोलेशन और/या स्मूथिंग की आवश्यकता होती है। डेटा या तो एक आयामी या बहु आयामी हो सकता है। इंटरपोलेशन के लिए स्पलाइन फ़ंक्शंस आमतौर पर इंटरपोलेशन बाधाओं के अधीन खुरदरापन के उपयुक्त उपायों (उदाहरण के लिए इंटीग्रल स्क्वायर वक्रता) के मिनिमाइज़र के रूप में निर्धारित किए जाते हैं। स्मूथिंग स्प्लिन्स को इंटरपोलेशन स्प्लिन्स के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है जहां फ़ंक्शन देखे गए डेटा और खुरदरापन माप पर औसत चुकता सन्निकटन त्रुटि के भारित संयोजन को कम करने के लिए निर्धारित किए जाते हैं। खुरदुरेपन की माप की कई अर्थपूर्ण परिभाषाओं के लिए, तख़्ता फलन प्रकृति में परिमित आयामी पाए जाते हैं, जो संगणना और प्रतिनिधित्व में उनकी उपयोगिता का प्राथमिक कारण है। इस खंड के बाकी हिस्सों के लिए, हम पूरी तरह से एक आयामी, बहुपद splines पर ध्यान केंद्रित करते हैं और इस प्रतिबंधित अर्थ में शब्द पट्टी का उपयोग करते हैं।

परिभाषा

हम अपनी चर्चा को एक चर तक सीमित करके शुरू करते हैं। इस मामले में, एक तख़्ता एक टुकड़ा-वार बहुपद फलन (गणित) है। यह फ़ंक्शन, इसे एस कहते हैं, अंतराल [ए, बी] से मान लेते हैं और उन्हें मैप करते हैं $\mathbb {R}$, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय,

$S:[a,b]\to \mathbb {R} .$

हम चाहते हैं कि S को टुकड़े-टुकड़े परिभाषित किया जाए। इसे पूरा करने के लिए, अंतराल [ए, बी] को के आदेश से कवर किया जाना चाहिए, डिजॉइंट उपअंतराल सेट करता है,

$[t_{i},t_{i+1}]{\mbox{ , }}i=0,\ldots ,k-1$

$[a,b]=[t_{0},t_{1})\cup [t_{1},t_{2})\cup \cdots \cup [t_{k-2},t_{k-1})\cup [t_{k-1},t_{k})\cup [t_{k}]$

$a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b$

[a,b] के इन k टुकड़ों में से प्रत्येक पर, हम एक बहुपद को परिभाषित करना चाहते हैं, इसे P कहते हैं_i

$P_{i}:[t_{i},t_{i+1}]\to \mathbb {R}$.

[a,b] के iवें उपअंतराल पर, S को P द्वारा परिभाषित किया गया है_i,

$S(t)=P_{0}(t){\mbox{ , }}t_{0}\leq t<t_{1},$

$S(t)=P_{1}(t){\mbox{ , }}t_{1}\leq t<t_{2},$

$\vdots$

$S(t)=P_{k-1}(t){\mbox{ , }}t_{k-1}\leq t\leq t_{k}.$

दिए गए k+1 अंक t_i गांठें कहलाती हैं। सदिश ${\mathbf {t} }=(t_{0},\dots ,t_{k})$ स्पलाइन के लिए नॉट वेक्टर कहा जाता है। यदि गांठों को अंतराल [a,b] में समान रूप से वितरित किया जाता है, तो हम कहते हैं कि तख़्ता एक समान है, अन्यथा हम कहते हैं कि यह गैर-समान है।

यदि बहुपद के टुकड़े P_i प्रत्येक के पास अधिकतम n डिग्री है, तो तख़्ता को 'डिग्री' का कहा जाता है $\leq n$ (या का आदेश एन+1).

यदि $S\in C^{r_{i}}$ टी के पड़ोस में_i, तो तख़्ता कहा जाता है चिकना कार्य (कम से कम) $C^{r_{i}}$ टी पर_i. वह है, टी पर_i दो बहुपद टुकड़े पी_i-1 और पी_i आम साझा करें क्रम 0 के व्युत्पन्न से व्युत्पन्न मान (फ़ंक्शन मान) ऑर्डर आर के व्युत्पन्न के माध्यम से_i (दूसरे शब्दों में, दो आसन्न बहुपद टुकड़े अधिकतम n - r की चिकनाई के नुकसान से जुड़ते हैं_i)

$P_{i-1}^{(0)}(t)=P_{i}^{(0)}(t)$

$P_{i-1}^{(1)}(t)=P_{i}^{(1)}(t)$

$\vdots$

$P_{i-1}^{(r_{i})}(t)=P_{i}^{(r_{i})}(t)$.

एक सदिश ${\mathbf {r} }=(r_{1},\dots ,r_{k-1})$ जैसे कि तख़्ता में चिकनाई हो $C^{r_{i}}$ टी पर_i के लिये $i=1,\ldots ,k-1$ तख़्ता के लिए एक चिकनाई वेक्टर कहा जाता है।

एक गाँठ वेक्टर दिया ${\mathbf {t} }$, एक डिग्री n, और एक चिकनाई वेक्टर ${\mathbf {r} }$ के लिये ${\mathbf {t} }$, कोई डिग्री के सभी विभाजनों के सेट पर विचार कर सकता है $\leq n$ गाँठ सदिश होना

${\mathbf {t} }$ और चिकनाई वेक्टर ${\mathbf {r} }$. दो कार्यों को जोड़ने (बिंदुवार जोड़) और कार्यों के वास्तविक गुणकों को लेने के संचालन से लैस, यह सेट एक वास्तविक वेक्टर स्थान बन जाता है। यह तख़्ता स्थान आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है $S_{n}^{\mathbf {r} }({\mathbf {t} })$.

बहुपद के गणितीय अध्ययन में इस प्रश्न को विभाजित किया गया है कि क्या होता है जब दो गांठें होती हैं, टी कहो_i और टी_i+1, एक साथ चले गए हैं एक आसान जवाब है। बहुपद टुकड़ा पी_i(टी) गायब हो जाता है, और टुकड़े पी_i−1(टी) और पी_i+1(टी) के लिए निरंतरता घाटे के योग के साथ जुड़ें टी_i और टी_i+1. वह है,

$S(t)\in C^{n-j_{i}-j_{i+1}}[t_{i}=t_{i+1}],$ कहाँ पे $j_{i}=n-r_{i}$

इससे नॉट वेक्टर की अधिक सामान्य समझ पैदा होती है। किसी भी बिंदु पर निरंतरता हानि का परिणाम माना जा सकता है उस बिंदु पर स्थित कई समुद्री मील, और एक तख़्ता प्रकार पूरी तरह से हो सकता है इसकी डिग्री 'एन' और इसकी विस्तारित गाँठ वेक्टर द्वारा विशेषता है

$(t_{0},t_{1},\cdots ,t_{1},t_{2},\cdots ,t_{2},t_{3},\cdots ,t_{k-2},t_{k-1},\cdots ,t_{k-1},t_{k})$

जहां टी_i दोहराया जाता है जे_i बार के लिये $i=1,\dots ,k-1$.

अंतराल [ए, बी] पर एक पैरामीट्रिक वक्र

$G(t)=(X(t),Y(t)){\mbox{ , }}t\in [a,b]$

यदि X और Y दोनों स्‍लाइन फंक्‍शन हैं तो स्‍पलाइन कर्व है उस अंतराल पर समान विस्तारित गाँठ वाले वैक्टर के साथ समान डिग्री।

उदाहरण

मान लीजिए अंतराल [ए, बी] [0,3] और उप-अंतराल है [0,1], [1,2], और [2,3] हैं। मान लीजिए कि बहुपद टुकड़े हैं डिग्री 2 का होना, और [0,1] और [1,2] पर टुकड़े मूल्य और पहले व्युत्पन्न में शामिल होना चाहिए (टी = 1 पर) जबकि [1,2] और [2,3] के टुकड़े केवल मूल्य में जुड़ते हैं (टी = 2 पर)। यह एक प्रकार की तख़्ता S(t) को परिभाषित करेगा जिसके लिए

$S(t)=P_{0}(t)=-1+4t-t^{2}{\mbox{ , }}0\leq t<1$

$S(t)=P_{1}(t)=2t{\mbox{ , }}1\leq t<2$

$S(t)=P_{2}(t)=2-t+t^{2}{\mbox{ , }}2\leq t\leq 3$

उस प्रकार का सदस्य होगा, और भी

$S(t)=P_{0}(t)=-2-2t^{2}{\mbox{ , }}0\leq t<1$

$S(t)=P_{1}(t)=1-6t+t^{2}{\mbox{ , }}1\leq t<2$

$S(t)=P_{2}(t)=-1+t-2t^{2}{\mbox{ , }}2\leq t\leq 3$

उस प्रकार के सदस्य होंगे। (ध्यान दें: जबकि बहुपद का टुकड़ा 2t द्विघात नहीं है, फिर भी परिणाम को द्विघात पट्टी कहा जाता है। यह दर्शाता है कि एक पट्टी की डिग्री इसके बहुपद भागों की अधिकतम डिग्री है।) इस प्रकार की पट्टी के लिए विस्तारित गाँठ वेक्टर (0, 1, 2, 2, 3) होगा।

सरलतम स्पलाइन की डिग्री 0 होती है। इसे समारोह की ओर कदम बढ़ाएं भी कहा जाता है। अगली सबसे सरल स्‍लाइन की डिग्री 1 है। इसे 'लीनियर स्‍लाइन' भी कहा जाता है। विमान में एक बंद रैखिक पट्टी (यानी, पहली गाँठ और आखिरी समान हैं) सिर्फ एक बहुभुज है।

एक सामान्य तख़्ता निरंतरता सी के साथ डिग्री 3 का 'प्राकृतिक घन तख़्ता' है^{2</उप>। प्राकृतिक शब्द का अर्थ है कि दूसरा डेरिवेटिव तख़्ता बहुपद इंटरपोलेशन के अंतराल के अंत बिंदुओं पर शून्य के बराबर सेट होते हैं}

$S''(a)\,=S''(b)=0.$

यह तख़्ता को अंतराल के बाहर एक सीधी रेखा होने के लिए मजबूर करता है, जबकि इसकी चिकनाई को बाधित नहीं करता है।

प्राकृतिक क्यूबिक स्प्लिन की गणना के लिए एल्गोरिद्म

क्यूबिक स्प्लाइन फॉर्म के होते हैं ${S}_{j}\left(x\right)=a_{j}+b_{j}\left(x-x_{j}\right)+c_{j}{\left(x-x_{j}\right)}^{2}+d_{j}{\left(x-x_{j}\right)}^{3}$
दिए गए निर्देशांक का सेट $C=\left[\left({x}_{0},{y}_{0}\right),\left({x}_{1},{y}_{1}\right),....,\left({x}_{n},{y}_{n}\right)\right]$ हम का सेट खोजना चाहते हैं $n\,$ splines ${S}_{i}\left(x\right)$ के लिये $i=0,\ldots ,n-1.$ इन्हें संतुष्ट करना चाहिए:

• $S_{i}\left(x_{i}\right)=y_{i}=S_{i-1}\left(x_{i}\right),i=1,\ldots ,n-1.$
• $S_{0}\left(x_{0}\right)=y_{0}.$
• $S_{n-1}\left(x_{n}\right)=y_{n}.$
• ${S'}_{i}\left(x_{i}\right)={S'}_{i-1}\left(x_{i}\right),i=1,\ldots ,n-1.$
• ${S''}_{i}\left(x_{i}\right)={S''}_{i-1}\left(x_{i}\right),i=1,\ldots ,n-1.$
• ${S''}_{0}\left(x_{0}\right)={S''}_{n-1}\left(x_{n}\right)=0$.

आइए हम एक क्यूबिक स्पलाइन परिभाषित करें $S\,$ 5-टपल के रूप में $(a,b,c,d,x_{t})\,$ कहाँ पे $a,b,c\,$ तथा $d\,$ पहले दिखाए गए फॉर्म में गुणांक के अनुरूप और $x_{t}\,$ के बराबर है $x_{j}.\,$ नेचुरल क्यूबिक स्प्लाइन कंप्यूटिंग के लिए एल्गोरिद्म:
इनपुट: निर्देशांक का सेट $C\,$, साथ $\left|C\right|=n+1$
आउटपुट: सेट स्प्लाइन जो n 5-ट्यूपल्स से बना है।

1. आकार n + 1 और के लिए एक नया सरणी बनाएँ $i=0,\ldots ,n$ समूह $a_{i}=y_{i}\,$
2. n आकार की नई सरणियाँ b और d बनाएँ।
3. आकार n और के लिए नया सरणी h बनाएँ $i=0,\ldots ,n-1$ समूह $h_{i}=x_{i+1}-x_{i}\,$
4. आकार n और के लिए नया सरणी α बनाएँ $i=1,\ldots ,n-1$ समूह ${\alpha }_{i}={\frac {3}{{h}_{i}}}\left({a}_{i+1}-{a}_{i}\right)-{\frac {3}{{h}_{i-1}}}\left({a}_{i}-{a}_{i-1}\right)$.
5. नई सरणियाँ c, l, μ, और z प्रत्येक आकार बनाएँ $n+1\,$.
6. समूह $l_{0}=1,{\mu }_{0}=z_{0}=0\,$
7. के लिये $i=1,\ldots ,n-1\,$
   1. समूह ${l}_{i}=2\left({x}_{i+1}-{x}_{i-1}\right)-{h}_{i-1}{\mu }_{i-1}$.
   2. समूह ${\mu }_{i}={\frac {{h}_{i}}{{l}_{i}}}$.
   3. समूह ${z}_{i}={\frac {{\alpha }_{i}-{h}_{i-1}{z}_{i-1}}{{l}_{i}}}$.
8. समूह $l_{n}=1;z_{n}=c_{n}=0.\,$
9. के लिये $j=n-1,n-2,\ldots ,0$
   1. समूह $c_{j}=z_{j}-{\mu }_{j}c_{j+1}\,$
   2. समूह $b_{j}={\frac {{a}_{j+1}-{a}_{j}}{{h}_{j}}}-{\frac {{h}_{j}\left({c}_{j+1}+2{c}_{j}\right)}{3}}$
   3. समूह $d_{j}={\frac {{c}_{j+1}-{c}_{j}}{3{h}_{j}}}$
10. नया सेट स्प्लाइन बनाएं और इसे आउटपुट_सेट कहें। इसे n splines S से आबाद करें।
11. के लिये $i=0,\ldots ,n-1$
    1. सेट एस_i,a = ए_i
    2. सेट एस_i,b = ख_i
    3. सेट एस_i,c = सी_i
    4. सेट एस_i,d = घ_i
    5. सेट एस_i,x = एक्स_i
12. आउटपुट आउटपुट_सेट

टिप्पणियाँ

It might be asked what meaning more than n multiple knots in a knot vector have, since this would lead to continuities like

$S(t)\in C^{-m}{\mbox{ , }}m>0$

at the location of this high multiplicity. By convention, any such situation indicates a simple discontinuity between the two adjacent polynomial pieces. This means that if a knot t_i appears more than n + 1 times in an extended knot vector, all instances of it in excess of the (n + 1)th can be removed without changing the character of the spline, since all multiplicities n + 1, n + 2, n + 3, etc. have the same meaning. It is commonly assumed that any knot vector defining any type of spline has been culled in this fashion.

The classical spline type of degree n used in numerical analysis has continuity

$S(t)\in \mathrm {C} ^{n-1}[a,b],\,$

which means that every two adjacent polynomial pieces meet in their value and first n - 1 derivatives at each knot. The mathematical spline that most closely models the flat spline is a cubic (n = 3), twice continuously differentiable (C²), natural spline, which is a spline of this classical type with additional conditions imposed at endpoints a and b.

Another type of spline that is much used in graphics, for example in drawing programs such as Adobe Illustrator from Adobe Systems, has pieces that are cubic but has continuity only at most

$S(t)\in \mathrm {C} ^{1}[a,b].$

This spline type is also used in PostScript as well as in the definition of some computer typographic fonts.

Many computer-aided design systems that are designed for high-end graphics and animation use extended knot vectors, for example Autodesk Maya. Computer-aided design systems often use an extended concept of a spline known as a Nonuniform rational B-spline (NURBS).

If sampled data from a function or a physical object is available, spline interpolation is an approach to creating a spline that approximates that data.

सी के लिए सामान्य अभिव्यक्ति² इंटरपोलेटिंग क्यूबिक स्पलाइन

Ith सी के लिए सामान्य अभिव्यक्ति² सूत्र का उपयोग करके प्राकृतिक स्थिति के साथ एक बिंदु x पर क्यूबिक स्पलाइन को इंटरपोल करते हुए पाया जा सकता है

$S_{i}(x)={\frac {z_{i}(x-t_{i-1})^{3}}{6h_{i}}}+{\frac {z_{i-1}(t_{i}-x)^{3}}{6h_{i}}}+\left[{\frac {f(t_{i})}{h_{i}}}-{\frac {z_{i}h_{i}}{6}}\right](x-t_{i-1})+\left[{\frac {f(t_{i-1})}{h_{i}}}-{\frac {z_{i-1}h_{i}}{6}}\right](t_{i}-x)$

कहाँ पे

• $z_{i}=f^{\prime \prime }(t_{i})$ iवें गाँठ पर दूसरे अवकलज के मान हैं।
• $h_{i}^{}=t_{i}-t_{i-1}$
• $f(t_{i}^{})$ iवें गाँठ पर फलन के मान हैं।

प्रतिनिधित्व और नाम

किसी दिए गए अंतराल [ए, बी] और उस अंतराल पर दिए गए विस्तारित गाँठ वेक्टर के लिए, डिग्री एन के स्प्लिन एक वेक्टर स्थान बनाते हैं। संक्षेप में इसका मतलब यह है कि किसी दिए गए प्रकार के किसी भी दो स्प्लिन को जोड़ने से उस दिए गए प्रकार के स्पलाइन का उत्पादन होता है, और किसी दिए गए टाइप के स्पलाइन को किसी स्थिरांक से गुणा करने से उस दिए गए प्रकार का स्पलाइन बनता है। का हेमल आयाम एक निश्चित प्रकार के सभी स्प्लिन वाले स्थान को विस्तारित गाँठ सदिश स्थल गिना जा सकता है:

$a=t_{0}<\underbrace {t_{1}=\cdots =t_{1}} _{j_{1}}<\cdots <\underbrace {t_{k-2}=\cdots =t_{k-2}} _{j_{k-2}}<t_{k-1}=b$

$j_{i}\leq n+1~,~~i=1,\ldots ,k-2.$

आयाम डिग्री और गुणकों के योग के बराबर है

$d=n+\sum _{i=1}^{k-2}j_{i}.$

यदि किसी प्रकार के स्पलाइन पर अतिरिक्त रैखिक स्थितियां लागू होती हैं, तो परिणामी स्पलाइन एक उप-स्पेस में स्थित होगी। उदाहरण के लिए, सभी प्राकृतिक क्यूबिक स्प्लिनों का स्थान, सभी क्यूबिक सी के स्थान का एक उप-स्थान है² स्प्लिन।

स्प्लिनों का साहित्य विशेष प्रकार के स्प्लिनों के नामों से भरा पड़ा है। इन नामों को जोड़ा गया है:

• बी-पट्टी का प्रतिनिधित्व करने के लिए किए गए विकल्प, उदाहरण के लिए:
  • संपूर्ण तख़्ता के लिए आधार (रैखिक बीजगणित) कार्यों का उपयोग करना (हमें बी-स्पलीन नाम देना)
  • प्रत्येक बहुपद टुकड़े का प्रतिनिधित्व करने के लिए पियरे बेज़ियर द्वारा नियोजित बर्नस्टीन बहुपदों का उपयोग करना (हमें बेज़ियर स्पलाइन (बहुविकल्पी) नाम देना। बेज़ियर स्प्लिन)
• विस्तारित गाँठ वेक्टर बनाने में किए गए विकल्प, उदाहरण के लिए:
  • सी के लिए सिंगल नॉट्स का उपयोग करना^n-1 निरंतरता और इन गांठों को [a,b] पर समान रूप से रखना (हमें 'यूनिफ़ॉर्म स्प्लाइन' देना)
  • अंतराल पर बिना किसी प्रतिबंध के गांठों का उपयोग करना (हमें 'गैर-वर्दी स्प्लिन' देना)
• स्पलाइन पर लगाई गई कोई विशेष शर्तें, उदाहरण के लिए:
  • ए और बी पर शून्य सेकंड डेरिवेटिव लागू करना (हमें 'प्राकृतिक विभाजन' देना)
  • यह आवश्यक है कि दिए गए डेटा मान स्पलाइन पर हों (हमें 'इंटरपोलेटिंग स्प्लिन' दें)

ऊपर दी गई दो या दो से अधिक मुख्य वस्तुओं को संतुष्ट करने वाली एक प्रकार की पट्टी के लिए अक्सर एक विशेष नाम चुना जाता था। उदाहरण के लिए, साधु तख़्ता एक स्पलाइन है जिसे प्रत्येक व्यक्तिगत बहुपद टुकड़ों का प्रतिनिधित्व करने के लिए हर्मिट बहुपदों का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है। इन्हें अक्सर एन = 3 के साथ प्रयोग किया जाता है; वह है, क्यूबिक हर्मिट स्पलाइन के रूप में। इस डिग्री में उन्हें अतिरिक्त रूप से केवल स्पर्शरेखा-निरंतर चुना जा सकता है (सी¹); जिसका तात्पर्य है कि सभी आंतरिक गांठें दोहरी हैं। दिए गए डेटा बिंदुओं में ऐसे स्प्लाइन्स को फ़िट करने के लिए कई विधियों का आविष्कार किया गया है; अर्थात्, उन्हें इंटरपोलेटिंग स्प्लाइन बनाने के लिए, और ऐसा करने के लिए प्रशंसनीय स्पर्शरेखा मूल्यों का अनुमान लगाकर ऐसा करना जहां प्रत्येक दो बहुपद टुकड़े मिलते हैं (हमें उपयोग की जाने वाली विधि के आधार पर कार्डिनल स्पलाइन, कैटमुल-रोम स्पलाइन और प्रेमी-Bartels पट्टी देते हैं)।

प्रत्येक अभ्यावेदन के लिए, मूल्यांकन के कुछ साधन खोजे जाने चाहिए ताकि मांग पर स्पलाइन के मूल्यों का उत्पादन किया जा सके। उन निरूपणों के लिए जो प्रत्येक व्यक्तिगत बहुपद टुकड़े पी को व्यक्त करते हैं_i(टी) के संदर्भ में डिग्री एन बहुपद के लिए कुछ आधार, यह वैचारिक रूप से सीधा है:

• तर्क t के दिए गए मान के लिए, वह अंतराल ज्ञात करें जिसमें यह निहित है $t\in [t_{i},t_{i+1}]$
• उस अंतराल के लिए चुने गए बहुपद आधार को देखें $P_{0},\ldots ,P_{k-2}$
• टी पर प्रत्येक आधार बहुपद का मान ज्ञात कीजिए: $P_{0}(t),\ldots ,P_{k-2}(t)$
• उन आधार बहुपदों के रैखिक संयोजन के गुणांकों को देखें जो उस अंतराल सी पर पट्टी देते हैं₀, ..., सी_k-2
• टी पर पट्टी का मान प्राप्त करने के लिए आधार बहुपद मानों के उस रैखिक संयोजन को जोड़ें:

$\sum _{j=0}^{k-2}c_{j}P_{j}(t).$

हालांकि, मूल्यांकन और योग चरणों को अक्सर चतुर तरीके से जोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, बर्नस्टीन बहुपद बहुपदों के लिए एक आधार हैं जिनका विशेष पुनरावृत्ति संबंधों का उपयोग करके कुशलतापूर्वक रैखिक संयोजनों में मूल्यांकन किया जा सकता है। यह डी कैस्टेलजौ के एल्गोरिथ्म का सार है, जो बेज़ियर कर्व्स और बेज़ियर स्पलाइन (बहुविकल्पी) में विशेषता है। बेज़ियर स्प्लाइन).

एक प्रतिनिधित्व के लिए जो आधार विभाजन के एक रैखिक संयोजन के रूप में एक पट्टी को परिभाषित करता है, हालांकि, कुछ अधिक परिष्कृत की आवश्यकता होती है। दे बूर अल्गोरिथम बी-स्प्लिंस के मूल्यांकन के लिए एक प्रभावी तरीका है।

इतिहास

कंप्यूटर के उपयोग से पहले, संख्यात्मक गणना हाथ से की जाती थी। हालांकि टुकड़े-टुकड़े-परिभाषित कार्यों जैसे साइन समारोह या स्टेप फ़ंक्शन का उपयोग किया गया था, बहुपदों को आम तौर पर पसंद किया जाता था क्योंकि उनके साथ काम करना आसान था। कम्प्यूटरों के आगमन से स्प्लाइनों का महत्व बढ़ गया है। वे पहले इंटरपोलेशन में बहुपदों के प्रतिस्थापन के रूप में उपयोग किए गए थे, फिर कंप्यूटर ग्राफिक्स में चिकनी और लचीली आकृतियों के निर्माण के लिए एक उपकरण के रूप में।

यह आमतौर पर स्वीकार किया जाता है कि स्प्लिन्स का पहला गणितीय संदर्भ इसहाक जैकब स्कोनबर्ग द्वारा 1946 का पेपर है, जो संभवत: पहला स्थान है जहां स्पलाइन शब्द का उपयोग चिकनी, टुकड़े-टुकड़े बहुपद सन्निकटन के संबंध में किया जाता है। हालाँकि, विचारों की जड़ें विमान और जहाज निर्माण उद्योगों में हैं। (बार्टेल्स एट अल।, 1987) की प्रस्तावना में, रॉबिन फॉरेस्ट ने लॉफ्टिंग का वर्णन किया है, द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान ब्रिटिश विमान उद्योग में इस्तेमाल की जाने वाली तकनीक, लकड़ी की पतली पट्टियों (जिन्हें फ्लैट स्प्लिन कहा जाता है) को बिंदुओं के माध्यम से हवाई जहाज के लिए टेम्प्लेट बनाने के लिए तैयार किया गया था। एक बड़े डिजाइन के मचान का फर्श, जहाज-पतवार डिजाइन से उधार ली गई तकनीक। सालों से जहाज डिजाइन के अभ्यास ने छोटे में डिजाइन करने के लिए मॉडल को नियोजित किया था। सफल डिजाइन को फिर ग्राफ पेपर पर प्लॉट किया गया और प्लॉट के प्रमुख बिंदुओं को बड़े ग्राफ पेपर पर पूर्ण आकार में फिर से प्लॉट किया गया। पतली लकड़ी की पट्टियों ने प्रमुख बिंदुओं को चिकने वक्रों में प्रक्षेपित किया। स्ट्रिप्स को असतत बिंदुओं पर आयोजित किया जाएगा (फॉरेस्ट द्वारा बतख कहा जाता है; स्कोनबर्ग कुत्तों या चूहों का इस्तेमाल करते हैं) और इन बिंदुओं के बीच न्यूनतम तनाव ऊर्जा के आकार ग्रहण करेंगे। फॉरेस्ट के अनुसार, इस प्रक्रिया के लिए एक गणितीय मॉडल के लिए एक संभावित प्रेरणा एक पूरे विमान के लिए महत्वपूर्ण डिजाइन घटकों की संभावित हानि थी, अगर मचान को दुश्मन के बम से मारा जाना चाहिए। इसने शंक्वाकार लफ्टिंग को जन्म दिया, जो बत्तखों के बीच वक्र की स्थिति को मॉडल करने के लिए शंक्वाकार वर्गों का उपयोग करता था। 1960 के दशक की शुरुआत में बोइंग में जे.सी. फर्ग्यूसन और (कुछ समय बाद) मैल्कम साबिन द्वारा किए गए काम के आधार पर कॉनिक लॉफ्टिंग को हम स्प्लिन कहेंगे। ब्रिटिश विमान निगम में साबिन।

शब्द तख़्ता मूल रूप से एक पूर्व एंग्लियन अंग्रेजी बोली शब्द था।

ऐसा लगता है कि ऑटोमोबाइल निकायों के मॉडलिंग के लिए स्प्लिन के उपयोग की कई स्वतंत्र शुरुआत हुई है। Citroën में पॉल डे Casteljau, Renault में Pierre Bézier, और General Motors Corporation में Garrett Birkhoff, Garabedian, और Carl R. de Boor की ओर से क्रेडिट का दावा किया जाता है (देखें Birkhoff और de Boor, 1965), सभी उसी में होने वाले काम के लिए 1960 के दशक की शुरुआत या 1950 के दशक के अंत में। 1959 में डे कास्टलजाऊ का कम से कम एक पेपर प्रकाशित हुआ था, लेकिन व्यापक रूप से नहीं। जनरल मोटर्स कॉर्पोरेशन में डी बूर के काम के परिणामस्वरूप 1960 के दशक की शुरुआत में कई पेपर प्रकाशित हुए, जिनमें बी-स्पलाइन पर कुछ मौलिक काम भी शामिल थे।

प्रैट एंड व्हिटनी एयरक्राफ्ट में भी काम किया जा रहा था, जहां (अहल्बर्ग एट अल।, 1967) के दो लेखक - स्प्लिन्स की पहली पुस्तक-लंबाई उपचार - कार्यरत थे, और डेविड टेलर मॉडल बेसिन, फोडोर थेइलहाइमर द्वारा। जनरल मोटर्स कॉर्पोरेशन में काम (बिरखॉफ, 1990) और (यंग, 1997) में अच्छी तरह से विस्तृत है। डेविस (1997) इस सामग्री में से कुछ को सारांशित करता है।

संदर्भ

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• Ahlberg, Nielson, and Walsh, The Theory of Splines and Their Applications, 1967.
• Birkhoff, Fluid dynamics, reactor computations, and surface representation, in: Steve Nash (ed.), A History of Scientific Computation, 1990.
• Bartels, Beatty, and Barsky, An Introduction to Splines for Use in Computer Graphics and Geometric Modeling, 1987.
• Birkhoff and de Boor, Piecewise polynomial interpolation and approximation, in: H. L. Garabedian (ed.), Proc. General Motors Symposium of 1964, pp. 164–190. Elsevier, New York and Amsterdam, 1965.
• Davis, B-splines and Geometric design, SIAM News, vol. 29, no. 5, 1997.
• Epperson, History of Splines, NA Digest, vol. 98, no. 26, 1998.
• Stoer & Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis. Springer-Verlag. p. 93-106. ISBN 0387904204
• Schoenberg, Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions, Quart. Appl. Math., vol. 4, pp. 45–99 and 112–141, 1946.
• Young, Garrett Birkhoff and applied mathematics, Notices of the AMS, vol. 44, no. 11, pp. 1446–1449, 1997.
• Chapra, Canale, "Numerical Methods for Engineers" 5th edition.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अंक शास्त्र
• समारोह (गणित)
• एक बहुपद की डिग्री
• बहुपद प्रक्षेप
• तकनीकी चित्रकारी
• खंड अनुसार
• कंप्यूटर एडेड डिजाइन
• univariate
• अलग करना सेट
• पूर्वी एंग्लियन अंग्रेजी
• पॉल डी कैस्टेलजौ

बाहरी संबंध

Theory

• An Interactive Introduction to Splines, ibiblio.org

Excel Function

• XLL Excel Addin Function Implementation of cubic spline

Online utilities

• Online Cubic Spline Interpolation Utility
• Learning by Simulations Interactive simulation of various cubic splines
• Symmetrical Spline Curves, an animation by Theodore Gray, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.

Computer Code

• Notes, PPT, Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab, Holistic Numerical Methods Institute
• various routines, NTCC
• Sisl: Opensource C-library for NURBS, SINTEF
• VBA Spline Interpolation, vbnumericalmethods.com