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ज्यामिति में, हाइपरसफेस हाइपरप्लेन, समतल वक्र और सतह (गणित) की अवधारणाओं का एक सामान्यीकरण है। एक हाइपरसफेस कई गुना या एक बीजगणितीय किस्म का आयाम है n − 1, जो आयाम के परिवेश स्थान में सन्निहित है n, आम तौर पर एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष, एक सजातीय स्थान या एक प्रक्षेप्य स्थान। हाइपरसर्फ्स साझा करते हैं, तीन-आयामी अंतरिक्ष में सतहों के साथ, कम से कम स्थानीय रूप से (हर बिंदु के पास), और कभी-कभी विश्व स्तर पर एक अंतर्निहित समीकरण द्वारा परिभाषित होने की संपत्ति।

आयाम दो के एक (यूक्लिडियन, एफाइन, या प्रोजेक्टिव) स्थान में एक हाइपरसफेस एक समतल वक्र है। आयाम तीन की जगह में, यह एक सतह है।

उदाहरण के लिए, समीकरण

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-1=0$

एक बीजगणितीय विविधता के आयाम के बीजगणितीय हाइपरसफेस को परिभाषित करता है n − 1 आयाम के यूक्लिडियन स्थान में n. यह हाइपरसफेस भी एक चिकना कई गुना है, और इसे अति क्षेत्र या एन-स्फीयर कहा जाता है(n – 1)-वृत्त।

चिकनी हाइपरसफेस

एक हाइपरसतह जो एक चिकनी कई गुना है, एक चिकनी हाइपरसफेस कहलाती है।

में Rⁿ, एक चिकनी हाइपरसफेस उन्मुखता है। हर जुड़ा हुआ स्थान कॉम्पैक्ट जगह स्मूथ हाइपरसर्फेस एक लेवल सेट है, और R को अलग करता हैⁿ दो जुड़े हुए घटकों में; यह जॉर्डन वक्र प्रमेय#प्रमाण और सामान्यीकरण से संबंधित है|जॉर्डन-ब्रूवर पृथक्करण प्रमेय।

Affine बीजगणितीय हाइपरसफेस

एक बीजगणितीय हाइपरसफेस एक बीजगणितीय विविधता है जिसे फॉर्म के एकल अंतर्निहित समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

$p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$

कहाँ पे p एक बहुभिन्नरूपी बहुपद है। आम तौर पर बहुपद को अलघुकरणीय बहुपद माना जाता है। जब ऐसा नहीं होता है, तो हाइपरसफेस एक बीजगणितीय विविधता नहीं है, बल्कि केवल एक बीजगणितीय सेट है। यह लेखकों या संदर्भ पर निर्भर हो सकता है कि क्या एक कम करने योग्य बहुपद एक हाइपरसफेस को परिभाषित करता है। अस्पष्टता से बचने के लिए, अलघुकरणीय हाइपरसफेस शब्द का प्रयोग प्रायः किया जाता है।

बीजगणितीय किस्मों के लिए, परिभाषित बहुपद के गुणांक किसी निश्चित क्षेत्र (गणित) से संबंधित हो सकते हैं k, और हाइपरसफेस के बिंदु एक फ़ंक्शन के शून्य हैं p एफ़िन स्पेस में $K^{n},$ कहाँ पे K का एक बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार है k.

एक हाइपरसफेस में एक बीजगणितीय विविधता का एकवचन बिंदु हो सकता है, जो परिभाषित बहुपद और इसके आंशिक डेरिवेटिव के सामान्य शून्य हैं, यदि कोई हो। विशेष रूप से, एक वास्तविक बीजगणितीय हाइपरसफेस आवश्यक रूप से कई गुना नहीं है।

गुण

हाइपरसर्फ्स में कुछ विशिष्ट गुण होते हैं जो अन्य बीजगणितीय किस्मों के साथ साझा नहीं किए जाते हैं।

इस तरह के मुख्य गुणों में से एक हिल्बर्ट का नलस्टेलनसैट्ज है, जो दावा करता है कि एक हाइपरसर्फफेस में दिए गए बीजगणितीय सेट होते हैं यदि और केवल अगर हाइपरसर्फेस के परिभाषित बहुपद में एक शक्ति होती है जो बीजगणितीय के परिभाषित बहुपदों द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) से संबंधित होती है। समूह।

इस प्रमेय का एक उपप्रमेय यह है कि, यदि दो अलघुकरणीय बहुपद (या अधिक आम तौर पर दो वर्ग मुक्त बहुपद) एक ही हाइपरसर्फ परिभाषित करते हैं, तो एक गैर-शून्य स्थिरांक द्वारा दूसरे का उत्पाद होता है।

Hypersurfaces वास्तव में एक बीजगणितीय किस्म के आयाम की उप-किस्में हैं n – 1 के आयाम के एक सघन स्थान का n. यह इस तथ्य की ज्यामितीय व्याख्या है कि, एक क्षेत्र पर एक बहुपद अंगूठी में, आदर्श की ऊंचाई (रिंग सिद्धांत) 1 है और केवल अगर आदर्श एक प्रमुख आदर्श है। संभावित रूप से कम करने योग्य हाइपरसर्फ्स के मामले में, इस परिणाम को निम्नानुसार पुनर्कथित किया जा सकता है: हाइपरसर्फेस बिल्कुल बीजगणितीय सेट होते हैं जिनके सभी अलघुकरणीय घटकों का आयाम होता है n – 1.

वास्तविक और तर्कसंगत बिंदु

एक वास्तविक हाइपरसफेस एक हाइपरसफेस है जिसे वास्तविक संख्या गुणांक वाले बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है। इस मामले में बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र जिस पर अंक परिभाषित होते हैं, वह आम तौर पर क्षेत्र होता है $\mathbb {C}$ जटिल संख्याओं का। एक वास्तविक हाइपरसफेस के वास्तविक बिंदु वे बिंदु हैं जो संबंधित हैं $\mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {C} ^{n}.$ वास्तविक हाइपरसफेस के वास्तविक बिंदुओं का सेट हाइपरसफेस का वास्तविक हिस्सा है। प्रायः , यह संदर्भ पर छोड़ दिया जाता है कि हाइपरसर्फ शब्द सभी बिंदुओं को संदर्भित करता है या केवल वास्तविक भाग को संदर्भित करता है।

यदि परिभाषित बहुपद के गुणांक एक क्षेत्र से संबंधित हैं k वह बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र नहीं है (आमतौर पर तर्कसंगत संख्याओं का क्षेत्र, परिमित क्षेत्र या संख्या क्षेत्र), एक कहता है कि हाइपरसफेस को परिभाषित किया गया है k, और बिंदु जो संबंधित हैं $k^{n}$ अधिक तर्कसंगत हैं k (तर्कसंगत संख्याओं के क्षेत्र के मामले में, से अधिक kआम तौर पर छोड़ दिया जाता है)।

उदाहरण के लिए, काल्पनिक एन-क्षेत्र |n-क्षेत्र समीकरण द्वारा परिभाषित

$x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+1=0$

बिना किसी वास्तविक बिंदु के एक वास्तविक हाइपरसफेस है, जिसे परिमेय संख्याओं पर परिभाषित किया गया है। इसका कोई तर्कसंगत बिंदु नहीं है, लेकिन कई बिंदु हैं जो गॉसियन परिमेय पर तर्कसंगत हैं।

प्रक्षेप्य बीजगणितीय हाइपरसफेस

ए projective (algebraic) hypersurface आयाम का n – 1 आयाम के एक प्रक्षेपी स्थान में n एक मैदान के ऊपर k एक सजातीय बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ में n + 1 अनिश्चित। हमेशा की तरह, homogeneous polynomial का अर्थ है कि के सभी एकपदी P एक ही डिग्री है, या, समकक्ष है $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ हर स्थिरांक के लिए c, कहाँ पे d बहुपद की डिग्री है। points }} हाइपरसफेस प्रोजेक्टिव स्पेस के बिंदु हैं जिनके प्रोजेक्टिव निर्देशांक शून्य हैं P.

यदि कोई समीकरण के हाइपरप्लेन को चुनता है $x_{0}=0$ अनंत पर हाइपरप्लेन के रूप में, इस हाइपरप्लेन का पूरक एक एफ़ाइन स्पेस है, और प्रोजेक्टिव हाइपरसफ़ेस के बिंदु जो इस एफ़िन स्पेस से संबंधित हैं, समीकरण का एक एफ़िन हाइपरसफ़ेस बनाते हैं $P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})=0.$ इसके विपरीत, समीकरण की एक सजातीय हाइपरसफेस दी गई है $p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ यह एक प्रोजेक्टिव हाइपरसफेस को परिभाषित करता है, जिसे इसका कहा जाता है projective completion, जिसका समीकरण सजातीय बहुपद #Homogenization द्वारा प्राप्त किया जाता है p. अर्थात्, प्रक्षेप्य पूर्णता का समीकरण है $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ साथ

$P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{d}p(x_{1}/x_{0},\ldots ,x_{n}/x_{0}),$ कहाँ पे d की उपाधि है P.

ये दो प्रक्रियाएं प्रोजेक्टिव पूर्णता और एक एफ़िन सबस्पेस के लिए प्रतिबंध एक दूसरे के विपरीत हैं। इसलिए, एक affine hypersurface और इसके प्रक्षेपी पूर्णता में अनिवार्य रूप से समान गुण होते हैं, और प्रायः एक ही hypersurface के लिए दो दृष्टिकोणों के रूप में माना जाता है।

हालांकि, ऐसा हो सकता है कि एक affine hypersurface एक बीजगणितीय किस्म का एकवचन बिंदु है, जबकि इसकी प्रक्षेप्य पूर्णता में एकवचन बिंदु हैं। इस मामले में, एक का कहना है कि affine सतह है singular at infinity. उदाहरण के लिए, समीकरण का गोलाकार बेलन

$x^{2}+y^{2}-1=0$ आयाम तीन के संबंध स्थान में एक अनूठा विलक्षण बिंदु है, जो दिशा में अनंत पर है x = 0, y = 0.

यह भी देखें

• एफ़िन क्षेत्र
• कोबल हाइपरसफेस
• डवर्क परिवार
• अशक्त हाइपरसफेस
• ध्रुवीय हाइपरसफेस

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• विविध
• affine अंतरिक्ष
• प्रक्षेपण स्थान
• त्रि-आयामी स्थान
• एक बीजगणितीय विविधता का आयाम
• एक समारोह का शून्य
• एक बीजगणितीय किस्म का एकवचन बिंदु
• आदर्श (अंगूठी सिद्धांत)
• ऊंचाई (अंगूठी सिद्धांत)
• परिमेय संख्या
• बीजीय रूप से बंद क्षेत्र
• गॉसियन तर्कसंगत
• प्रक्षेपी निर्देशांक
• हाइपरप्लेन अनंत पर
• गोलाकार सिलेंडर
• डीवर्क परिवार

संदर्भ

• "Hypersurface", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu (1969), Foundations of Differential Geometry Vol II, Wiley Interscience
• P.A. Simionescu & D. Beal (2004) Visualization of hypersurfaces and multivariable (objective) functions by partial globalization, The Visual Computer 20(10):665–81.