ऑर्थोनॉर्मलिटी

रैखिक बीजगणित में, एक आंतरिक उत्पाद स्थान में दो सदिश स्थान ऑर्थोनॉर्मल होते हैं यदि वे ऑर्थोगोनलिटी (या एक रेखा के साथ लंबवत) इकाई वैक्टर हैं। वैक्टर का एक सेट एक ऑर्थोनॉर्मल सेट बनाता है यदि सेट में सभी वैक्टर पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल और सभी इकाई लंबाई के होते हैं। एक ऑर्थोनॉर्मल सेट जो एक आधार (रैखिक बीजगणित) बनाता है, एक ऑर्थोनॉर्मल आधार कहलाता है।

सहज अवलोकन

सदिशों की ओर्थोगोनलिटी का निर्माण लंबवत सदिशों की सहज धारणा को उच्च-आयामी स्थानों तक विस्तारित करने की इच्छा से प्रेरित है। कार्तीय समन्वय प्रणाली में #कार्टेशियन दो आयामों में निर्देशांक करता है, दो वेक्टर (ज्यामिति) को लंबवत कहा जाता है यदि उनके बीच का कोण 90° है (अर्थात यदि वे एक समकोण बनाते हैं)। इस परिभाषा को कार्टेशियन स्पेस में डॉट उत्पाद को परिभाषित करके औपचारिक रूप दिया जा सकता है और निर्दिष्ट किया जा सकता है कि विमान में दो वैक्टर ऑर्थोगोनल हैं यदि उनका डॉट उत्पाद शून्य है।

इसी तरह, एक वेक्टर के मानदंड (गणित) का निर्माण एक वेक्टर के सामान्य (गणित)#यूक्लिडियन मानदंड की सहज धारणा को उच्च-आयामी स्थानों तक विस्तारित करने की इच्छा से प्रेरित है। कार्तीय स्थान में, एक सदिश का मानदंड स्वयं के साथ बिंदीदार सदिश का वर्गमूल है। वह है,

$\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}$

रैखिक बीजगणित में कई महत्वपूर्ण परिणाम दो या दो से अधिक ऑर्थोगोनल वैक्टर के संग्रह से संबंधित हैं। लेकिन अक्सर, यूनिट वेक्टर के वैक्टर से निपटना आसान होता है। अर्थात्, यह अक्सर केवल उन सदिशों पर विचार करने के लिए चीजों को सरल बनाता है जिनका मानदंड 1 के बराबर होता है। सदिशों के ऑर्थोगोनल जोड़े को केवल इकाई लंबाई तक सीमित करने की धारणा एक विशेष नाम देने के लिए पर्याप्त महत्वपूर्ण है। दो सदिश जो ओर्थोगोनल हैं और जिनकी लंबाई 1 है उन्हें ऑर्थोनॉर्मल कहा जाता है।

सरल उदाहरण

2-डी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर की जोड़ी कैसी दिखती है?

चलो यू = (एक्स₁, वाई₁) और वी = (एक्स₂, वाई₂). एक्स पर प्रतिबंधों पर विचार करें₁, एक्स₂, वाई₁, वाई₂ यू और वी को एक ऑर्थोनॉर्मल जोड़ी बनाने के लिए आवश्यक है।

• ओर्थोगोनलिटी प्रतिबंध से, यू • वी = 0।
• यू पर इकाई लंबाई प्रतिबंध से, ||यू|| = 1।
• v, ||v|| पर इकाई लंबाई प्रतिबंध से = 1।

इन शर्तों का विस्तार करने से 3 समीकरण मिलते हैं:

1. $x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\quad$
2. ${\sqrt {{x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}}}=1$
3. ${\sqrt {{x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2}}}=1$

कार्तीय से ध्रुवीय निर्देशांक में रूपांतरण, और समीकरण पर विचार करना $(2)$ और समीकरण $(3)$ तुरंत परिणाम आर देता है₁ = आर₂ = 1. दूसरे शब्दों में, सदिशों को इकाई लंबाई का होना आवश्यक होने पर सदिशों को इकाई वृत्त पर स्थित होने से रोकता है।

प्रतिस्थापन के बाद, समीकरण $(1)$ हो जाता है $\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}=0$. पुनर्व्यवस्थित करता है $\tan \theta _{1}=-\cot \theta _{2}$. त्रिकोणमितीय पहचानों की एक सूची का उपयोग करना # शिफ्ट और आवधिकता को कोटेंगेंट शब्द को परिवर्तित करने के लिए देता है

$\tan(\theta _{1})=\tan \left(\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}\right)$

$\Rightarrow \theta _{1}=\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}$

यह स्पष्ट है कि समतल में, लम्बवत सदिश केवल इकाई वृत्त की त्रिज्याएँ हैं जिनके कोणों में अंतर 90° के बराबर है।

परिभाषा

होने देना ${\mathcal {V}}$ एक आंतरिक-उत्पाद स्थान बनें। वैक्टर का एक सेट

$\left\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},\ldots \right\}\in {\mathcal {V}}$

ऑर्थोनॉर्मल कहा जाता है अगर और केवल अगर

$\forall i,j:\langle u_{i},u_{j}\rangle =\delta _{ij}$

कहाँ पे $\delta _{ij}\,$ क्रोनकर डेल्टा है और $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ आंतरिक उत्पाद परिभाषित किया गया है ${\mathcal {V}}$.

महत्व

ऑर्थोनॉर्मल सेट विशेष रूप से अपने आप में महत्वपूर्ण नहीं हैं। हालांकि, वे कुछ विशेषताएं प्रदर्शित करते हैं जो उन्हें वेक्टर रिक्त स्थान पर कुछ रैखिक मानचित्र के विकर्ण मैट्रिक्स की धारणा की खोज में मौलिक बनाती हैं।

गुण

ऑर्थोनॉर्मल सेट में कुछ बहुत ही आकर्षक गुण होते हैं, जो उन्हें विशेष रूप से काम करने में आसान बनाते हैं।

• प्रमेय। यदि {ई₁, तथा₂, ..., तथा_n} तब वैक्टरों की एक असामान्य सूची है
  $$\forall {\textbf {a}}:=[a_{1},\cdots ,a_{n}];\ \|a_{1}{\textbf {e}}_{1}+a_{2}{\textbf {e}}_{2}+\cdots +a_{n}{\textbf {e}}_{n}\|^{2}=|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}$$
• प्रमेय। सदिशों की प्रत्येक ऑर्थोनॉर्मल सूची रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है।

अस्तित्व

• ग्राम-श्मिट प्रमेय। यदि {वि₁, में₂,...,में_n} आंतरिक-उत्पाद स्थान में वैक्टरों की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र सूची है ${\mathcal {V}}$, तो वहाँ एक अलंकारिक सूची मौजूद है {e₁, तथा₂,...,तथा_n} वैक्टर में ${\mathcal {V}}$ ऐसा वह स्पैन ('ई'₁, तथा₂,...,तथा_n) = स्पैन (बीबी₁, में₂,...,में_n).

ग्राम-श्मिट प्रमेय का प्रमाण रचनात्मक प्रमाण है, और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया कहीं और। ग्राम-श्मिट प्रमेय, पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ, यह गारंटी देता है कि प्रत्येक सदिश स्थान एक अलौकिक आधार को स्वीकार करता है। यह संभवतः ऑर्थोनॉर्मलिटी का सबसे महत्वपूर्ण उपयोग है, क्योंकि यह तथ्य अंतरिक्ष के ऑर्थोनॉर्मल आधार वैक्टर पर उनकी कार्रवाई के संदर्भ में आंतरिक-उत्पाद रिक्त स्थान पर रैखिक मानचित्र पर चर्चा करने की अनुमति देता है। क्या परिणाम एक ऑपरेटर की विकर्णता के बीच एक गहरा संबंध है और यह ऑर्थोनॉर्मल आधार वैक्टर पर कैसे कार्य करता है। यह संबंध स्पेक्ट्रल प्रमेय द्वारा विशेषता है।

उदाहरण

मानक आधार

समन्वय स्थान F के लिए मानक आधार^एन है

{e1, e2,...,en}   where	e1 = (1, 0, ..., 0)
	e2 = (0, 1, ..., 0)
	$\vdots$
	en = (0, 0, ..., 1)

कोई भी दो वैक्टर ई_i, तथा_j जहाँ i≠j ओर्थोगोनल हैं, और सभी सदिश स्पष्ट रूप से इकाई लंबाई के हैं। अतः {ई₁, तथा₂,...,तथा_n} n ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाता है।

वास्तविक मूल्यवान कार्य

वास्तविक संख्या-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) का जिक्र करते समय, आमतौर पर Lp स्पेस | L² आंतरिक उत्पाद को तब तक ग्रहण किया जाता है जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो। दो कार्य $\phi (x)$ तथा $\psi (x)$ अंतराल पर ऑर्थोनॉर्मल हैं (गणित) $[a,b]$ यदि

$(1)\quad \langle \phi (x),\psi (x)\rangle =\int _{a}^{b}\phi (x)\psi (x)dx=0,\quad {\rm {and}}$

$(2)\quad ||\phi (x)||_{2}=||\psi (x)||_{2}=\left[\int _{a}^{b}|\phi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=\left[\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=1.$

फूरियर श्रृंखला

फूरियर श्रृंखला साइनसॉइडल स्कॉडर आधार कार्यों के संदर्भ में आवधिक कार्य को व्यक्त करने की एक विधि है। C[−π,π] को अंतराल [−π,π] पर निरंतर सभी वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का स्थान लेना और आंतरिक उत्पाद को लेना

$\langle f,g\rangle =\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx$

यह दिखाया जा सकता है

$\left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\sin(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\cos(nx)}{\sqrt {\pi }}}\right\},\quad n\in \mathbb {N}$

एक असामान्य सेट बनाता है।

हालांकि, इसका बहुत कम परिणाम है, क्योंकि C[−π,π] अनंत-आयामी है, और सदिशों का एक परिमित सेट इसे विस्तृत नहीं कर सकता है। लेकिन, n के परिमित होने के प्रतिबंध को हटाने से समुच्चय C[−π,π] में सघन उपसमुच्चय बन जाता है और इसलिए C[−π,π] का एक असामान्य आधार बन जाता है।

यह भी देखें

• ऑर्थोगोनलाइजेशन

स्रोत

• Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, p. 106–110, ISBN 978-0-387-98258-8
• Chen, Wai-Kai (2009), Fundamentals of Circuits and Filters (3rd ed.), Boca Raton: CRC Press, p. 62, ISBN 978-1-4200-5887-1

श्रेणी:रैखिक बीजगणित श्रेणी:कार्यात्मक विश्लेषण